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1、第第第第9.39.39.39.3节节节节 反常二重积分与三重积分简介反常二重积分与三重积分简介反常二重积分与三重积分简介反常二重积分与三重积分简介一、反常二重积分一、反常二重积分一、反常二重积分一、反常二重积分二、三重积分二、三重积分二、三重积分二、三重积分一、反常二重积分一、反常二重积分一、反常二重积分一、反常二重积分 二重积分二重积分的积分区域都是有界的，然而实际应用中有时的积分区域都是有界的，然而实际应用中有时的积分区域都是有界的，然而实际应用中有时的积分区域都是有界的，然而实际应用中有时会遇到积分区域无界（如全平面、半平面或有界区域的外部会遇到积分区域无界（如全平面、半平面或有界区域的
2、外部会遇到积分区域无界（如全平面、半平面或有界区域的外部会遇到积分区域无界（如全平面、半平面或有界区域的外部等）的二重积分，如概率论中计算二维正态分布的分布函数等）的二重积分，如概率论中计算二维正态分布的分布函数等）的二重积分，如概率论中计算二维正态分布的分布函数等）的二重积分，如概率论中计算二维正态分布的分布函数就是无界区域上二元函数的积分，我们称这样的二重积分为就是无界区域上二元函数的积分，我们称这样的二重积分为就是无界区域上二元函数的积分，我们称这样的二重积分为就是无界区域上二元函数的积分，我们称这样的二重积分为反常二重积分反常二重积分反常二重积分反常二重积分.解解 如图所示，设如图所示
3、，设如图所示，设如图所示，设为为圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为圆心在原点，半径为的圆域，的圆域，的圆域，的圆域，例例1 1 设设设设为为全平面，讨论反常二重积分全平面，讨论反常二重积分全平面，讨论反常二重积分全平面，讨论反常二重积分因此因此因此因此又因为当又因为当又因为当又因为当时，积分区域时，积分区域时，积分区域时，积分区域，所以所以所以所以 事实上，例事实上，例1的方法具有一般性，可以用于讨论无界区的方法具有一般性，可以用于讨论无界区域上一般二元函数反常积分的收敛性，由此给出反常二重积域上一般二元函数反常积分的收敛性，由此给出反常二重积分的定义分的定义.无限扩展到无
4、界区域无限扩展到无界区域以任何形状、任何方式连续变以任何形状、任何方式连续变在在定义定义 若若为平面上的无界区域为平面上的无界区域函数，如图所示，如果用任意光滑的曲线函数，如图所示，如果用任意光滑的曲线中划出有界区域中划出有界区域后，得到的二重积分后，得到的二重积分都存在，且当曲线都存在，且当曲线时，极限时，极限都存在且总取相同的值都存在且总取相同的值，则称此极限则称此极限在无界区域在无界区域上的反常二重积分，上的反常二重积分，上的二元上的二元动使得区域动使得区域为函数为函数记作记作即即这时称此反常二重积分这时称此反常二重积分收敛，收敛，发散发散.否则称反常二重积分否则称反常二重积分 例例2
5、2 证明泊松积分证明泊松积分，并进一步计算并进一步计算解解 由于由于的原函数不能用初等函数表示的原函数不能用初等函数表示，因此通过直接积分求极限的方法计算泊松积分因此通过直接积分求极限的方法计算泊松积分.由由例例1得得因此泊松积分因此泊松积分令令，则，则，于是于是注注 是概率统计中非常重要的一种密度是概率统计中非常重要的一种密度函数函数标准正态分布随机变量的密度函数标准正态分布随机变量的密度函数(如如图所示图所示图所示图所示)，由，由，由，由本例知它在实数轴的反常积分为本例知它在实数轴的反常积分为本例知它在实数轴的反常积分为本例知它在实数轴的反常积分为1.1.1.1.xy例例3 3 若二元函数
6、若二元函数计算反常二重积分计算反常二重积分因此根据二重积分的性质，只需计算积分区域因此根据二重积分的性质，只需计算积分区域在第一象限部分（如图所示）的二重积分在第一象限部分（如图所示）的二重积分即可即可.解解 由于被积函数由于被积函数仅在第一象限不为仅在第一象限不为0，D1byay=xOD，于是于是时，时，这样当这样当又因又因是无界区域，是无界区域，故取有界闭区域故取有界闭区域，上的三元函数，上的三元函数，并以并以将区域将区域定义定义 设设是空间有界闭区域是空间有界闭区域任意分割成任意分割成个小区域个小区域和和分别表示第分别表示第个小区域的体积和直径，个小区域的体积和直径，.在每个小区域在每个
7、小区域上任取一点上任取一点，作和作和，当区域当区域无限细分，即无限细分，即时，如果极限时，如果极限存在，存在，在区域在区域上可积，并称此极限为函数上可积，并称此极限为函数.且记且记则称函数则称函数二、三重积分二、三重积分二、三重积分二、三重积分1.1.三重积分的定义三重积分的定义其中其中称为被积函数，称为被积函数，称为积分表达式称为积分表达式，称为体积元素，称为体积元素，称为积分区域称为积分区域.W W在区域在区域上的三重积分上的三重积分，记作记作2.2.2.2.在空间直角坐标系下三重积分的计算在空间直角坐标系下三重积分的计算在空间直角坐标系下三重积分的计算在空间直角坐标系下三重积分的计算 边
8、界的小区域不规则外其余有代表性的小区域均为长方体，边界的小区域不规则外其余有代表性的小区域均为长方体，其棱长可分别为其棱长可分别为在空间直角坐标系中，如果用平行于三个坐标平面在空间直角坐标系中，如果用平行于三个坐标平面的平面簇分割积分区域的平面簇分割积分区域，得到的小区域除含得到的小区域除含，于是于是的体积元素可化的体积元素可化，因此三重积分可表示为因此三重积分可表示为为为求二重积分的值是将其转化为二次积分来计算求二重积分的值是将其转化为二次积分来计算,求三重积分的积分值也可将其转化为三次积分来计算求三重积分的积分值也可将其转化为三次积分来计算.轴且穿过区域轴且穿过区域的直线与的直线与曲线相交
9、不超过两个交点的积分区域曲线相交不超过两个交点的积分区域间直角坐标系下如何将三重积分化为三次积分，具体方法间直角坐标系下如何将三重积分化为三次积分，具体方法下面以平行于下面以平行于为例，介绍在空为例，介绍在空的边界的边界如下：如下：同样同样作过此点平行于作过此点平行于如图所示，将空间有界闭区域如图所示，将空间有界闭区域投影到坐标平面投影到坐标平面上，得到一个平面有界闭区域上，得到一个平面有界闭区域，在在上任取一点上任取一点轴的直线，轴的直线，边界曲线交点的边界曲线交点的和和此直线与此直线与竖坐标自下而上依次为竖坐标自下而上依次为这样积分区域可表示为这样积分区域可表示为然后，计算然后，计算在平面
10、区域在平面区域上的二重积分，即上的二重积分，即上积分得到上积分得到在对在对积分时，先将积分时，先将暂时看成常数，而暂时看成常数，而只看作是只看作是的函数，将它在区间的函数，将它在区间的二元函数，记为的二元函数，记为关于关于再利用二重积分的计算公式便可求出再利用二重积分的计算公式便可求出若平面区域若平面区域为为型区域，如用不等式型区域，如用不等式表表示，示，则则这样就将三重积分化成了三次积分，通过三次这样就将三重积分化成了三次积分，通过三次计算定积分求出其积分值计算定积分求出其积分值解解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为积分区域如图所示，可以用不等式表示为所以三重积分可以化为所以三重积分可以化为是由平面是由平面例例4 4 计算三重积分计算三重积分，其中其中及三个坐标及三个坐标面所围成的立体区域面所围成的立体区域