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1、学习必备欢迎下载中考百分百备战2012 中考专题（开放性问题专题）一知识网络梳理教育部于 2010、20XX 年接连印发的关于初中毕业、升学考试改革的指导意见中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”此后，开放型试题成为各地中考的必考试题所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、 扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型开放型试题重在开发思维，促进创新， 提高数学素养， 所以是近几年中考试题的热点考题观察、实验、猜想、论证是科学思维方法
2、，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间， 在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践； 内涵的发展性， 它是开放题的认识过程开放或结论
3、开放的问题能形成考生积极探究问题情景， 鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力题型条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出题型结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性， 或者相应的结论的“ 存在性 ” 需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力题型解题方法的开放与
4、探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程二、知识运用举例（一）条件开放例 1.(苏州 ) 已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数xky图象上的点，当x1x20 时，y1y2，则 k 的一个值可为 _（只需写出符号条件的一个k 的值）解：答案不唯一，只要符合k 0 即可，如k 1，或 k 2例 2.(深圳市 ) 如图，已知，在ABC 和 DCB 中， ACDB，若不增加任何字母与辅助线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共
5、 11 页学习必备欢迎下载要使 ABC DCB，则还需增加一个条件是_例 2 图解：答案不惟一.如： ABDC； ACB DBC； A DRt 例 3（南京市）已知点()P xy，位于第二象限，并且4yx，xy，为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标：答：( 13)，( 12)，( 11)，( 21)，( 2 2)，( 31)，六个中任意写出一个即可例 4（梅州）如图，四边形ABCD 是矩形， O 是它的中心，E、F 是对角线AC 上的点（1）如果 _ ，则 DECBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论分析： 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是
6、假设结论成立，逐步探索其成立的条件解 ：（1）AECF（OEOF；DEAC；BFAC；DE BF 等等）（2）四边形ABCD 是矩形， AB CD，ABCD， DCE BAF又 AECF，ACAE ACCF， AFCE，DECBAF说明： 考查了矩形的性质及三角形全等的判定例 5（泰州市）已知：MAN30， O 为边 AN 上一点，以O 为圆心， 2 为半径作 O，交 AN 于 D，E 两点，设 ADx（ 1）如图（ 1）当 x 取何值时，O 与 AM 相切；（ 2）如图（ 2）当 x 为何值时，O 与 AM 相交于 B， C 两点，且 BOC90【解答】（ 1）在图（ 1）中，当 O 与 A
7、M 相切时，设切点为F连结 OF ，则 OFAM，?在 RtAOF 中， MAN30，OF 12OA 212（x2）， x2，当 x 2 时， O 与 AM 相切D B C ABCDEFO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）?在图（ 2）中，过点O 作 OHBC 于 H当 BOC90时， BOC 是等腰直角三角形，BC222222OBOC22，OHBC， BHCH， OH12BC2在 Rt AHO 中， A30，OH12OA，212（x2）， x222当 x222 时， O 与 AM 相交于 B
8、，C 两点，且 BOC90【点评】 解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解（二）、结论开放例 1（湖南湘潭） 如图，在 ABC 中，AB AC，AD BC，D 为垂足 由以上两个条件可得_(写出一个结论 ) 解： 1 2 或 BD DC 或 ABD ACD 等例 2（徐州）如图，Ol 与 O2 相交于点A、B，顺次连结0l、 A、02、 B 四点，得四边形01A02B（ 1）根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪些性质 ?(用文字语言写出4 条性质 ) 性质 1 _ ；性质 2 _ ；性质 3
9、 _ ；性质 4 _ （2）设 O1 的半径为尺，O2 的半径为r(Rr)，0l，02 的距离为d当 d 变化时，四边形 01A02B 的形状也会发生变化要使四边形01A02B 是凸四边形 (把四边形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)则 d 的取值范围是 _ 解：（ 1）是开放性问题，答案有许多，如：性质 1：相交两圆连心线垂直公共弦；性质 2：相交两圆连心线平分公共弦；性质 3：线段 01A线段 01B；性质 4：线段 02B线段 02A；性质 5： 01A02 01B02；等等21DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
10、- - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）实质是相交两圆的d 与 Rr 的关系，应为R rdRr例 3（莆田市）已知矩形ABCD 和点 P，当点 P 在边 BC 上任一位置（?如图所示）时，易证得结论： PA2PC2PB2PD2，请你探究：当P?点分别在图、?图中的位置时，PA2、PB2、PC2和 PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，?并利用图证明你的结论答：对图的探究结论为_对图的探究结论为_证明：如图2结论均是： PA2PC2PB2PD2证明：如图过点P 作 MNAD 交 AD 于点 M，交 BC 于点 NADBC，MNAD， MN BC在 RtA
11、MP 中， PA2PM2MA2在 RtBNP 中， PB2PN2BN2在 RtDMP 中， PD2DM2PM2在 RtCNP 中， PC2PN2NC2PA2 PC2PM2MA2PN2NC2PB2PD2PM2DM2BN2PN2MN AD，MNNC，DC BC四边形 MNCD 是矩形MD NC同理AMBNPM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2 PN2即 PA2PC2PB2PD2【评析】 本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键（三）、综合开放例 1（宁波）如图，ABC 中， ABAC
12、，过点 A 作 GEBC，角平分线BD、CF 相交于点H，它们的延长线分别交GE 于点 E、G.试在图中找出3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明解： BCF CBD . BHF CHD . BDA CFA. (注意答案不唯一) 证明 BCF CBD ABAC. ABC ACB. A D H F E G B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载BD、CF 是角平分线 . BCF 21ACB， CBD21 ABC BCF CBD. 又 BCCB. BCF CBD例 2（江西省） 已知抛物线
13、1)(2mxy与x轴的交点为A、B （B 在 A 的右边） ，与y轴的交点为C（1）写出1m时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点 B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题 （说明： 根据提出问题的水平层次，得分有差异）解： 当 m1 时， 抛物线解析式为y) 1(2x1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2） 存在m2； （3） 是结论开放题， 答案有许多， 如： 抛物线 y)(2mx1 与 x 轴总有交点，顶点
14、纵坐标为1 或函数最大值为1 等例 3（福州市）如图9，直线ACBD，连结AB，直线ACBD，及线段AB把平面分成、四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时，连结PAPB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角）（1）当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD；（2）当动点P落在第部分时，APBPACPBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明ABCDABCDPABCD图 9 精选学习资料 - - - -
15、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载解：（ 1）解法一：如图91 延长 BP 交直线 AC 于点 E ACBD ， PEA PBD APB PAE PEA ，APB PAC PBD 解法二：如图92 过点 P 作 FPAC ，PAC APF . ACBD ，FPBD . FPB PBD . APB APF FPB PAC PBD 解法三：如图93， ACBD ，CAB ABD 180即PAC PAB PBA PBD 180又 APB PBA PAB 180， APB PAC PBD . （2）不成立 . （3）(a)当动点 P 在
16、射线 BA 的右侧时，结论是PBDPACAPB (b)当动点 P 在射线 BA 上，结论是PBD PAC APB 或PAC PBD APB 或 APB 0，PAC PBD（任写一个即可）(c) 当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是PAC APB PBD 选择 (a) 证明：如图 94，连接 PA，连接 PB 交 AC 于 M ACBD ，PMC PBD 又PMC PAM APM ，PBD PAC APB 选择 (b) 证明：如图9 5 点 P 在射线 BA 上，APB 0 ACBD ，PBD PAC PBD PAC APB 或 PAC PBD APB或APB 0，PAC PBD. 精选学
17、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载选择 (c) 证明：如图 96，连接 PA，连接 PB 交 AC 于 F ACBD ，PFA PBD PAC APF PFA ，PAC APB PBD 三、知识巩固训练1（十堰）代 数 式22(0)mnmn的 三 个实 际 意 义 是 ：_ _ _ 2（荆门市）多项式x2px 12 可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是（写出一个即可）3（常德）请写出一个开口向上，对称轴为直线x2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 _ 4（绍兴市）平移抛物线228yxx
18、，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式_ 5（海安）请给出一元二次方程28xx_0 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根6（资阳）已知asin60 ，bcos45 ，c11()2，d112，从 a、b、c、d 这 4 个数中任意选取 3 个数求和；7（资阳）甲、乙两同学开展“ 投球进筐 ” 比赛，双方约定：比赛分 6 局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8 次，若 8 次投球都未进，该局也结束；计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若 8 次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d.
19、 6 局比赛的总得分高者获胜（1） 设某局比赛第n(n1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；（2）若两人 6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“”表示该局比赛8 次投球都未进)：第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲5 4 8 1 3 乙8 2 4 2 6 根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜8. （年山东省）如图，ABC 中， D、E 分别是 AC、AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O给出下列三个条件：精选学习资料 - - -
20、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载 EBO DCO； BEO CDO； BECD（ 1）上述三个条件中，哪两个条件可判定 ABC 是等腰三角形 （用序号写出所有情形）；（ 2）选择第（ 1）小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形9（年绵阳市）在正方形ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点，连结PA，分别过点B、D 作 BE PA、DF PA，垂足分别为E、F，如图（1）请探索 BE、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系若点 P 在 DC?的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点
21、P 在 CD?的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（ 1）中的三个结论中选择一个加以证明10（甘肃省白银等 7市新课程）探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程两个根二次三项式因式分解x22x10 x11 ，x21 x22x1（ x1）（ x1）x23x20 x11 ，x22 x23x2（ x1）（ x2）3x2 x20 x123，x2 1 3x2x22（x23）（ x1）2x25x 20 x112， x2 2 2x25x22（x12）（ x2）4x213x30 x1 _ ，x2_ 4x2 13x34（x_）（ x_）将你发现的结论一般化，并写出来11（甘肃省陇南市）在平面几
22、何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位： cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积12（安徽省）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据 y 与 x 的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20100 （含 20 和 100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（）新数据都在 60100（含 60 和 100）之间；（）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大精选学习资料
23、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载（1）若 y 与 x 的关系是yxp(100 x)，请说明：当p12时，这种变换满足上述两个要求；【解】（2）若按关系式ya(xh)2k(a0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载四、知识巩固训练答案：1ss大正小正、s矩形（长： mn、宽 mn）；摩托车每辆m 元，自行
24、车每辆n元，m辆摩托车比 n 辆自行车贵多少钱；2 7， 8， 13（写出其中一个即可）；3y(x2)23 等；4yx2 2x 等；512(答案不唯一 )；6abc3242，abd33 222，acd32222，bcd3 2227（ 1）计分方案如下表：n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8 M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1 (用公式或语言表述正确，同样给分.) （2） 根据以上方案计算得6 局比赛，甲共得24 分，乙共得分23 分，所以甲在这次比赛中获胜8.答案不惟一，符合题意即可9（ 1） BEDFEF， BE DFEF， EFBEDF（2）?证明略10填空：14，3；4x213
25、x3 4(x14)(x3)发现的一般结论为：若一元二次方程ax2bxc0 的两个根为x1、 x2，则ax2bxca（xx1）（ xx2）11因为周长一定（2345 620cm）的三角形中，以正三角形的面积最大取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大此时，三边为6、5 2、43，这是一个等腰三角形可求得其最大面积为610.12（ 1）当 P12时， yx11002x，即 y1502xy 随着 x 的增大而增大，即P12时，满足条件（）又当 x 20 时， y1100502 100而原数据都在20100 之间，所以新数据都在60100 之间，即满足条件（），综上可知，当P12时，
26、这种变换满足要求；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2）本题是开放性问题，答案不唯一若所给出的关系式满足：（a）h20；（ b）若 x20， 100 时， y 的对应值m， n 能落在 60100 之间，则这样的关系式都符合要求如取 h 20，y220a xk，a0，当 20 x100 时， y 随着 x 的增大令 x20，y60，得 k60 令 x100，y100，得 a802 k100 由解得116060ak，212060160yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页