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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数学“ 存在性” 问题的解题策略存在性问题是指判定满意某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的学问掩盖面较广,综合性较强,题意构思特别精致,解题方法敏捷,对同学分析问题和解决问题的才能要求较高,是近几年来各地中考的“ 热点”；这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论；如能导出合理的结果,就做出“ 存在” 的判定,导出冲突,就做出不存在的判定；由于“ 存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特点,在假设存在性以后进行的推理或运算,对基础学问,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探干脆,正确、完整地解答这类问题,是对
2、我们学问、才能的一次全面的考查；【典型例题】2 2例 1. 如关于 的一元二次方程 x 3 m 1 x m 9 m 20 0 有两个实数根,3又已知 、 、 分别是ABC 的 、 、 的对边,C 90 ,且 cos B,5b a 3,是否存在整数 m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 RtABC 的斜边 的平方？如存在,求出满意条件的 m 的值,如不存在,请说明理由；分析： 这个题目题设较长,分析时要抓住关键,假设存在这样的m,满意的条件有m是整数,一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt ABC 斜边 c 的平方,隐含条件判别式 0 等,这时会发觉先抓住Rt ABC 的斜边为c 这个突
3、破口,利用题设条件,运用勾股定理并不难解决；名师归纳总结 解： 在RtABC 中,C90 ,cosB3x 1,x2第 1 页,共 18 页5设 a=3k, c=5k,就由勾股定理有b=4k,ba3,4 k3 k3,k3a9,b12,c15设一元二次方程x23 m1 xm29m200的两个实数根为就有：x 1x23 m1 ,x x2m29 m20x2x2x1x222x x 1 2 m1 22m29m20122 7 m36 m31由x2x2c2,c1512有7m236m31225,即7m236m2560m 14,m 2647- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 m64学习必备欢迎下载不是整数,应舍去,7当 m 4 时,0存在整数 m=4,使方程两个实数根的平方和等于 Rt ABC 的斜边 c 的平方；k例 2. 如图：已知在同一坐标系中,直线 y kx 2 与 轴交于点 P,抛物22线 y x 2 k 1 x 4 k 与 轴交于 A x 1,B x 2, 两点,C 是抛物线的顶点（1）求二次函数的最小值（用含 k 的代数式表示）（2）如点 A 在点 B 的左侧,且 x1x 20 当 k 取何值时,直线通过点 B；是否存在实数 k,使 SABP=SABC？假如存在,求出抛物线的解析式；假如不存在,请说明理由；分析：此题存在探究性表达在第（ 2）问的后
5、半部分；仔细观看图形,要使 SABP =S ABC,由于 AB=AB ,因此,只需两个三角形同底上的高相等就可以；OP 明显是ABP 的高线,而ABC 的高线,需由 C 作 AB 的垂线段,在两个高的长中含有字母 k,就不难找到满意条件的 k 值；解： a 1 0,y 最小值 44 k 4 k 1 2 k 1 24 由 y x 22 k 1 x 4 k,得：y x 2 x 2 k 当 y 0 时,x 1 2,x 2 2 k点 A 在点 B 左侧,x1x2,又x x20,x 10,x20A（2k,0）,B（2,0）,名师归纳总结 将B 2,0 代入直线ykx2k第 2 页,共 18 页2得：2k
6、2k0,k423当k4 3时,直线过B 点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）过点 C 作 CDAB 于点 D 就CD| k2 1 |k1 2k,直线ykx2k交 轴于P 0,222OP2kCD2ABC,就1ABOP1AB如SABPS22OP=CD k 22 k 1 21解得：k 1,k 2 22由图象知,k 0,取 k 121当 k 时,SABP SABC22此时,抛物线解析式为：y x x 2例 3. 已知：ABC 是 O 的内接三角形, BT 为 O 的切线, B 为切点, P 为直线 AB 上一点,过点 P 作 BC 的平
7、行线交直线 BT 于点 E,交直线 AC 于点 F；（1）当点 P 在线段 AB 上时,求证： PAPB=PEPF （2）当点 P 为线段 BA 延长线上一点时,第（明；假如不成立,请说明理由；1）题的结论仍成立吗？假如成立,请证 如AB4 2,cosEBA1,求O 的半径3分析： 第（ 1）问是一个常规性等积式的证明问题,按一般思路,需要把它转化为比例式,再转化为证明两个三角形相像的问题,同学们不会有太大的困难；难点在于让 P 点沿BA 运动到圆外时,探究是否有共同的结论,符合什么共同的规律；第一需要按题意画出图形,并沿用原先的思路、方法去探究,看可否解决；第（3）问,从题意动身,由条件co
8、sEBA1,欲求O 的半径,启示我们作出直径AH 为帮助线,使隐性的3条件和结论显现出来；证明：（1）（如下列图）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载BT 切 O 于 B, EBA= C,EF BC, AFP= C AFP= EBA 又 APF= EPB PFA PBE PA PEPF PBPF PA PB=PE（2）（如下列图）当 P 为 BA 延长线上一点时,第（1）问的结论仍成立；BT 切 O 于点 B, EBA= C EP BC, PFA=C EBA= PFA 又 EPA=BPE PFA P
9、BE PF PBPA PEPF PA PB=PE（3）作直径 AH ,连结 BH, ABH=90 ,BT 切 O 于 B, EBA= AHB cosEBA1,cosAHB1332 s i nAHB2 cosAHB1又 AHB 为锐角s i n A H B232AB,AB4 2在RtABH 中,sinAHBAHAHsinAB6,AHB O 的半径为 3；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4. 已知二次函数 ymx2学习必备x欢迎下载0 m3 3m（1）求证：它的图象与 x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与
10、 x 轴交于两点 A （ x1,0）,B（x2,0）（x1x2）,与 y 轴交于点 C,且 AB=4 , M 过 A、 B、C 三点,求扇形 MAC 的面积 S；（3）在（ 2）的条件下,抛物线上是否存在点 P,使 PBD（PDx 轴,垂足为 D）被直线 BC 分成面积比为 1： 2 的两部分？如存在,求出点 P 的坐标；如不存在,说明理由；分析： 此题的难点是第（3）个问题；我们应先假设在抛物线上存在这样的点P,然后由已知条件（面积关系）建立方程,如果方程有解,就点P 存在；假如方程无解,就这样的点P 不存在,在解题中仍要留意面积比为 1： 2,应分别进行争论；解： m3 212mm3 20
11、m0它的图象与x 轴必有两个不同的交点；1 ymx2m3 x3mx3 x令y0,就A x 1,0,B x2,0 x1x 2,m03,x 11x2mA 1,0 ,B 3,0 mAB=4 ,OA=1 ,OBx3,33,m1,B 3,0 my22x3C（ 0, 3）, OC=OB , ABC=45 AMC=90 ,设 M （1,b）,由 MA=MC ,得： 11 22 b2 1 b3 2b=1, M （1, 1）名师归纳总结 MA 11 21 25第 5 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S 扇形MAC125学习必备欢迎下载44（3）设在抛物
12、线上存在这样的点P（x,y）,就过 B（3,0）,C（0, 3）的直线BC的解析式为：yx3,设BC与PD交于点E当 SPBE：SBED=2： 1 时,PE=2DE, PD=3DE PD 的长是 P 点纵坐标的相反数,DE 的长是 E 点纵坐标的相反数,且 P、E 两点横坐标相同PDx 1y抛3x22x3,DEy直线x3x22x33 x3 解得：2,x3不合题意,舍去P（2, 3）当 SPBE：SBED =1：2 时,PE1DE,DP3DE15 4B 两点,点A 在原22x22x33x3 2解得：x 11,215 4x 23不合题意,舍去P1,2抛物线上存在符合题意的点P 2,3 或P1,2例
13、 5. 如图：二次函数yx2bxc 的图象与x 轴相交于A、点左边,点B 在原点右边,点P 1,m 在抛物线上,AB2,tanPAO25（1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；名师归纳总结 （3）在 x 轴下方的抛物线上有一动点D,是否存在点D,使 DAO 的面积等于PAO第 6 页,共 18 页的面积？如存在,求出D 点坐标；如不存在,说明理由；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：（1）作 PHx 轴于 H,在 Rt PAH 中t a n PAOPH22AH5PHm,AH5m2P（1,m）在抛物线上,m=1+b+c ,设A
14、x1,0,B x 2,0,AB2|x2x1|2x 1x224 x x22令y0,得：x2bxc0x 1x 2b,x x 1 2c,b24 cxbb24cb222且x 1x 2,x 1b2,x2b222OH=1 , AH AO=1 名师归纳总结 AH5m,AOx 1b22第 7 页,共 18 页2 b5 2m212m1bcm2425由：5mb221得：b425b24 c2c2125b4舍去m244x2125 yx2525（3）假设在 x 轴下方的抛物线上存在点D（x 0,y0）,使SDAOSPAO,就有：SDAO1|AO |y0|,SPAO1|AO |PH|22- - - - - - -精选学习
15、资料 - - - - - - - - - |y 0| |PH|m24学习必备欢迎下载1,25y04x 024,代入 y 0 2521 24x24x 021,得：53,x 2 505x 0 2,解得：x 155255满意条件的点有两个：D 3,24 或 D 1,245 25 5 25例 6. 如图,在平面直角坐标系 OXY 中,正方形 OABC 的边长为 2cm,点 A 、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上,抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A 和 B,且 12a+5c=0；（1）求抛物线的解析式；（2）假如点 P 由点 A 沿 AB 边以 2cm/秒的速度向点B 移动,同时点
16、Q 由点 B 开头沿tBC 边以 1cm/秒的速度向点C 移动,那么：移动开头后第t 秒时,设S=PQ 2（cm 2）,试写出S 与 t 之间的函数关系式,并写出的取值范畴；当 S 取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、 B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,恳求出点R 的坐标；如不存在,请说明理由；解：（1）依据题意, A（0, 2）,B（2, 2）2ca56b5依据题意：24a2bc312a5 c0c2抛物线的解析式为： y5x25x263（2）移动开头后第t 秒时, AP=2t ,BQ=t P（2t, 2）,Q（2,t2）名师归纳总结 SPQ2,S2ttt222t22第
17、 8 页,共 18 页即S5 t28t401 当 取得最小值时,45- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P8,2 ,Q 2,6学习必备欢迎下载55假设在抛物线上存在点R,使得以 P、B、Q、 R 为顶点的四边形是平行四边形,如以 PR 为一条对角线,使四边形 PBRQ 为平行四边形BP 2 8 2 QR5 52 2 12,R 12,6 ,5 5 5 512 6经检验 R, 在抛物线上,5 5如为 PB 为一条对角线,使四边形PRBQ 为平行四边形6,使得以P、 、Q、RBQ4t4PR5 14255R 8,14,经检验R 8,14不在抛物线上5555综上所
18、述,当S 最小时,抛物线上存在点R 12,55为顶点的四边形是平行四边形；练习名师归纳总结 一、单项挑选题（每题3 分,共 42 分）ab23D. 2 a2a a0 第 9 页,共 18 页1. 2 1（）A. 1 B. 1 C. 2 2. 以下运算正确选项（）a b6 ；D. aA. 3 a2a35 4 a ； B. a4a7 ；C. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 1 纳米 =0.000000001 米,就 3.14 纳米用科学计数表示为（）A. 3.14 109 米；B. 3.14 108 米；C. 3.14 109 米
19、；D. 3141010米4. 李明沿着坡角为 的斜坡前进200 米,就他上升的最大高度是（）A. 200cos米； B. 200米；C. 200sin米； D. 200米cossin）5. 如图, O 的直径 AB CD 弦于 E,如 OB=5, CD=8,就 BE 长为（A. 3 ；B. 2.5； C. 2；D. 1 6. 今年学校有 n 件科技小作品参赛, 比去年增加了 40%仍多 5 件,设去年有 m 件作品参赛,就 m=（）A. n 5；B. n1 40% 5 ；C. n 5；D. n1 40% 51 40% 1 40%7. 两圆直径分别为 14 和 6,圆心距为 8,就这两圆公切线最
20、多有（）条；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在直角坐标系中,点A（m,n）且 m2 n0,就点 A 肯定不在（）的图象上；）A. y1 ； B. y xx ；C. yx ； D. yx29. 如图,在ABC 中, DE BC,AD ： DB=EC ：AE ,就 DE：BC= （A. 1 ：3；B. 1： 1；C. 2：1；D. 1：2 10. 是中心对称但不是轴对称的图形是（）A. 正三角形；B. 梯形；C. 平行四边形；D. 直线11. 三峡工程在 6 月 1 日 6 月 10 日下闸蓄水期间, 水库水位由 106 米升至 135 米,高峡出平湖初现人间；假设水库水位保持匀称上
21、升,能正确反映水位 的是（）h米与时间 t（天）变化名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 假如圆锥的母线长是高的学习必备欢迎下载8 3 ,就圆锥的高是（）2 倍,侧面绽开图的面积是A. 1 ；B. 1.5；C. 2 ；D. 2313. 某商品的价格是按利润的50%运算销售价,为了促销,实行打折优惠方式出售；如每件商品打折后仍能获利20%,就商家是按销售价的（2）折出售x20 ,就 y 1y 2的A. 七五；B. 八；C. 八五；D. 九14. 已知 ykk0 图象上有点A x 1,y1, B x,y2, x
22、1x值（）D. 正负不确定A. 小于 0；B. 等于 0；C. 大于 0 ；二、填空题15. 函数 y 1 x 的自变量 x 的取值范畴是 _；1 x316. 分解因式： x 3 x 4 x 12 _；17. 已知梯形下底长是上底长的 2 倍,且中位线是 6cm ,就下底长是 _cm ；18. 假如 x 22 x 2 8 5,就 x 22 x 1 _；x 2 x 119. 如图,在直角坐标系中,Rt OAB Rt OCD,相像比为 1：2,且 B（1,1）,就 D 的坐标是（ _,_）；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - -
23、- - 学习必备 欢迎下载20. 小明预算 4 月份家庭用电开支；四月初连续8 天早上电表显示的读数见下表,假如每度电收取电费0.42 元,估量小明家四月份这个月（按 30 天计）的电费是 _元；（注：电表计数器上先后两次显示的读数的差就是这段时间内所消耗电能的度数）日期1 2 3 4 5 6 7 8 电报显示读数21 24 28 33 39 42 46 49 三、（每题 5 分,共 15 分）21. 假如一个角的补角是155 ,求这个角的余角；22. 运算： 1tan6011 0|31 |；223. 如图,是一块由长方形ABCG 割去长方形EFGD 而成的金属板；请你画一条直线,将金属板 A
24、BCDEF 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹,不写作法,不要证明）_为所求作的直线；名师归纳总结 四、解答题（ 24 题 7 分,其余每题8 分,共 39 分）CA 平第 12 页,共 18 页24. 已知等腰梯形ABCD 的周长是15,AD BC,ADBC , BAD=2 B,对角线分 BCD ,求对角线AC 的长及梯形面积S；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载25. 某球迷协会组织 36 名球迷乘车前往竞赛场地为中国队加油助威,现可租用两种车辆：一种每辆车可乘坐8 人,另一种每辆车可乘坐4 人,要求每辆车既不超载也不空座位（1）
25、请你给出三种不同的租车方案（2）如 8 个座位的车是每辆 280 元/天, 4 个座位的车是每辆 200 元/天,写出租车费用S（元）与租 8 人座位车 x（辆）的函数解析式,并求自变量 x 取值范畴；（3）请确定租车总费用最小的方案,这时费用是多少元？26. 已知：如图,塔AB 和楼 CD 的水平距离为80 米,从楼顶C 处及楼底 D 处测得塔顶A名师归纳总结 的仰角分别45 和 60 ,试求塔高和楼高； （精确到0.01 米,21414,31.732）第 13 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载127. 如图,已知
26、 BC 是 O 的直径,延长 CB 至 A ,使 AB BC 2 ,割线 APM 交 O2于点 M ,使 3PM=2AP ,过 M 作 O 的另始终径 MN ,连结 PN 交 AC 于 E,切线 PF 切O 于 P,交 AB 于 F；（1）求证： MN BC 于 O；（2）求BFP 的面积；A （x 1, 0）,B（x2,0）28. 已知：抛物线yx212m x64m与 x 轴交于两点x1x2,x 10 ,它的对称轴交x 轴于点 N（x 3,0）,如 A ,B 两点距离不大于6,（ 1）m 的值,x 2求 m 的取值范畴；（2）当 AB=5 时,求抛物线的解析式； （ 3）试判定,是否存在使过
27、点 A 和点 N 能作圆与 y 轴切于点 （0,1）,或过点 B 和点 N 能作圆与 y 轴切于点 （ 0,1）,如存在找出满意条件的m 的值,如不存在试说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载试题答案一、单项挑选题： （每题 3 分,共 42 分）1. B 2. C 3. C 14. A 4. C 5. C 6. C 7. B 8. A 9. D 10. C 11. D 12. C 13. B 二、填空题15. x1且 21x3 16. x2 x17. 4 6 318. 0 或 2 19.
28、 D（ 2, 2）20. 50.4 元 三、（每题 5 分,共 15 分）21. 6522. 31223. 如图： MN 为所求作的直线；24. 对角线 AC 的长为 3 3 ,梯形面积S 为27 4325. 解：（1）设租用 8 座车 x 辆,租用 4 座车 y 辆,就 8xx4y36,y92xy7；当x2时,y5 当0 时,y9；当x1时,5 辆三种不同的租车方案是：租用 4 座车 9 辆；租用 8 座车一辆, 4 座车 7 辆；租用 8 座车两辆, 4 座车（2） S 280 x 200 y 280 x 200 9 2 x 即 S 120 x 1800 0 x 4,且 是整数 当 x=4
29、 时, S最小 1800 1204 1320 元 租车总费用最小的方案是：租用 8 座车 4 辆,租用 4 座车 1 辆,这时费用为 1320 元；26. 塔高： 138.56 米,楼高： 58.56 米名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 27. 证明：（ 1） AB1BC学习必备4欢迎下载2,BC2 3 PM2AP,AP3PM2设 AP=3m,就 PM=2m,由切割线定理： APAM=AB AC m2 5 3 m5 m26m24,55 AM25 m 252 52205又 MO2AO22 24220 MO2AO2A
30、M2 AOM 是直角三角形,MN BC （2）作 PHAC 于 H, PH MN PH MOAP AM3,PH3MO3265555设 BF=x,就 AF= 2x , PF 为切线, APF= TPM= N 即 APF= N A+M=90 , N+ M=90 , A= N 名师归纳总结 A=APF, PF=AF= 2x2x20xx4 第 16 页,共 18 页由切割线定理：PF2FBFC, x1负值舍去 ,BF12263 SBFP1BFPH1122251028. 解：（1）令 y=0,就 x212m x6m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1x2,且
31、x10,x1学习必备0欢迎下载0,x2x2 x 12m3,x 220 A 2m3,0 ,B2,0 , AB2 2 m3 52 m由 AB 6,且 x x20 ,得：4m260m3125m6m21m32（2）当 AB=5 时, 52 m5,m抛物线的解析式为：yx2x6（3） N（ x3,0）是抛物线与x 轴的交点 N2 m1,0 2如 N 在 x 轴的正半轴上,就 OG1,ON2m1,OB22由切割线定理：OG2ONOBm112 m122如 N 在 x 轴的负半轴上,名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 ON12 m,OA32 m学习必备欢迎下载2名师归纳总结 由切割线定理： OG2ONOA第 18 页,共 18 页112 m32 m 32 m 1223,m 2221m32 m223舍去 m223m 的值为 1 或223；- - - - - - -