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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -专题 06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础学问点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类特别具有开放性的题目 . 而从其中延长出的折叠问题,更能表达其解题核心动中求静,敏捷运用相关数学学问进行解答,有时需要借助或构造一些数学模型来解答 . 实行新课标以来,各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目,这些题目往往显现在挑选、填空题的压轴部分,题型繁多,题意新奇,具有创新力 . 其主要考查的是同学的分析问题及解决问题的才能 . 要求同学具备
2、：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类争论思想；转化思想等等 . 存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特别落点存在性等问题,常用的数学解题模型有“ 一线三直角” 等模型,作图方法是借助圆规化动为静找落点 . 解题思路：分析题目依据落点定折痕建立模型设出未知数列方程求解得到结论 . 解题核心学问点：折叠性质；折叠前后图形大小、外形不变；折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相像图形的性质、三角函数等 . 等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点,再确定折痕；直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类争论,作出图形求解 . 二、精品例题解析题型一：
3、折叠问题中等腰三角形存在性问题例 1. （2022 金水区校级模拟） 如图,AOB=90 ,点P 为AOB 内部一点,作射线 OP,点 M 在射线 OB 上,且 OM = 3 ,点 M 与点 M 关于射线 OP 对称,且直线 MM 与射线 OA 交于点 N,当ONM 为等腰三角形时,ON 的长为1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 2.（2022 蜀山区期末）如下列图, ABC 中,ACB=
4、90 ,ACBC,将 ABC 沿 EF折叠,使点 A落在直角边 BC 上的 D 点,设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、点 F,假如折叠后 CDF 与 BDE 均为等腰三角形,就 B= . 题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例 3.（2022 营口）在矩形纸片 ABCD 中, AD 8,AB 6,E 是边 BC 上的点,将纸片沿 AE 折叠,使点 B 落在点 F处,连接 FC,当 EFC为直角三角形时,BE的长为例 4.（ 2022 唐河县三模） 矩形 ABCD 中, AB=4 ,AD=6 ,点 E 为 AD 的中点,点 P 为线段 AB 上一个动点,连接EP,将 APE 沿 PE
5、折叠得到 FPE,连接 CE,CF,当 CEF为直角三角形时,AP 的长为. 3例 5. （2022 许昌二模）如图,已知平行四边形ABCD 中,AB=16, AD=10 ,sinA=5 , 点 M 为 AB 边上一动点, 过点 M 作 MN AB 交 AD 边于点 N,将A 沿直线 MN 翻折,点 A 落在线段 AB 上的点 E 处. 当CDE 为直角三角形时,AM 的长为. 2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -
6、- - - - - -例 6.（ 2022 金水区校级一模）如图,在 RtABC 中, AB 3,BC 4,点 P 为 AC 上一点,过点P作 PDBC 于点 D,将 PCD 沿 PD 折叠,得到 PED,连接 AE如 APE 为直角三角形,就PC例 7.（ 2022 卧龙区一模）如图,在 RtABC 中,AC8,BC 6,点 D 为斜边 AB 上一点, DEAB交 AC 于点 E,将 AED 沿 DE翻折,点 A 的对应点为点 F假如 EFC是直角三角形, 那么 AD 的长为例 8.（ 2022 河南模拟）在矩形 ABCD 中,AB3,BC4,点 E,F 分别为 BC,AC 上的两个动点,将
7、 CEF沿 EF折叠,点 C 的对应点为G,如点 G 落在射线 AB 上,且 AGF 恰为直角三角形,就线段CF的长为二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 1. （2022 金水区校级模拟） 如图,AOB=90 ,点P 为AOB 内部一点,作射线 OP,点 M 在射线OB 上,且 OM = 3 ,点 M 与点 M 关于射线 OP 对称,且
8、直线 MM 与射线 OA 交于点 N,当 ONM 为等腰三角形时,ON 的长为 . 【分析】分三种情形争论：当 M 落在线段ON 的垂直平分线上时,即MN= M O,ON 的设ONM = x ,通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30 ,进而利用三角函数求得长；当 M N= ON 时,作出图形,得到 ONM 度数,利用三角函数求解；. 当 M O= ON = OM =3 ,此时 M 、M 、N 点不在一条直线上,与题意不符,此种情形不存在【答案】 1 或 3. 【解析】解：由 ONM 为等腰三角形,分以下三种情形争论：当 M 落在线段 ON 的垂直平分线上时,即 MN= M O,如下列
9、图,ANHMPOMB=2 x, 设ONM = x ,就OM M= OMM AOB=90 ,x+2 x=90 ,解得： x=30 ,在 RtNOM 中, ON =OM=3；tan30当 M N= ON 时,如下图所示,4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A HMNP,OMB由知： NOM =30 ,过 M作 M HOA 于 H,HM =1 2OM=3, 2在 RtHNM 中, NM =HM =1
10、cos30即 ON =1 ；当 M O= ON = OM =3 ,AN MPO M B此时 M 、M 、N 点不在一条直线上,与题意不符,此种情形不存在 . 故答案为： 1 或 3. 例 2.（2022 蜀山区期末）如下列图, ABC 中,ACB=90 ,ACBC,将 ABC 沿 EF折叠,使点 A落在直角边 BC 上的 D 点,设 EF 与 AB、AC 分别交于点 E、点 F,假如折叠后 CDF 与 BDE 均为等腰三角形,就 B= . CD= CF,CDF 是等腰三角形,就【分析】由题意知,BDE 是等腰三角形时,分三种情形争论：当 DE= BD 时,设B= x ,通过翻折性质及三角形内角
11、和定理求得 x=45 ；当 BD= BE时,作出图形,设 B= x ,通过翻折性质及三角形内角和定理求得 x=30 ；5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 BE= DE 时,得FDB=90 ,FDB+ CDF=135 180 ,此时C、D、B 点不在一条直线上,与题意不符,此种情形不存在 . 【答案】 45 或30 . 【解析】解：由题意知, CDF 是等腰三角形,就FDB=135 ,CD=
12、 CF,CDF= CFD=45 ,BDE 是等腰三角形时,分以下三种情形争论：当 DE= BD 时,见下图,CAFEDB设B= x ,就DEB= x,EDB=180 2x,由折叠知： A= FDE=90 x,180 2x+90 x =135 ,解得： x=45 ,即B=45 ；当 BD= BE时,如下图所示,C D FAEB设B= x ,就EDB= 180x ,2由折叠知： A= FDE=90 x,180 2x+90 x =135 ,解得： x=30 ,即B=30 ；6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 14 页 - - -
13、 - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 BE= DE 时,得B= EDB,FDB= FDE+ EDB= A+ B=90 ,FDB+ CDF=135 180 ,此时C、D、B 点不在一条直线 上,与题意不符,此种情形不存在 . 故答案为： 45 或30 . 题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题 例 3.（2022 营口）在矩形纸片 ABCD 中, AD 8,AB 6,E 是边 BC 上的点,将纸片沿 AE 折叠,使点 B 落在点 F处,连接 FC,当 EFC为直角三角形时,BE的长为【分析】依据题意作出图形,通过分析可
14、知：点 形后,依据勾股定理等学问求得结果 . 【答案】 3 或 6. E、F 均可为直角顶点,因此分两种情形争论,作出图【解析】解： AD 8,AB6,四边形 ABCD 为矩形,BCAD 8,B90 ,依据勾股定理得：AC 10 由分析知, EFC为直角三角形分下面两种情形：当EFC90 时,如下图所示,由折叠性质知： AFEB 90 ,EFC90 ,AF= AB=6, A、F、C 三点共线,又 AE 平分BAC,CF= ACAF=4 ,设 BE= x,就 EF= x,EC=8 x,在 Rt EFC中,由勾股定理得：x2428x2,解得： x=3 ,即 BE=3 ；当FEC90 时,如下图所示
15、7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由题意知： FEC 90 ,FEB 90 ,AEFBEA 45 ,四边形 ABEF 为正方形,BEAB6综上所述： BE 的长为 3 或 6故答案为： 3 或 6例 4.（ 2022 唐河县三模） 矩形 ABCD 中, AB=4 ,AD=6 ,点 E 为 AD 的中点,点 P 为线段 AB 上 一个动点,连接 EP,将 APE 沿 PE 折叠得到 FPE,连
16、接 CE,CF,当 CEF为直角三角形时,AP 的长为 . 【分析】 当 CEF为直角三角形时, 通过分析知： FCE90 ,不行能为直角顶点,故分两种情形争论：EFC=90 或FEC=90 ,作出图形求解；【答案】9 4或 1. 【解析】解：分以下两种情形争论：（ 1）EFC=90 ,如下图所示,由折叠性质知： A= PFE=90 ,AP= PF 所以点 P、F、C 在一条直线上,8 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
17、- - - - - - -EF= ED=3 ,RtCEFRtCED,由勾股定理得： CE=5 ,CD= CF=4 ,设 AP= x,就 PF= x,PC= x+4 ,BP=4 x,在 Rt BCP 中,由勾股定理得：x42x4262,解得： x=9 4,即 AP=9 4；（2）FEC=90 ,如下图所示,过 F作 FHAD 于 H,过 P 作 PGFH 于 G,易知EFH= ECD,FH EFDE CE, ,AH = PG=3 5,FH 33 5, 即 FH=9 5, EH=12 5由FPG= HFE,cos FPG= cosHFE,即PG PF9FH, EF355, PF3解得： PF=1
18、；故答案为：9 4或 1. 9 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 5.（ 2022 许昌二模）如图,已知平行四边形ABCD 中,AB=16, AD=10 ,sinA=3 5, 点 M 为 AB边上一动点,过点 M 作 MN AB 交 AD 边于点 N,将A 沿直线 MN 翻折,点 A 落在线段 AB 上的点 E 处. 当 CDE 为直角三角形时,AM 的长为 . 【分析】分两种情形争论：当C
19、DE90 ,依据折叠的性质及勾股定理求解；当DEC90 ,过D 作 DHAB 于 H,依据相像三角形的性质：得到 DH 6,AH 8,设 EHx,依据勾股定理得到 x 8 2 7 ,x8+2 7 （舍去）,得 AEAH+ HE 16 2 7 ,于是得到 AM 87 【答案】 4 或 87 . 【解析】解：当 CDE 为直角三角形时,当CDE 90 ,如下图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB CD,DEAB,由折叠知： MN AB,AM EM,MN DE,ANDN 1 2由 sinA MN ANAD 5,3 5,MN 3,AM 4；当DEC 90 ,如下图所示,过 D 作 DHAB 于 H
20、,10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由题意知： HDC 90 ,HDC+ CDECDE+ DCE90 ,HDEDCE,DHECED,DE CD,EH DEsinA3,AD10 ,DH6,AH8,5 设 EHx,DE 4 x ,由勾股定理得： DH2+ HE2DE2, 62+ x216 x,解得： x 8 27 ,x8+27 （不合题意舍去） ,PAEAH+ HE16 27 ,AM 87
21、,故答案为： 4 或 87 例 6.（ 2022 金水区校级一模） 如图,在 RtABC 中, AB3,BC 4,点 P 为 AC 上一点,过点作 PDBC 于点 D,将 PCD 沿 PD 折叠,得到 PED,连接 AE如 APE 为直角三角形,就PC【答案】15 16. 【解析】解：当 AEP90 时,设 PCx,在 Rt PDC 中, sinC3 5,cosC4 5,11 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
22、- - - - -所以 PD3 5x,CD4 5x由折叠知： DECD4 5xBEBC CE12 5x在 ABE 和 EDP 中,BPDE,BAE+ AEB90 ,PED+ AEB 90 ,BAEPEDABEEPDBE ABDP,即12x3,解得 x15 165 3DE4故答案为 :15 16例 7.（ 2022 卧龙区一模）如图,在 RtABC 中,AC8,BC 6,点 D 为斜边 AB 上一点, DEAB 交 AC 于点 E,将 AED 沿 DE翻折,点 A 的对应点为点 F假如 EFC是直角三角形, 那么 AD 的长为【分析】依据勾股定理得到 得到结论【答案】7 5或 5. AB10 ,
23、分三种情形争论： CFE90 ,ECF 90 ,CEF90 时,【解析】解：在 Rt ABC 中, AC 8,BC6,由勾股定理得： AB 10 ,（1）如CFE 90 ,在 Rt ABC 中,ACB 90 ,1+ 2B+ A90 ,12 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由折叠知： A2,AEEF,1B,即 CFBC6,在 Rt CEF中,由勾股定理得：CE2EF2+ CF2,CE2（ 8
24、CE）2+62,CE25 4,AD ACAE7 4,由 ADEACB,得：AE ABAD7 5；（2）当ECF 90 时,点F 与 B 重合, AD5；（3）当CEF 90 时,就EF BC,AFEB,AAFE,AB,ACBC（与题设冲突） ,这种情形不存在,故答案为：7 5或 5例 8.（ 2022 河南模拟）在矩形 ABCD 中,AB 3,BC4,点 E,F 分别为 BC,AC 上的两个动点,将 CEF 沿 EF 折叠,点 C 的对应点为 G,如点 G 落在射线 AB 上,且 AGF 恰为直角三角形,就线段 CF的长为【答案】20 7或20. 9【解析】解： （1）当AFG=90 时,如下
25、图所示,设 CFy 可得： AFGABC13 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AF ABGF BC即53yy；4解得： x20 7（2）当AGF=90 时,如下图,设 CFx 在 Rt ABC 中, AB 3,BC 4,由勾股定理得：AC 5 由折叠知： GFFCAGFABC 90 GF ECAGFABCAF ACGF BC20. 即55xx4解得： x20 9；故答案为：20 7或914 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 14 页 - - - - - - - - -