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1、关于二重积分的现在学习的是第1页，共28页设设 A( (x) )表示过点表示过点 x 任取子区间任取子区间 x, x + dx a, b. 且垂直且垂直 x 轴的平面轴的平面 与曲顶柱体相交的截面的面积，与曲顶柱体相交的截面的面积，1. 设积分区域设积分区域 D 可用不等式组表示为可用不等式组表示为 bxaxyx ),( )(21 如图所示，如图所示，选选 x 为积分变量，为积分变量，x a, ,b ，一、直角坐标系中的累次积分法一、直角坐标系中的累次积分法 则曲顶柱体体积则曲顶柱体体积 V 的微元的微元 dV 为为现在学习的是第2页，共28页 baxxAV.d)(,d)(dxxAV 式中面积
2、函数式中面积函数 A(x) 是一个以区是一个以区间间 1(x) , 2(x) 为底边、为底边、以曲线以曲线 z= f (x,y)( (x 是固定是固定的的) )为曲边的曲边梯形，为曲边的曲边梯形，其面积可表示为其面积可表示为现在学习的是第3页，共28页 )()(21.d),()(xxyyxfxA 将将 A(x) 代入上式，代入上式，则曲顶柱体的体积则曲顶柱体的体积. dd),()()(21 baxxxyyxfV 于是于是，二重积分二重积分 baxxDxyyxfyxf. dd),(d),()()(21 现在学习的是第4页，共28页公式称为先积公式称为先积 y ( (也称内积分对也称内积分对 y)
3、 )后积后积 x ( (也称外积分也称外积分对对 x ) )的累次积分公式的累次积分公式.它通常也可写成它通常也可写成 baxxDyyxfxyxf)()(21d),(dd),( 这结果也适用于一般情形这结果也适用于一般情形.现在学习的是第5页，共28页2. 设积分区域设积分区域 D 可用不等式组表示为可用不等式组表示为如右图，则如右图，则 Ddcyyxyxfyyxf)()(21.d),(dd),( ，dycyxy )( )(21 现在学习的是第6页，共28页 首先在首先在 xy 平面上画出所围成的平面上画出所围成的区域区域 D . .若是先积若是先积 y 后积后积 x 时时，得投影区间得投影区
4、间 a, b ，则把区域则把区域 D 投影到投影到 x 轴上，轴上， 在在 a, b 上任意确定一个上任意确定一个 x ， 这时这时 a 就是对就是对 x 积分积分( (外积分外积分) )的下限，的下限，b 就是对就是对 x 积分积分( (外积分外积分) )的上限；的上限； 过过 x 画一条与画一条与 y 轴平行的直线，轴平行的直线， 假定它与区域假定它与区域 D 的的边界曲线边界曲线( (x = a, x = b 可以除外可以除外) )的交点总是不超过两个的交点总是不超过两个( (称这种称这种区域为凸域区域为凸域) ). 把二重积分化为累次积分，其把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如
5、下直观方法确定上下限的定法可用如下直观方法确定：现在学习的是第7页，共28页且与边界曲线交点纵坐标分别为且与边界曲线交点纵坐标分别为 y = 1(x) 和和 y = 2(x)，如果如果 2(x) 1(x)， 那么那么 1( (x) )就对就对 y 积分积分( (内积分内积分) )的下的下限限， 2(x) 就是对就是对 y 积分积分( (内积分内积分) )的上限的上限. . 类似地，先积类似地，先积 x ( (内积内积分分) )后积后积 y ( (外积分外积分) )时的定时的定限方法如右图所示限方法如右图所示.现在学习的是第8页，共28页 如果区域不属于凸域，把如果区域不属于凸域，把 D 分成若
6、干个小区域，使分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么每个小区域都属于凸域，那么 D 上的二重积分就是这些小区上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和域上的二重积分的和.现在学习的是第9页，共28页例例 1试将二重积分试将二重积分 Dyxf化化为为 d),( 两种不同次序两种不同次序的累次积分，的累次积分，其中其中 D 是由是由 x = a,x = b,y = c, y = d( (a b, c d) ) 所围成的矩形区域所围成的矩形区域 .解解画出积分区域画出积分区域 D 如图如图.如果先积如果先积 y 后积后积 x，则有则有 Dbadcyyxfxyxf.d),(dd),( 如果先积
7、如果先积 x 后积后积 y ，则可得，则可得 Ddcbaxyxfyyxf.d),(dd),( 现在学习的是第10页，共28页例例 2 试将试将 化为两种不同次序的累次化为两种不同次序的累次积分，积分， Dyxf d),( 其中其中 D 是由是由 y = x，y = 2 - - x 和和 x 轴所围成的区域轴所围成的区域.解解 首先画出积分区域首先画出积分区域 D 如图，如图， 并求出边界曲并求出边界曲线的交点线的交点(1, 1)、(0, 0) 及及 (2, 0). Dyxf d),(则则 1d),(Dyxf - - 2120,d),(dxyyxfx 2d),(Dyxf 100d),( dxyy
8、xfx现在学习的是第11页，共28页如果先积如果先积 x 后积后积 y ， 则为则为.d),(dd),(102 - - Dyyxyxfyyxf 现在学习的是第12页，共28页 其中其中 D 是抛物线是抛物线 y2 = x 与与直线直线 y = x - - 2 所围成的区域所围成的区域.例例 3计算二重积分计算二重积分,d Dxy 解解 画出积分区域画出积分区域 D 如图，如图， 并求出边界曲线的交点并求出边界曲线的交点 (1, - -1) 及及 (4, 2)，由图可见，由图可见， 先积先积 x (内积分内积分) 后积后积 y ( (外积分外积分) )较为简便较为简便. 现在学习的是第13页，共
9、28页 Dxy d - -2212ddyyxxyy.855 由定限示意图有由定限示意图有 - - 2122d22yyxyy= - - - 2152d) 2(21yyyy2162346234421- - - - yyyy现在学习的是第14页，共28页例例 4计算计算,de2 - -Dy 其中其中 D 是由直线是由直线 y = x , y = 1 与与 y 轴所围成轴所围成 .解解 画出积分区域画出积分区域 D，作定限示意图，作定限示意图， 并求出边界并求出边界曲线的交点曲线的交点 (1, 1) , (0, 0) 及及 (0, 1)， 则则x = yDOx1y(1,1)(1,1) - -Dy de
10、2 - - - - 101022e21deyyyy).e1(211- - - - -100ded2yyxy - - 100de2yxyy现在学习的是第15页，共28页即即 x = 常数和常数和 y = 常数，常数，二、极坐标系中的累次积分法二、极坐标系中的累次积分法 在直角坐标系中，用平行于在直角坐标系中，用平行于 x 轴和平行于轴和平行于 y 轴的两族轴的两族直线，直线， 把区域把区域 D 分割成许分割成许多子域多子域. 这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，绝大多数都是矩形域绝大多数都是矩形域( (如图如图) ).( (当分割更细时，这些不规则子域当分割更
11、细时，这些不规则子域的面积之和趋向于的面积之和趋向于 0. . 所以不必考所以不必考虑虑).). 于是，图中阴影所于是，图中阴影所示的小矩形示的小矩形 i 的面积为的面积为现在学习的是第16页，共28页.kjiyx 因此，因此， 在直角坐标系中的面积元素可记为在直角坐标系中的面积元素可记为.dddyx 而二重积分可记为而二重积分可记为.dd),(d),( DDyxyxfyxf 现在学习的是第17页，共28页 和和 r = 常数的两常数的两族曲线，族曲线，在极坐标系中，在极坐标系中，我们可用我们可用 = 常数常数 和另一族圆心在极点和另一族圆心在极点的同心圆，的同心圆，即一族从极点发出的射线即一
12、族从极点发出的射线 这些子域除了靠边这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，界曲线的一些子域外，把把 D 分割成许多子域，分割成许多子域，绝大多数都是扇形域绝大多数都是扇形域( (如图如图).).( (当分割更细时，这些不规则子域当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向的面积之和趋向于于 0. 所以不必考所以不必考虑虑).). 于是图中所示的子域的面于是图中所示的子域的面积近似等于积近似等于 以以 rd 为长，为长，dr为宽的矩形面积，因此在极坐标系为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为中的面积元素可记为,ddd rr 现在学习的是第18页，共28页于是二重积分的极坐标形式为于是二重积
13、分的极坐标形式为 DDrrrrfyxf.dd)sin ,cos(d),( sincosryrx再通过变换再通过变换现在学习的是第19页，共28页 且边界方程为且边界方程为 r = r( ) ，如图，如图，实际计算中，实际计算中， 分两种情形来考虑分两种情形来考虑:1) ) 如果原点在积分域如果原点在积分域 D 内内， 则二重积分的累次积分为则二重积分的累次积分为 Drrrrf dd)sin ,cos(,dd)sin ,cos(20)(0 rrrrrf或写为或写为 dd)sin ,cos(rrrrfD 20)(0.d)sin ,cos(d rrrrrfr = r( )xO现在学习的是第20页，共
14、28页 , 分分别是对别是对 积分积分( (外积分外积分) )的下限和上限，的下限和上限， 则从原点作则从原点作两条射线两条射线 = 和和 = ( )2) ) 如果坐标原点不在积分域如果坐标原点不在积分域 D 内部内部，( (如图如图) )夹紧域夹紧域 D . . 在在 与与 之间作之间作任一条射线与积分域任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极径分别为的边界交两点，它们的极径分别为 r = r1( )，r = r2( )，假定假定 r1( ) r2( )， 那么那么 r1( ) 与与 r2( ) 分别是对分别是对 r 积积分分( (内积分内积分) )下限与上限，下限与上限，现在学习的是
15、第21页，共28页即即 Drryf dd)sin ,cos(.d)sin ,cos(d)()(21 rrrrrrf现在学习的是第22页，共28页例例 5把把 Dyxf d),(化为极坐标系中的累次积分，化为极坐标系中的累次积分，其中其中 D 是由圆是由圆 x2 + y2 = 2Ry 所围成的区域所围成的区域 .并把并把 D 的边界曲线的边界曲线 x 2 + y2 = 2Ry 化化为极坐标方程，为极坐标方程，作射线作射线 = 0 与与 = 夹紧域夹紧域 D .解解在极坐标系中画出区域在极坐标系中画出区域 D 如图，如图，即为即为r = 2Rsin 与域边界交两点与域边界交两点 r1 = 0，r2
16、 = 2Rsin ，在在 0, 中任作射线中任作射线Dr = 2Rsin Ox现在学习的是第23页，共28页得得 Dyxf d),(.d)sin ,cos(d0sin20rrrrfR .dd)sin ,cos( rrrrfD 现在学习的是第24页，共28页 并把并把 D 的的边界曲线化为极坐标方程，边界曲线化为极坐标方程， 即为即为例例 6在极坐标系中，在极坐标系中，计算二重积分计算二重积分， Dyx d)(22 D 是由是由 x2 + y2 = R12 和和 x2 + y2 = R22 (R1 R2 ) 所围成的环所围成的环形区域在第一象限的部分形区域在第一象限的部分. 解解在极坐标系中画出
17、区域在极坐标系中画出区域 D ，如图，如图，现在学习的是第25页，共28页 在在 0 与与 之间任作一射线与域之间任作一射线与域 D 的边界交两点的边界交两点 r = R1 和和 r = R2 ，2 d)(22 Dyx),(8dd414220321RRrrRR- - 如果积分域如果积分域 D 是整个环形，是整个环形，显然有显然有 Drrr d2r = R1,r = R2,作两条射线作两条射线 = 0 与与 =2 夹紧积分域夹紧积分域 D .所以有所以有现在学习的是第26页，共28页).(21424RR- - DDrrryx ddd)(222 20321ddRRrr 21212d243RRRRrrr 现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看现在学习的是第28页，共28页