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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页反常二重积分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、无界区域上的二重积分 定定义义1 设设 为为定定义义在无界区域在无界区域 D 上的二元函上的二元函 数数.若若对对于平面上任一包于平面上任一包围围原点的光滑封原点的光滑封闭闭曲曲线线 在曲在曲线线所所围围的有界区域的有界区域与与 D 的交集的交集 (图图21-42)上二重可积上二重可积.令令 若若存在有限存
2、在有限极限极限:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页且与且与的取法无关的取法无关,则则称称 在在 D 上上的反常二的反常二 重积分收敛重积分收敛,并记并记 否否则则称称在在 D 上的反常二重上的反常二重积积分分发发散散,或或简简 发发散散.称称 定理定理21.16 设设在无界区域在无界区域 D 上上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为一列包围原点的光滑封闭曲线序列为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,满足满足 其中其中为为所所围围的有界区域的有界区域.这时这时反反 常二重常二重积积分分(1)必定收必定收敛敛,并且并且 证证 设设为为任何包任何包围围原点的光滑封原点的光滑封
3、闭闭曲曲线线,它所它所围围成成 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的区域的区域记为记为并并记记 .因因为为 因此存在因此存在 n,使得使得 由于由于 所所 以有以有 另一方面，因为另一方面，因为故故对对任任给给的的总总有有 使得使得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再由再由 由定理由定理 21.16 的证明容易看到有以下定理的证明容易看到有以下定理:因而因而对对于充分大的于充分大的 有有可知可知反常二重反常二重积积分分 存在存在,且等于且等于 I.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理21.17 若在无界区域若在无界区域 D上上 则则反常二反常二
4、 重重积积分分(1)收收敛敛的充要条件是：在的充要条件是：在 D 的任何有界子的任何有界子 区域上区域上可可积积，且，且积积分分值值有上界有上界.例例1 证明反常二重积分证明反常二重积分收敛收敛,其中其中 D 为第一象限部分为第一象限部分,即即 部分部分.因因为为 所以二重所以二重积积分分 证证 设设 是以原点是以原点为圆为圆心心 R 为为半径的半径的圆圆在在第一象限第一象限 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的值随着的值随着 R 的增大而增大的增大而增大.又因又因 所以所以 显显然然对对 D 的任何有界子区域的任何有界子区域 总总存在足存在足够够大的大的 R,返回返回返回返回后
5、页后页后页后页前页前页前页前页使得使得于是于是 因此由定理因此由定理21.17,反常二重反常二重积积分分 收收敛敛，并且由定理并且由定理21.16 有有 由由 (2)式还可推出在概率论中经常用到的反常积分式还可推出在概率论中经常用到的反常积分 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为为此此,考察考察 上的上的积积分分 因为因为 而而(图图 21-43),所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令,则则得得 故得故得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有 例例2 证证明
6、明:若若 则则 证证 对对于于 函数函数,令令 则则,于是于是从而从而 关关 函数与函数与 函数的函数的联联系公式系公式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页令令 由二重由二重积积分化分化为为累次累次积积分的分的计计算公式算公式,有有 所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页式右边的反常二重积分式右边的反常二重积分,记记 于是有于是有 这里这里 为平面上第一象限为平面上第一象限.和例和例1 一样一样,下面讨论下面讨论(4)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对上式积分应用极坐标变换，则得对上式积分应用极坐标变换，则得 再由第十九章再由第十九章3 的的 (
7、10)式就得到式就得到 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理21.18 设设在无界区域在无界区域的任何有界子区的任何有界子区 证证 (只只证证充分性充分性)设设 收收敛敛于于M.作辅作辅 域上可域上可积积.则则反常二重积分反常二重积分收敛的充收敛的充 要条件是要条件是:反常二重积分反常二重积分收敛收敛.助函数助函数:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页显然有显然有 因而任因而任给给有界区域有界区域 恒有恒有 所以所以与与在在 D 上的反常二重上的反常二重积积分都分都 收敛收敛.又因又因 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以在在 D 上的反常二
8、重上的反常二重积积分也收分也收敛敛.关于必要性的证明关于必要性的证明,有兴趣的读者可参阅菲赫金哥有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注注 对于反常定积分对于反常定积分,绝对收敛的反常积分一定收敛绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然反之不然.而在反常二重积分中而在反常二重积分中,绝对收敛的反常积绝对收敛的反常积 分一定收敛分一定收敛,反之亦然反之亦然.出现这种区别的原因出现这种区别的原因,是因是因为直线上的点是有序的为直线上的点是有序的,而在平面上的点是无序的而在平面上的点是无序的.定理定理21.19(柯西判柯西判别别法法)设设 在无界
9、区域在无界区域 D 的的 任何有界子区域上可积任何有界子区域上可积,D 中中的点的点 到原点的距到原点的距 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页离为离为 (i)若当若当 r 足足够够大大时时,则则当当 时时,反常二重反常二重积积分分 收收敛敛；(ii)若若在在 D 上上满满足足 其中其中 D 包包 含有以含有以原点为顶点的无限扇形区域原点为顶点的无限扇形区域,则当则当 时，时，反常二重反常二重积积分分 发发散散.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页*证证 记记 则则(i)因因为对为对任意任意 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 收收敛敛.(ii)设
10、设 其中其中 对对任意任意 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此 发发散散.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二无界函数的二重积分定定义义2 设设 P 为为有界区域有界区域 D 的一个聚点，的一个聚点，在在 D 界界,为为 D 中任何含有中任何含有 P 的小区域，的小区域，在在 上可上可积积,又又设设 d 表示表示 的直径的直径.若极限若极限 上除点上除点 外皆有定义外皆有定义,且在且在 的任何空心邻域内无的任何空心邻域内无 存在且有限存在且有限,并与并与 的取法无关的取法无关,则则称称 在在 D 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上的反常二重积
11、分收敛上的反常二重积分收敛,记作记作否则称否则称反常反常积积分分发发散散.与无界区域上的反常重积分一样，对无界函数的反与无界区域上的反常重积分一样，对无界函数的反 常重积分也可建立相应的收敛性定理常重积分也可建立相应的收敛性定理.其证明方法其证明方法也与定理也与定理21.19类同类同,请读者自证请读者自证.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理21.20 (柯西判柯西判别别法法)设设在有界区域在有界区域 D 上除点上除点外外处处处处有定有定义义,点点是它的瑕点是它的瑕点,则下面两个结论成立则下面两个结论成立:(i)若在点若在点 P 的附近有的附近有 其中其中 c 为为常数，常数，,则则当当时时,反常二重反常二重积积分分收收敛敛;返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页且且 D 含有以点含有以点 P 为顶为顶点的角形区域点的角形区域,则则当当时时,反常二重反常二重积积分分发发散散.总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同(ii)若在点若在点 P 的附近有的附近有 之处之处.复习思考题