《2021-2022学年高二物理竞赛课件：算符的一般特性.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高二物理竞赛课件：算符的一般特性.pptx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、算符的一般特性算符的一般特性（1 1）线性算符）线性算符(c11+c22)=c11+c22其中其中c1,c2是任意复常数，是任意复常数，1,1是任意两个波函数。是任意两个波函数。满足如下运算规律的满足如下运算规律的 算符算符 称为线性算符称为线性算符（2 2）算符相等）算符相等若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数体系的任何波函数 的运算的运算结果都相果都相 同，即同，即=，则算符算符 和算符和算符 相等相等记为=。例如：例如：开方算符、取复共轭均不是线性算符。开方算符、取复共轭均不是线性算符。算符的一般特性算符的一般特性代表对波函数进行某种运算或变换的符号代表对波函数进行某种运算或变换的
2、符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：对波函数做相应的运算才有意义，例如：表示表示 把函数把函数 u 变成成 v，就是就是这种种变 换的算符。的算符。u=v d/dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是是对函数函数 u 微商，微商，故称故称为微商算符。微商算符。du/dx=v x 也是算符。也是算符。它它对 u 作用作用 是使是使 u 变成成 v。x u=v算符之和算符之和 若两个算符若两个算符 、对体系的任何波函数体系的任何波函数 有：有
3、：(+)=+=则+=称称为算符之和。算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系例如：体系Hamilton 算符算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。很易证明线性算符之和仍为线性算符。算符之积算符之积若若()=()=则=其中其中是任意波函数。是任意波函数。一般来一般来说算符之算符之积不不满足足 交交换律，即律，即 这是算符与通常数运算是算符与通常数运算 规则的唯一不同之的唯一不同之处。（5 5）对易关系）对易关系若若 ，则称称 与与 不不对易。易
4、。显然二者然二者结果不相等，所以果不相等，所以:对易易关系关系量子力学中最基本的量子力学中最基本的 对易关系。易关系。若算符若算符满足足=-，则称称 和和 反反对易。易。写成通式写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。对易，各动量之间相互对易。注意：注意：当当 与与 对易，易，与与 对易，不能推知易，不能推知 与与 对易与否。易与否。例如：例如：对易括号对易括号为了表述了表述简洁，运算便利和研究量子，运算便利和研究量子 力学与力学与经典力学的关系，人典力学的关系，人们定定义了了 对易括号：易括号：,-这样一来，这样一来，坐标和动量的对易关系坐标
5、和动量的对易关系 可改写成如下形式：可改写成如下形式：不不难证明明对易括号易括号满足如下足如下对易关系：易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0 上面的第四式称上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。恒等式。返回返回逆算符逆算符1.1.定定义:设=,=,能能够唯一的解出唯一的解出 ,则可定可定义 算符算符 之逆之逆 -1-1 为:-1-1 =并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算符在逆算符,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆.2.2.性性质 I:I:若算符若算符 之逆之逆 -1-1 存在存在,则 -1-1=-1-1 =I =I,-1-1=0 =0
6、证:=:=-1-1=-1-1()=()=-1-1 因因为是任意函数是任意函数,所以所以-1-1 =I =I成立成立.同理同理,-1-1=I =I 亦成立亦成立.3.3.性性质 II:II:若若 ,均存在逆算符均存在逆算符,则 ()-1-1=-1-1 -1-1例如例如例如例如:设给定一函数设给定一函数 F(x),F(x),其各阶导数均存在其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛其幂级数展开收敛则可定可定义算符算符 的函数的函数 F(F()为:复共轭算符复共轭算符算符算符的复共的复共轭算符算符 *就是把就是把表达式中表达式中 的所有量的所有量换成复共成复共轭.例如例如:坐坐标表象中表象中算符函数算符函数
7、利用波函数标准条件利用波函数标准条件:当当|x|x|时时,0 0。由于由于、是是 任意波函数任意波函数,所以所以同理可同理可证:转置算符转置算符由此可得：由此可得：:转置算符置算符 的定的定义厄密共厄密共轭 算符亦可算符亦可 写成：写成：算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 +定义定义:可以可以证明明:()+=+(.)+=.+定定义:满足下列关系足下列关系 的算符称的算符称为 厄密算符厄密算符.2.性性质性性质 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。两个厄密算符之和仍是厄密算符。即即 若若 +=,+=则 (+)+=+=(+)性性质 II:两个厄密算符之两个厄密算符之积一般不是厄密一般不是厄密 算
8、符算符,除非二算符除非二算符对易。易。因因为 ()+=+=仅当当 ,=0 成立成立时,()+=才成立。才成立。返回返回H 与自旋无关，总自旋与自旋无关，总自旋 S 是守恒量是守恒量即使氦原子受到扰动，即使氦原子受到扰动，Hamilton 量有所改变，但是只要没有量有所改变，但是只要没有显著的自旋显著的自旋轨道耦合作用，总自旋轨道耦合作用，总自旋 S 就是守恒量，因此，虽就是守恒量，因此，虽然正氦基态能量比仲氦基态（氦原子真正基态）高得多，但是然正氦基态能量比仲氦基态（氦原子真正基态）高得多，但是正氦放出能量跃迁到仲氦基态上去的概率却很小，这种状态称正氦放出能量跃迁到仲氦基态上去的概率却很小，这
9、种状态称为亚稳态。一般来讲，正氦、仲氦相互转化的概率很小，因此为亚稳态。一般来讲，正氦、仲氦相互转化的概率很小，因此正、仲二氦有时俨如两种不同气体。正、仲二氦有时俨如两种不同气体。全同性要求电子波函数反对称化决定了氦的特殊性质全同性要求电子波函数反对称化决定了氦的特殊性质尽管氦原子尽管氦原子 H 与自旋无关，然而氦原子的性质却与自旋有很与自旋无关，然而氦原子的性质却与自旋有很大关系。例如：总自旋不同的正、仲二氦性质上的明显差异大关系。例如：总自旋不同的正、仲二氦性质上的明显差异就是电子的全同性引起的，全同性要求电子波函数反对称使就是电子的全同性引起的，全同性要求电子波函数反对称使得它们的自旋波函数与空间波函数关联起来，自旋通过这种得它们的自旋波函数与空间波函数关联起来，自旋通过这种关联影响空间波函数从而影响氦的性质。关联影响空间波函数从而影响氦的性质。当当 m n 时，氦激发态时，氦激发态 4 度交换简并，应该使用简并度交换简并，应该使用简并微扰论。微扰论。其中：其中：由于总自旋波函数由于总自旋波函数 1 0、3 1、3 0、3 -1 是彼此正是彼此正交归一化波函数，所以，非对角矩阵元交归一化波函数，所以，非对角矩阵元 Hi j=0，而，而三重态的对角矩阵元相等，即：三重态的对角矩阵元相等，即：H22=H33=H44，因，因此解久期方程可得两个根：此解久期方程可得两个根：