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1、 量子力学中常用的几类算量子力学中常用的几类算符符(1)(1)线性算符线性算符满足如下运算规律的算符满足如下运算规律的算符微商运算微商运算,积分算符都是线性算符积分算符都是线性算符开方运算、对数运算就不是线性算符开方运算、对数运算就不是线性算符(2)(2)逆算符逆算符设设 对对 作用的结果为作用的结果为即即若若 有作用有作用则称则称 互为逆算符，记为互为逆算符，记为量子力学中常见的几类算符量子力学中常见的几类算符注：复共轭：注：复共轭：把算符表达式中的所有量换成复共轭量把算符表达式中的所有量换成复共轭量如如(3)(3)厄密共轭算符厄密共轭算符若若记记即即定义内积定义内积即即因为因为有有(4)(
2、4)么正算符么正算符 满足下面条件的算符满足下面条件的算符性质性质：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性(5)(5)厄密算符厄密算符两个性质两个性质：有有1)1)厄密算符的本征值全是实数厄密算符的本征值全是实数设设 的本征值方程的本征值方程为为取取代入到代入到(29)式中，有：式中，有：实数实数(29)2)2)厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交代入到上面的积分式中，有：代入到上面的积分式中，有：正交正交对于两个不同的
3、本征值和本征矢量对于两个不同的本征值和本征矢量仅证明仅证明非简并情况非简并情况3.2-1 3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值力学量在体系一个运动状态下的期望值3.2-2 3.2-2 力学量的可能取值力学量的可能取值3.2-3 3.2-3 力学量在体系一个运动状态下可能力学量在体系一个运动状态下可能 取值的几率分布取值的几率分布3.2-4 3.2-4 表示力学量算符必须满足的条件表示力学量算符必须满足的条件3.2-5 3.2-5 量子力学的第三条假设量子力学的第三条假设坐标和动量的期望值坐标和动量的期望值(及势能，动能，哈密顿量及势能，动能，哈密顿量)任意力学量的期望值为任意力学量的
4、期望值为有有经典对应的经典对应的力学量力学量：其算符为其算符为 没有经典的力学量对应：设算符表示为没有经典的力学量对应：设算符表示为期望值仍为期望值仍为某时刻在体系一个状态下测量力学量某时刻在体系一个状态下测量力学量 ，测量值有一系列的可能取值，所有可能取值测量值有一系列的可能取值，所有可能取值构成可能值谱；可能取值有确定的几率分布。构成可能值谱；可能取值有确定的几率分布。若测量时某取值若测量时某取值 的几率为的几率为1，其它的均为零，记为，其它的均为零，记为力学量力学量 有确定值的状态：有确定值的状态：（1 1 1 1）单位算符）单位算符）单位算符）单位算符 （2 2）零算符）零算符（3 3
5、 3 3）算符相等）算符相等）算符相等）算符相等 （4 4 4 4）算符之和）算符之和）算符之和）算符之和（5 5）算符数乘和乘积）算符数乘和乘积 （6 6 6 6）交换律结合律）交换律结合律）交换律结合律）交换律结合律（7 7 7 7）对易关系）对易关系）对易关系）对易关系单位算符单位算符:零算符：零算符：算符相等：算符相等：算符之和：算符之和：运算运算:作用于作用于(波波)函数函数算符的基本性质算符的基本性质算符数乘：算符数乘：算符相乘：算符相乘：算符相加满足：算符相加满足：交换律：交换律：结合律：结合律：一般不满足交换律：一般不满足交换律：算符对易子：算符对易子：算符与通常算符与通常数运算数运算规则不同之不同之处若若称称 对易，此时对易，此时若若称称 不对易不对易对易子的恒等式对易子的恒等式