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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中考百分百备战2022 中考专题（开放性问题专题）一学问网络梳理 训练部于 2022、20XX 年接连印发的关于中学毕业、升学考试改革的指导看法中明 确要求,数学试题应设计肯定的“ 开放性问题” 此后,开放型试题成为各地中考的必考试题所谓的开放型试题是指那些条件不完整,结论不确定的数学问题,常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的规律思想去得出结论,对激发学习爱好、培育想像、 扩散、概括、隐喻等水平思维才能的探究创新才能非常有利,型是今后中考的必考的题开放型试题重在开发思维,促进创新, 提高数学素养, 所以是
2、近几年中考试题的热点考题观看、试验、猜想、论证是科学思维方法,是新课标思维才能新添的内容,学习中应重视并应用开放题是中考题多样化和时代进展要求的产物,单一的题型和测试目标限制了考生应用学问解决实际问题的才能,不利于激发同学的制造性开放性试题能为考生供应更大的考虑问题的空间, 在解题途径方面也是多样的,这样的试题是非常有利于考生发挥水平的,也有利于考生创新意识的培育开放题的特点很多,如条件的不确定性,它是开放题的前提；结构的多样性,它是开放题的目标；思维的多向性,它是开放题的实质；解答的层次性,它是开放题的表象；过程的探究性,它是开放题的途径；学问的综合性,它是开放题的深化；情形的模拟性,它是开
3、放题的实践； 内涵的进展性, 它是开放题的熟悉过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情形, 勉励同学多角度、多侧面、多层次地摸索问题,有助于充分调动同学的潜在才能题型 条件开放与探究条件开放探究题的明确特点是缺少确定的条件,要条件,所需补充的条件不能由结论推出题型 结论开放与探究问题所需补充的条件不是得出结论的必给出问题的条件, 让解题者依据条件探究相应的结论,并且符合条件的结论往往出现多样性, 或者相应的结论的“存在性 ”需要解题者进行推断,甚至要求解题者探求条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性问题它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发觉规律,得出结论,这类题主要考查
4、解题者的发散性思维和所学基本学问的应用才能题型解题方法的开放与探究这类问题要求解题策略开放性问题, 一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题,者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程二、学问运用举例（一）条件开放例 1.苏州 已知 （x1,y1）, x2,y2为反比例函数yk图象上的点,当x1x2x0 时, y1y2,就 k 的一个值可为 _（只需写出符号条件的一个k 的值）解： 答案不唯独,只要符合k 0 即可,如 k 1,或 k 2 名师归纳总结 例 2.深圳市 如图,已知,在ABC 和 DCB 中, ACDB,如不增加任何字母与帮助线,第 1 页,共 11 页- -
5、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要使 ABC DCB,就仍需增加一个条件是 _D B C 例 2 图解：答案不惟一 .如： ABDC ； ACB DBC； A DRt 例 3（南京市）已知点 P x,y 位于其次象限,并且 yx 4, x,y 为整数,写出一个符合上述条件的点 P 的坐标：答： 1 3, , 12, , 11, , 21, , 2 2, , 31, 六个中任意写出一个即可例 4（梅州）如图,四边形ABCD 是矩形, O 是它的中心, E、F 是对角线 AC 上的点（1）假如 _ ,就 DEC BFA（请你填上能使结论成立的
6、一个条件）；（2）证明你的结论分析： 这是一道探究条件、补充条件的开放型试题,解决这类问题的方法是假设结论成FC立,逐步探究其成立的条件解 ：（1）AECF（OEOF；DEAC；BFAC；DE BF 等等）D（2）四边形ABCD 是矩形, AB CD,AB CD , DCEEOB BAF又 AECF,ACAE ACCF, AFCE, DECA BAF说明： 考查了矩形的性质及三角形全等的判定例 5（泰州市）已知：MAN30 , O 为边 AN 上一点,以O 为圆心, 2 为半径作 O,交 AN 于 D,E 两点,设 ADx（ 1）如图（ 1）当 x 取何值时, O 与 AM 相切；（ 2）如图
7、（ 2）当 x 为何值时, O 与 AM 相交于 B, C 两点,且 BOC 90 【解答】（ 1）在图（ 1）中,当 O 与 AM 相切时,设切点为 F连结 OF ,就 OFAM,.在 Rt AOF 中, MAN 30 ,名师归纳总结 OF 1 OA 21（x2）, x2,2 2当 x 2 时, O 与 AM 相切第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）.在图（ 2）中,过点 O 作 OHBC 于 H当 BOC 90 时,BOC 是等腰直角三角形,BCOB 2 OC 2 2 2 2 22 2 ,OH BC,
8、BHCH , OH1 BC2 2在 Rt AHO 中, A30 ,OH 1 OA,2 1（x2）, x2 2 22 2当 x2 2 2 时, O 与 AM 相交于 B, C 两点,且 BOC90 【点评】 解答这类问题往往是把结论反过来当条件用,定理,构造特别直角三角形,使问题得以求解本例利用了圆的切线性质和垂径A（二）、结论开放12例 1（湖南湘潭） 如图,在 ABC 中,AB AC,AD BC,D 为垂足 由以上两个条件可得_写出一个结论 BDC解： 1 2 或 BD DC 或 ABD ACD 等例 2（徐州）如图,Ol 与 O2 相交于点 A、B,顺次连结0l、 A、02、 B 四点,得
9、四边形01A02B（ 1）依据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的体会,探求图中的四边形有哪 些性质 .用文字语言写出 4 条性质 性质 1 _ ；性质 2 _ ；性质 3 _ ；性质 4 _ （2）设 O1 的半径为尺,O2 的半径为 rRr,0l,02 的距离为 d当 d 变化时,四边形 01A02B 的外形也会发生变化要使四边形 01A02B 是凸四边形 把四边 形的任一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形 就 d 的取 值范畴是 _ 解：（ 1）是开放性问题,答案有很多,如：性质 1：相交两圆连心线垂直公共弦；性质 2：相交两圆连心线平分公共弦；性质 3：线段 01
10、A线段 01B；性质 4：线段 02B线段 02A；性质 5： 01A02 01B02；等等名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）实质是相交两圆的学习必备欢迎下载d 与 Rr 的关系,应为R rdRr例 3（莆田市）已知矩形 ABCD 和点 P,当点 P 在边 BC 上任一位置（ .如图所示）时,易证得结论： PA 2PC 2PB 2PD 2,请你探究：当 P.点分别在图、.图中的位置时,PA 2、PB 2、PC2 和 PD2 又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情形的探究结论,.并利用图证明你的结论答：对图的
11、探究结论为 _对图的探究结论为 _证明：如图 2结论均是： PA 2PC 2PB 2PD 2证明：如图过点 P 作 MN AD 交 AD 于点 M,交 BC 于点 NAD BC,MNAD, MN BC在 Rt AMP 中, PA 2PM 2MA 2在 Rt BNP 中, PB 2PN 2BN 2在 Rt DMP 中, PD 2DM 2PM 2在 Rt CNP 中, PC 2PN 2NC 2PA 2 PC 2PM 2MA 2PN 2NC 2PB 2PD 2PM 2DM 2BN2PN2MN AD,MN NC,DC BC四边形 MNCD 是矩形MD NC同理 AM BNPM 2MA 2PN 2NC
12、2PM即 PA 2PC 2PB 2PD 22DM2BN2 PN2不难探究出正确结【评析】 此题也是一道结论开放题,通过阅读题目已知条件及要求,论,但是说明理由时,有肯定的难度正确作出帮助线,制造使用勾股的条件,是解决问题的关键（三）、综合开放例 1（宁波）如图,ABC 中, ABAC,过点 A 作 GE BC,角平分线 BD、CF 相交于点H,它们的延长线分别交 GE 于点 E、G.试在图中找出 3 对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明G A E D F H B C 解： BCF CBD . BHF CHD . BDA CFA. 留意答案不唯独 证明 BCF CBD 名师归纳总结 AB
13、AC. ABC ACB. 第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BD、CF 是角平分线 .学习必备欢迎下载1 ABC2 BCF 1 ACB, CBD 2 BCF CBD . y又 BCCB. BCF CBD例 2（江西省） 已知抛物线xm 21与 x 轴的交点为A、B（B 在 A 的右边） ,与 y轴的交点为CBOC 为等腰三角形的情形.（1）写出m1时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点 B 在原点的右边,点C 在原点的下方时,是否存在如存在,求出m 的值；如不存在,请说明理由；（3）请你提出一个对任意的m 值都能成立的正确命题
14、 （说明： 依据提出问题的水平层次,得分有差异）解：当 m1 时,抛物线解析式为yx121,可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出很多正确结论,任2写三个就可；（2）存在m2；（3）是结论开放题, 答案有很多, 如：抛物线 y x m 1 与 x 轴总有交点,顶点纵坐标为 1 或函数最大值为 1 等例 3（福州市）如图 9,直线 ACBD,连结 AB ,直线 AC,BD 及线段 AB 把平面分成、四个部分,规定：线上各点不属于任何部分当动点 P落在某个部分时,连结 PA,PB,构成 PAC ,APB ,PBD 三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0 角）（
15、1）当动点 P 落在第部分时,求证：APB PAC PBD ；（2）当动点 P 落在第部分时,APB PAC PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点 P 在第部分时,全面探究 PAC,APB,点 P 的详细位置和相应的结论挑选其中一种结论加以证明PBD之间的关系,并写出动BPCBCBCAAADDD图 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）解法一：如图91 学习必备欢迎下载延长 BP 交直线 AC 于点 E AC BD , PEA PBD APB PAE PEA , APB PAC PBD
16、解法二：如图 92 过点 P 作 FP AC , PAC APF . AC BD ,FP BD . FPB PBD . APB APF FPB PAC PBD 解法三：如图 93, AC BD , CAB ABD 180即 PAC PAB PBA PBD 180 又 APB PBA PAB 180 , APB PAC PBD . （2）不成立 . （3）a当动点 P 在射线 BA 的右侧时,结论是PBD PACAPB b当动点 P 在射线 BA 上,结论是 PBD PAC APB 或PAC PBD APB 或 APB 0 ,PAC PBD（任写一个即可）c 当动点 P 在射线 BA 的左侧时,
17、结论是 PAC APB PBD 挑选 a 证明：如图 94,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 M AC BD , PMC PBD 又 PMC PAM APM , PBD PAC APB 挑选 b 证明：如图 9 5 点 P 在射线 BA 上, APB 0 PBD PAC AC BD , PBD PAC APB 或 PAC PBD APB 或APB 0 , PAC PBD. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载挑选 c 证明：如图 96,连接 PA,连接 PB 交 AC 于 F AC BD ,PF
18、A PBD PAC APF PFA , PAC APB PBD 三、学问巩固训练1（十堰） 代 数 式2 mn2mn0的 三 个实 际 意 义 是 ：_ _ _ x2px 12 可分解为两个一次因式的积,整数p 的值是（写2（荆门市）多项式出一个即可）3（常德）请写出一个开口向上,对称轴为直线x2,且与 y 轴的交点坐标为0,3的抛物线的解析式 _ 4（绍兴市）平移抛物线yx2x2xx8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式_0 的一个常数项,使这个方程有两个不_ 285（海安）请给出一元二次方程相等的实数根6（资阳）已知asin60,bcos45,c 121,d112,从 a、b、c、
19、d 这 4 个数中任意选取 3 个数求和；7（资阳）甲、乙两同学开展“ 投球进筐 ”竞赛,双方商定： 竞赛分 6 局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便终止； 如一次未进可再投其次次,以此类推,但每局最多只能投 8 次,如 8 次投球都未进,该局也终止； 计分规章如下：a. 得分为正数或 0；b. 如 8 次都未投进,该局得分为 0；c. 投球次数越多,得分越低；d. 6 局竞赛的总得分高者获胜（1） 设某局竞赛第 nn1,2,3,4,5,6,7,8次将球投进,请你按上述商定,用公式、表格或语言表达等方式,为甲、乙两位同学制定一个把 n 换算为得分 M 的计分方案；（2）如
20、两人 6 局竞赛的投球情形如下 其中的数字表示该局竞赛进球时的投球次数,“ ”表示该局竞赛 8 次投球都未进 ：第一局 其次局 第三局 第四局 第五局 第六局甲 5 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 依据上述计分规章和你制定的计分方案,确定两人谁在这次竞赛中获胜8. （年山东省）如图,ABC 中, D、E 分别是 AC、AB 上的点, BD 与 CE 交于点 O给出以下三个条件：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载； EBO DCO ； BEO CDO ； BECD （ 1）上述三个条件中,哪两
21、个条件可判定ABC 是等腰三角形 （用序号写出全部情形）（ 2）挑选第（ 1）小题中的一种情形,证明ABC 是等腰三角形9（年绵阳市）在正方形 ABCD 中,点 P 是 CD 上一动点,连结 PA,分别过点 B、D 作 BE PA、DF PA,垂足分别为 E、F,如图（1）请探究 BE、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系如点 P 在 DC .的延长线上（如图）,那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？如点 P 在 CD .的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（ 1）中的三个结论中挑选一个加以证明10（甘肃省白银等 7市新课程 ）探究下表中的秘密,并完成填空：一
22、元二次方程两个根二次三项式因式分解x 22x10 x11 ,x21 x22x1（ x1）（ x1）x 23x20 x11 ,x22 x23x2（ x1）（ x2）3x 2 x20 x1 2 3,x2 1 3x2x22（x2 3）（ x1）2x25x 20 x1 1 2, x2 2 2x 25x22（x 12）（ x2）4x 213x30 x1 _ ,x2 4x 2 13x34（x_）（ x_ _）将你发觉的结论一般化,并写出来11（甘肃省陇南市 ）在平面几何中,我们可以证明：周长肯定的多边形中,正多边形面积最大使用上面的事实,解答下面的问题：用长度分别为 2、3、4、5、6（单位： cm）的五
23、根木棒围成一个三角形（答应连接,但不答应折断）,求能够围成的三角形的最大面积12（安徽省）按右图所示的流程,输入一个数据 这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,x,依据 y 与 x 的关系式就输出一个数据 y,要使任意一组都在 20100（含 20 和 100）之间的数据,变换成一组新数据后能满意以下两个要求：（）新数据都在 60100（含 60 和 100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一样,即原数据大的对应的新数据也较大名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载p1 2时,这种变
24、换满意上述两（1）如 y 与 x 的关系是 yxp100x,请说明：当个要求；【解】（2）如按关系式yaxh2ka0将数据进行变换,请写出一个满意上述要求的这种关系式（不要求对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程）【解】名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、学问巩固训练答案：1 s 大正s 小正、 s矩形（长： mn、宽 mn）；摩托车每辆m 元,自行车每辆n元, m 辆摩托车比 n 辆自行车贵多少钱；2 7, 8, 13（写出其中一个即可）；3yx2 23 等；4y x 2 2x
25、等；512答案不唯独 ；6abc32224,abd33 22,acd3222,22bcd3 2 27（ 1）计分方案如下表：n次 1 2 3 4 5 6 7 8 M分 8 7 6 5 4 3 2 1 用公式或语言表述正确,同样给分. 24 分,乙共得分23 分,（2） 依据以上方案运算得6 局竞赛,甲共得所以甲在这次竞赛中获胜8.答案不惟一,符合题意即可9（ 1） BEDFEF, BE DFEF, EFBEDF（2）.证明略10填空：1,3；4x 213x3 4x1 x34 4发觉的一般结论为：如一元二次方程 ax 2bxc0 的两个根为 x1、 x2,就ax 2bxca（x x1）（ x x
26、2）11由于周长肯定（2345 620cm）的三角形中,以正三角形的面积最大取三边尽量接近,使围成的三角形尽量接近正三角形,就面积最大名师归纳总结 此时,三边为6、5 2、43,这是一个等腰三角形60第 10 页,共 11 页可求得其最大面积为610.12（ 1）当 P1 2时, yx1 100 2x,即 y1 2x50y 随着 x 的增大而增大,即P1 2时,满意条件（）又当 x 20 时, y1 210050 100而原数据都在20100 之间,所以新数据都在100 之间,即满意条件（）,综上可知,当P1 2时,这种变换满意要求；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）此题是开放性问题,答案不唯独如所给出的关系式满意：（a）h20；（ b）如 x20, 100 时, y 的对应值 m, n 能落在 60100 之间,就这样的关系式都符合要求如取 h 20,ya x202k ,a0,当 20x100 时, y 随着 x 的增大名师归纳总结 令 x20,y60,得 k60 x202第 11 页,共 11 页令 x100,y100,得 a 802 k100 由解得a1,y160160k16060- - - - - - -