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1、第11周习题课参考内容重积分的盘算跟使用一、二重积分的盘算坐标变更积分变量代换1.求极限.解：用极坐标盘算积分后再求极限2.盘算由曲面与所围成的空间地区的体积.解：两个曲面订交的曲线投影到xy平面所包抄的地区3.求,此中为与的年夜众局部()解：能够作图断定积分地区应用极坐标上去盘算4.设地区，盘算二重积分。解：留意积分地区是x轴右侧的单元半圆盘，应用对称性推出也可应用极坐标盘算失掉；因此。二、三重积分的盘算1盘算，此中由，这4个曲面围成。解：如图，此中原式=。2求，。法一：，先二后一法二：思索变量代换，那么，地区化为，原式=3求三重积分，如图1/4局部。解：由函数与地区的对称性，留意，解出在x
2、y平面投影的地区以下可用种种办法盘算：应用柱坐标系：；应用球坐标系：；先对积分：。4设在上延续，此中，求？解：用柱坐标变更，那么化为，因此。5求曲面所围平面的体积。解：取坐标变更球坐标的推行，曲面方程化为，所包抄的地区化为：，；经盘算，变更的Jacobi行列式，因此体积。6求由以下6个平面所包抄的平行六面体的体积，此中系数行列式，。解：无妨设，引入变量代换那么地区化为长方体，且。因此的体积盘算如下：。7求由上面曲面所包抄的空间体的体积：此中行列式。解：引入变量代换那么地区化为球体，且。因此的体积。8盘算，此中由球面围成。解：留意到，先思索平移坐标代换，那么体积微元稳定，积分地区转化为半径为a的
3、球形此中积分地区对于对称被积函数是的奇函数，地区对称球体积公式再应用积分地区对于的对称性综上。9盘算由椭圆锥面与椭圆抛物面围成的空间地区的体积。解：由题意，能够应用“先一后二的不雅念对待地区做出表示图看的更清晰：，此中为xy平面上地区，由曲线围成，也即，上面思索狭义极坐标变更，那么地区化为，变更的Jacobi行列式三、物理使用1半径为的球体没入比重为的液体中，球心至液面间隔为，。分不盘算球面的上半部跟下半部所接受的液体的总压力，。解：以球心为原点，树破空间直角坐标系，那么球面方程为，液面方程为。因为对称性显然程度总压力为0，即，即只要盘算垂直压力重量。在球面上任取一点，该地方受垂直压力的巨细为，当在球面上部时，且压力向下；当在球面下部时，且压力向上。上部向下的垂直压力，下部向上的垂直压力。盘算可得能够应用极坐标变更，。注：假如思索全部球面遭到的垂直向上协力浮力，那么有球体排开的液体总品质此即为阿基米德浮力定律。探讨：假定标题中，那么应怎样盘算？后果会怎样？不用盘算，留作思索又假定，那么应怎样盘算？后果又有什么变更？不用盘算能够思索纯数学的办法以及联合物理道理的盘算办法