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1、厄密算符本征函数的正交性 厄密算符本征函数的正交性厄密算符本征函数的正交性厄密算符本征函数的正交性厄密算符本征函数的正交性正交正交：对于动量本征函数：对于动量本征函数对于两函数若满足对于两函数若满足则称它们相互则称它们相互正交正交厄密算符所有属于不同本征值的两本征函数相互正交厄密算符所有属于不同本征值的两本征函数相互正交3.5-1设设 为厄密算符为厄密算符 的本征函数，它们所属的本征函数，它们所属的本征值的本征值 都不相等，当都不相等，当 时，有时，有3.5-2证明：证明：已知已知3.5-33.5-4且有且有3.5-5对于厄密算符，有对于厄密算符，有3.5-3式的复共轭为式的复共轭为3.5-6
2、根据厄密算符定义有根据厄密算符定义有3.5-7由由3.5-6、3.5-7式得式得即即3.5-8故有故有得证。且得证。且无论算符本征值分立或连续都是成立的。无论算符本征值分立或连续都是成立的。设本征函数已归一化，即设本征函数已归一化，即3.5-9跟跟3.5-2合并得合并得3.5-10若算符本征值组成连续谱，有若算符本征值组成连续谱，有3.5-11满足上两式的函数系称为满足上两式的函数系称为正交归一系正交归一系。若算符的本征值是简并的，它有多个本征函数。设为若算符的本征值是简并的，它有多个本征函数。设为则上面的证明一般不能适用，它们不一定相互正交。则上面的证明一般不能适用，它们不一定相互正交。但也
3、不一定不正交！但也不一定不正交！若不正交，若不正交，我们总可以用我们总可以用f2个常个常数数Aji把这把这f个函数线性组合成个函数线性组合成f个新函数个新函数3.5-12使它们相互正交，其正交归一化条件为使它们相互正交，其正交归一化条件为3.5-13共有共有f(f+1)/2 个方程（其中个方程（其中j=j的归一化条件有的归一化条件有f个，个，的正交条件有的正交条件有f(f-1)/2 个），待定系数有个），待定系数有f2个。当个。当f1时，时，f2 f(f+1)/2,即待定系数即待定系数Aji大于其所应满足的方程数目，大于其所应满足的方程数目，因而可以有许多种方法选择因而可以有许多种方法选择Aj
4、i，使函数满足正交归一化，使函数满足正交归一化条件。此函数还是原来对应本征值的本征函数。条件。此函数还是原来对应本征值的本征函数。举例举例：(1)线性谐振子能量本征函数线性谐振子能量本征函数组成正交归一系组成正交归一系3.5-14(2)角动量算符的本征函数角动量算符的本征函数组成正交归一系组成正交归一系3.5-15组成正交归一系组成正交归一系3.5-16由此可得缔合勒让德多项式的正交性由此可得缔合勒让德多项式的正交性3.5-17两式合并得两式合并得3.5-18（3）氢原子波函数氢原子波函数组成正交归一系组成正交归一系跟跟3.5-18合并合并3.5-19如波函数没有归一化，上式改写为如波函数没有
5、归一化，上式改写为3.6-6设设 的全部本征函数的全部本征函数 和和 组成完全系，有组成完全系，有3.6-73.6-83.6-3式变为式变为3.6-93.6-10例题例题1：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布。求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布。解：先将其基态波函数按动量算符的本征函数展开解：先将其基态波函数按动量算符的本征函数展开把把代入得代入得此式仅与此式仅与p的大小有关，与其方向无关。动量几率密度为的大小有关，与其方向无关。动量几率密度为电子动量在电子动量在 范围内的几率为范围内的几率为w(p)乘以乘以习题习题3.6 设设t=0时，粒子的状态为时，粒子的状态为求此时粒子的平均动量和平均动能。求此时粒子的平均动量和平均动能。解：解：