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1、关于二重积分概念现在学习的是第1页，共35页例例空空间间有有界界体体三三重重积积分分平平面面有有界界闭闭域域二二重重积积分分重重积积分分空间曲线空间曲线积分平面曲线平面曲线积分曲线积分空空间间有有界界曲曲面面曲曲面面积积分分现在学习的是第2页，共35页掌握掌握1.1.每一种积分的每一种积分的实际意义实际意义4.4.每一种积分的每一种积分的计算方法计算方法（常规常规，技巧），技巧）3.3.每一种积分的每一种积分的性质性质2.2.每一种积分的每一种积分的特定和式极限写法特定和式极限写法现在学习的是第3页，共35页一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲
2、面积分曲面积分现在学习的是第4页，共35页第六章重 积 分 二重积分二重积分三重积分三重积分现在学习的是第5页，共35页三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第八章 现在学习的是第6页，共35页解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“分割, 代替, 作和, 取极限” D),(yxfz 以直代曲现在
3、学习的是第7页，共35页D),(yxfz 1)“分割”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“代替”在每个k, ),(kk3)“作和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk现在学习的是第8页，共35页4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk现在学习的是第9页，共35页2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片
4、的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 ,则M若),(yx非常数 ,仍可用其面密 解决.1)“分割”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .Dyx“分割, 代替, 作和, 取极限” 现在学习的是第10页，共35页2)“代替”中任取一点k在每个),(kk3)“作和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量yx现在学习的是第11页，共35页两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同nkkkkfV10),(li
5、mnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: “分割, 代替, 作和, 取极限” 现在学习的是第12页，共35页二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 现在学习的是第13页，共35页积分和nkkkkf1),(),
6、(kk点点fC)(思考1：与哪些因素有关DD 区域区域)()(A)(BT分法分法#2013050201现在学习的是第14页，共35页Dyxfd),(二重积分与哪些因素有关#2013050202),(kk点点fC)(DD 区域区域)()(A)(BT分法分法思考2：现在学习的是第15页，共35页注注:),),( ,(DfTSii（1）有有关关和和与与Dfd)y,x(fD（2）的的质质量量物物理理意意义义：求求平平面面薄薄片片的的体体积积几几何何意意义义：求求曲曲顶顶柱柱体体Dd)y, x(f现在学习的是第16页，共35页如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxy
7、xf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作（3）现在学习的是第17页，共35页二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf(证明略)定理1.在D上可积可积.在有界闭区域 D上连续,则现在学习的是第18页，共35页思考1 写出二重积分 的值，其中221Dxy dxdy 22( , )1.Dx y xy3)(A32)(B)(C不知道)(D#2013050206现在学习的是第19页，共35页解2221.3Dxy dxdy 该立体是一个半径为1的半球体， 由二重积分的几何意义知，要求的二重积分是一个以曲面为顶、以为底的曲顶柱体的体积 例1 写出二
8、重积分 的值，其中 221Dxy dxdy 22( , )1.Dx y xyxyzo1142233 半球体的体积为现在学习的是第20页，共35页三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 2( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(, 1),(. 1yxfD上上若在若在DDdd1 为D 的面积, 则 线性性现在学习的是第21页，共35页特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(4
9、. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(5. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有保序性绝对可积性估值定理现在学习的是第22页，共35页6.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质5 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此f(x,y)在D上平均值现在学习的是第23页，共35页7（对称性）（对称性）-不仅要考虑被积函数的奇偶不仅要考虑被积函数的奇偶性，
10、而且要考虑积分区域的对称性性，而且要考虑积分区域的对称性.xDD),(),(,),(2),(),(, 0),(1DD1轴上半部轴上半部在在为为其中其中则则yxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxf轴对称轴对称关于关于设设xD) 1 (现在学习的是第24页，共35页7.DD),(),(,),(2),(),(, 0),(2DD2轴右半部轴右半部在在为为其中其中则则yyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxf轴对称轴对称关于关于设设yD)2(（对称性）（对称性）-不仅要考虑被积函数的奇偶性，不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性而且要考虑积分区域的对称性现在学习的
11、是第25页，共35页7.00D),(),(,),(2),(),(, 0),(3DD3部分部分或或为为其中其中则则yxyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxf关关于于原原点点对对称称设设D)3(（对称性）（对称性）-不仅要考虑被积函数的奇偶性不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性，而且要考虑积分区域的对称性现在学习的是第26页，共35页7.0y0 xD),(),(),(,),(4),(),(),(),(, 0),(4DD4部分部分且且为为其中其中或或则则yxfyxfyxfdxdyyxfyxfyxfyxfyxfdxdyyxf轴轴均均对对称称轴轴关关于于设设y,xD)4(
12、（对称性）（对称性）-不仅要考虑被积函数的奇偶性，不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性而且要考虑积分区域的对称性现在学习的是第27页，共35页7对称）对称）关于关于与与（母表示无关母表示无关积分与积分变量用何字积分与积分变量用何字则则xyDD),()(),(),(DDdxdyxyfdxdyxyfdxdyyxfD对对称称关关于于设设xy D)5(（对称性）（对称性）-不仅要考虑被积函数的奇偶性不仅要考虑被积函数的奇偶性，而且要考虑积分区域的对称性，而且要考虑积分区域的对称性现在学习的是第28页，共35页,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(
13、41 yxM5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解：例例1现在学习的是第29页，共35页d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD：例例2比较下列积分的大小:)(A)(B)(C)(D#2013050203现在学习的是第30页，共35页比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,
14、故在 D 上 1y2xo1D：例例2现在学习的是第31页，共35页.),(0 ,0),(, )sin(),(DdxdyyxfyxyxDyxyxf求求设设：例例31 )(A0)(B2)(C不知道不知道)(D#2013050204现在学习的是第32页，共35页.),(0 ,0),(, )sin(),(DdxdyyxfyxyxDyxyxf求求设设：例例3 xyoxy DdxdyyxdxdyyxfI)sin(),(D解解： Ddxdyxy)sin( Ddxdyyx)sin(0 I现在学习的是第33页，共35页：例例4114)4()3(0)()2(141) 1 (0, 0, 1),(1),(233223222222122DDDDDDDxydxdyxydxdydxdyyxdxdyyxdxdyyxxdxdyyxdxdyyxyxyxyxDyxyxD则下列等式成立的是则下列等式成立的是设设#2013050205现在学习的是第34页，共35页感谢大家观看现在学习的是第35页，共35页