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1、第8周习题课参考内容2阶Taylor开展，极值咨询题一二阶Taylor多项式开展例1写出以下函数在指定点的2阶Taylor开展式代Peano型余项：1在；2在。1法一：直截了当开展带入Taylor公式失掉法二：直接开展，应用一元幂函数的Taylor开展：2法一：直截了当开展盘算直到2阶偏导数法二：应用1元余弦函数的曾经明白Taylor开展，直接失掉待盘算的近似开展可应用长除法失掉例2曾经明白隐函数是由方程在点邻域内断定求在原点的带Peano余项的二阶Taylor公式解：曾经明白，记，那么，进一步有，将以及代入，失掉；同理盘算，失掉，综上得。注：应用隐函数方程能够特不复杂地导出在原点的3阶Tay
2、lor公式：二极值咨询题例1设由断定，求该函数的极值解：微分失掉，由此导出，临界点方程为，同时还要满意隐函数前提，三个方程联破，能够解得临界点复杂盘算在点，可盘算出，且，Hessen矩阵正定，可见点是极小值点；为盘算函数的极小值，可应用途的临界点方程解得在点，可盘算出，且，Hessen矩阵负定，因而点是极年夜值点；再应用临界点方程解得函数的极年夜值为留意：由上述隐函数极年夜值跟极小值的巨细能够推断，方程实践断定了两支隐函数。第一个隐函数只要极小值，不极年夜值；第二个隐函数只要极年夜值，不极小值。例21在区间内用一次函数均匀迫近函数，怎样拔取才干使方差到达最小，这里？2在区间内用三角函数组合均匀
3、迫近曾经明白函数，怎样拔取可使方差到达最小？解：1思索函数的最小值咨询题，起首盘算，解临界点方程组，失掉独一解，；留意当趋于无量时，趋于正无量，不会到达最小值，因而只能在，时取到最小值，即所求的线性迫近函数为。2思索函数的最小值咨询题，起首盘算解临界点方程组，失掉独一解这时即为所求例3函数在有界闭地区上延续，在外部偏导数存在,在的界限上的值为零，在外部满意，此中是严厉枯燥函数，且。求证。证实：假定不恒为0，假如在地区内某点P处获得正极年夜值，那么由满意的方程，导出，但严厉枯燥，因而，抵触！同理也不能够在地区内到达负的最小值。综上失掉。弥补题前提极值咨询题例1求原点到曲面的最短间隔解：这可归纳为
4、前提极值咨询题其Lagrange函数为临界点方程组为解得Lagrange函数的两个临界点为临界点到原点的间隔；依照实践意思推断，本咨询题存在最短间隔，而获得最短间隔的点必是临界点，故确实是最短间隔例2.求抛物面与破体的交线椭圆到原点的最长间隔跟最短间隔解:由题意，目的函数为，只要思索前提极值咨询题，引入Lagrange函数失掉临界点方程组，解得，响应于2个临界点，；由多少何意思可知，临界点分不是最小值点跟最年夜值点，比拟目的函数在这两点的值：，可见最长间隔为，最短间隔为。三、向量函数的微分跟导数1盘算极坐标、柱坐标、球坐标变更的Jacobi矩阵跟Jacobi行列式：1破体极坐标变更，也即；2空间柱坐标变更，也即；3空间球坐标变更，也即。解：直截了当盘算如下1，；2，；3，。2.盘算向量复合函数的Jacobi矩阵：1，在；2，。解：1记，在时，。法二：由，失掉，再将带入即得2由题意，同时，。