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1、关于二重积分计算关于二重积分计算现在学习的是第1页，共31页播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示现在学习的是第2页，共31页步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积现在学习的是第3页，共31页 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量i)
2、,(ii将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片， 所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo现在学习的是第4页，共31页定义定义 设设),(yxf是有界闭区域是有界闭区域D上的有界函上的有界函数，将闭区域数，将闭区域D任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i个小闭区域，个小闭区域，也表 示它 的 面积 ， 在每 个也表 示它 的 面积 ， 在每 个i 上 任取 一点上 任取 一点),(ii ，作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并作和并作和 iiniif ),(1，二、二重积分
3、的概念二、二重积分的概念现在学习的是第5页，共31页如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .现在学习的是第6页，共31页(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积
4、积分分必必存存在在.对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值现在学习的是第7页，共31页 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为xyo则面积元素为现在学习的是第8页，共31页性质当 为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质现在学习的是第9页，共31页性质对区域具有可加性.),(
5、),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质 若 为D的面积，.1 DDdd 性质若在D上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有现在学习的是第10页，共31页 设设M、m分别是分别是),(yxf在闭区域在闭区域 D 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值， 为为 D 的面积，则的面积，则性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质（二重积分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxf
6、D（二重积分估值不等式）现在学习的是第11页，共31页如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数 、 在区间 上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 3.2 二重积分的计算现在学习的是第12页，共31页为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdy
7、yxfdxdyxf 得现在学习的是第13页，共31页.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D现在学习的是第14页，共31页 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321 DDDD则必须分割.现在学习的是第15页，共31页例 1计算,122 dyxyD 其中 是由直线D1 xxy、和 所围成的闭
8、区域.1 y解如图,D既是 型, X又是 型. Y若视为 X型,则原式dxdyyxyx 111221dxyxx1112/322)1(31 .21)1(32)1|(|31103113 dxxdxxxy 现在学习的是第16页，共31页例 1计算,122 dyxyD 其中 是由直线D1 xxy、和 所围成的闭区域.1 y解若视为 X型,则原积分.21 若视为型, Y则,111221122dydxyxydyxyyD 分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于x的积分计算比较麻烦,xy 现在学习的是第17页，共31页解两曲线的交点两曲线的交点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Dd
9、xdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 现在学习的是第18页，共31页例 3计算二重积分, Dxyd 其中 是由抛物线Dxy 2及直线 所围成的闭区域.2 xy解如图,(见P141图3-12)D既是 型, X也是 型. Y但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.dyxydxxydyyD 2122 dyyyydyyxyy 21522212)2(2122故选现在学习的是第19页，共31页例 3计算二重积分, Dxyd 其中 是由抛物线Dxy 2及直线 所围成的闭区域.2 xy解如图,
10、(见P141图3-11)D既是 型, X也是 型. Y但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选 Dxyd dyyyy 2152)2(212162346234421 yyyy.845 现在学习的是第20页，共31页例4 计算二重积分 Dyxdxdye,其中区域D是由1, 0, 1, 0 yyxx围成的矩形.如图,因为D是矩形区域,且,yxyxeee 所以 1010dyedxedxdyeyDxyx.)1()(21010 eeeyx解Oxy11D现在学习的是第21页，共31页例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0(
11、)1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 现在学习的是第22页，共31页例6 交换二次积分 1010),(xdyyxfdx的积分次序.解题设二次积分的积分限:,10, 10 xyx 可改写为:,10, 10yxy 所以 yxdxyxfdydyyxfdx10101010.),(),(xy 1现在学习的是第23页，共31页例7交换二次积分 21201020),(),(2xxxdyyxfdxdyyx
12、fdx的积分次序.解题设二次积分的积分限: xyxxxyx20, 2120, 102可改写为yxyy 211, 102所以原式.),(102112dxyxfdyyy xy 222xxy 现在学习的是第24页，共31页AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分现在学习的是第25页，共31页.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )si
13、n,cos(二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图, ).()(21 rAoD)(2r)(1r现在学习的是第26页，共31页AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos(现在学习的是第27页，共31页 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd注：极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0现在学习的是第28页，共31页例例 1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐
14、坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd现在学习的是第29页，共31页例例 2 2 计算计算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原点，半径为原点，半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.解在在极极坐坐标标系系下下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae Oxyr 现在学习的是第30页，共31页感谢大家观看现在学习的是第31页，共31页