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1、第14周习题课参考内容第二型曲面积分，Gauss-Stokes公式一、向量场沿定向曲面的积分第二型曲面积分提纲：向量场沿定向曲面的积分的两种表白方式设为空间地区上的延续向量场，为中定向曲面，那么规则1，向量方式此中称为有向曲面微元。再记的单元法向量，此平分不为与x,y,z轴正向的夹角。这时候不是在yz立体，zx立体，xy立体上的投影，因而有此中标记依附因而否小于直角小于直角取正号，年夜于直角取负号。平日记；在各坐标立体带标记的投影如此1又能够表白为2。直角坐标方式1.设为球面在第一卦限中、不与坐标立体订交的一局部的外侧，面积为，又设向量场，求解：留意的单元外法向量，依照向量场沿定向曲面积分的界
2、说，。2.，的内侧。解：法一：思索被积函数向量场，曲面的单元法向，原式=积分的曲面对于x-y-z都对称，被积函数分不是x,y或许z的奇函数。法二：独自调查，曲面分红高低两局部，投影到x-y立体失掉统一个立体地区，但两局部法向与z轴正向夹角恰恰相反，因而同理剖析其他2项失掉：原式=0。法三：应用球坐标参数表现来盘算，略3.，外侧。解：法一：思索被积函数向量场，曲面单元法向，积分的曲面对于z=0对称，而被积函数是z的奇函数。法二：应用球坐标参数表现曲面，那么。4.，为长方体的界限外侧。解：由6个立体形成，单元法向量分不为：，：，：，：，：，：，因而，。5求穿过：的流量Q。解：的单元法向，穿过的流量
3、正负号决议从哪个偏向穿过。二、Gauss公式使用提纲：Gauss公式散度定理的两种表白方式设为有界空间地区上的向量场，为分片润滑的界限曲面的外侧，那么1。向量方式进一步应用曲面积分的直角坐标方式，1又能够写成2。直角坐标方式1证实空间中的分部积分公式：设为空间有界闭地区，其界限为润滑闭曲面，那么1，2，此中为界限曲面的单元外法向，。解：应用Gauss公式1跟2，1取，2取，2设为单元球上的函数，求证。解：轻易不雅看*，对于，在单元球中使用Gauss公式，失掉，此中在球面上法向，代入上式便得，回到初始不雅看的等式*，便失掉需求的论断。3.填空：_，为外侧。解：应用球面性子，而后用Gauss公式4
4、.盘算，此中为在的局部，上侧为正。解法一直截了当盘算曲面积分：为，此中，。解法二应用Gauss公式，取为立体在的局部，下侧为正，又记为及包抄的地区，那么，使用Gauss公式，在上，地区对于x，y对称综上。5.盘算，圆柱外侧解：为使用Gauss公式，取，那么，此中下侧，上侧；，复杂盘算失掉，原式=解法二：直截了当盘算曲面积分6.盘算，此中是球面上半球面的上侧。解：补上立体z=0的下侧，在包抄的上半球地区顶用Gauss公式，；在z=0立体下侧，法向与z轴偏向相反，因而。三、Gauss-Stokes公式的使用1设为空间中有界地区，其界限为有界润滑闭曲面，为中谐跟函数，求证：1假如在上，那么在中必有；
5、2假如在上为的外法线偏向，那么在中必有常数。解：回想Gauss公式，如今取，留意到，以及，由此失掉应用上或；这阐明在中，进而常数得证；在1前提下显然该常数=0。2.盘算Gauss积分：，此中为一个不通过原点的润滑闭合曲面，为上点处的单元外法线向量，解：留意，因而.留意事先，当不包抄原点时，记为包抄的地区，使用Gauss公式，当包抄原点时，将原积分转化为球面外侧上的积分终极失掉3.盘算，此中为圆周从Ox轴的正向看去，圆周的正向为逆时针偏向。解：应用Stokes公式记为立体在球面内的局部，法向与x轴夹锐角，那么，由Stokes公式，此中为立体的单元法向量，而，此中为立体被球面截下年夜圆的面积。法二直截了当盘算曲线积分：应用球坐标来表现曲线，：，参数增为正向：，参数减为正向