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1、薛定谔方程的建立与算符薛定谔方程的建立与算符薛定谔方程的建立与算符薛定谔方程的建立与算符 1926年年，在在一一次次学学术术讨讨论论会会上上年年轻轻的的薛薛定定谔谔介介绍绍德德布布罗罗意意关关于于粒粒子子波波动动性性假假说说的的论论文文，在在薛薛定定谔谔讲讲完完后后，物物理理学学家家德德拜拜（P.Debey）评评论论说说：认认真真地地讨讨论论波波动动，必须有波动方程。必须有波动方程。几几个个星星期期后后，薛薛定定谔谔(Schrdinger)又又作作了了一一次次报报告告。开开头头就就兴兴奋奋地地说说：你你们们要要的的波波动动方方程程，我我找找到到了了！这这个方程，就是著名的薛定谔方程。个方程，就
2、是著名的薛定谔方程。薛薛定定谔谔方方程程是是量量子子力力学学的的基基本本动动力力学学方方程程，它它在在量量子子力力学学中中的的作作用用和和牛牛顿顿方方程程在在经经典典力力学学中中的的作作用用是是一一样的。样的。同同牛牛顿顿方方程程一一样样，薛薛定定谔谔方方程程也也不不能能由由其其它它的的基基本本原原理理推推导导得得到到，而而只只能能是是一一个个基基本本的的假假设设，其其正正确确性性也只能靠实验来检验。也只能靠实验来检验。薛定谔薛定谔(Erwin Schrdinger,18871961)薛定谔在德布罗意思想的基础上，于薛定谔在德布罗意思想的基础上，于19261926年在年在量子化就量子化就是本征
3、值问题是本征值问题的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程程(薛定谔方程薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于对原子理论的发展贡献卓著，因而于19331933年同英国物理学家狄年同英国物理学家狄拉克共获拉克共获诺贝尔物理奖诺贝尔物理奖。薛定谔还是现代分子生
4、物学薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，的奠基人，1944年，他发表一年，他发表一本名为本名为什么是生命什么是生命 活细胞的物理面貌活细胞的物理面貌的书，从能量、的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。奥地利著名的理论物理学家，奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要量子力学的重要奠基人之一奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。1、自由粒子的薛定谔方程、自由粒子的薛定谔方程分别对分别对时间时间求一阶偏导数，对求一阶偏导数，对空间空间
5、求二阶偏导数求二阶偏导数非相对论非相对论E=p2/2m把波函数与方程把波函数与方程E=p2/2m相乘相乘注意到注意到算符算符与与物理量物理量的的替代关系替代关系非相对论粒子有关系式非相对论粒子有关系式得自由粒子的得自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程令其作用于波函数令其作用于波函数 上上物理量与物理量与算符替代算符替代关系关系动量用算符表达动量用算符表达2.力学量用算符表达力学量用算符表达 坐标用算符表达坐标用算符表达算符算符(operator)对波函数的运算、变换或操作。对波函数的运算、变换或操作。算算符符只只是是一一种种抽抽象象的的数数学学记记号号，本本身身并并不不象象经经典典力学中的力学量那样
6、具有实在的力学中的力学量那样具有实在的物理含义物理含义。若粒子在势场中，势能函数为若粒子在势场中，势能函数为U(x,t)，则粒子总能量则粒子总能量3、势场中运动的粒子的薛定谔方程、势场中运动的粒子的薛定谔方程 算符对应关系：算符对应关系：作用于波函数，得作用于波函数，得三维：三维：引入引入拉普拉斯算符拉普拉斯算符薛定谔方程：薛定谔方程：引入引入哈密顿算符哈密顿算符(Hamiltonian operator)4、关于薛定谔方程的说明、关于薛定谔方程的说明l是线性齐次微分方程，解满足是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理态叠加原理l方程中含有虚数方程中含有虚数 i它的解它的解 是复函数，复数是复函数
7、，复数不能直接测量不能直接测量。而而 的模方代表概率密度，可测量。的模方代表概率密度，可测量。l是是量量子子力力学学的的一一个个基基本本原原理理；是是量量子子力力学学的的基基本本方方程程，描述描述非相对论性粒子非相对论性粒子波函数的演化规律。波函数的演化规律。若若 1和和 2是是方方程程的的解解，则则它它们们的的线线性性组组合合（C1 1C2 2）也一定是方程的解。也一定是方程的解。l薛定谔方程关于时间是一阶的，薛定谔方程关于时间是一阶的，这这不同于经典波动方程不同于经典波动方程（时间二阶）（时间二阶）l薛定谔方程的解满足波函数的性质薛定谔方程的解满足波函数的性质,因而在因而在求解薛定谔求解薛
8、定谔方程时，还要加上一些条件方程时，还要加上一些条件：波函数平方可积，且满足波函数平方可积，且满足归一化条件归一化条件；波函数及其对空；波函数及其对空间的一阶导数间的一阶导数连续连续；波函数必须；波函数必须单值，有限。单值，有限。5、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程除以除以 ，得，得若势函数若势函数U不显含不显含t，为求解薛定谔方程，为求解薛定谔方程，分离变量分离变量代入薛定谔方程，得代入薛定谔方程，得=E(常数常数)可分为以下两个方程：可分为以下两个方程：含时薛定谔方程含时薛定谔方程上式上式 左边是左边是 t 的函数的函数右边是右边是的函数的函数且两变量相互独立且两变量相互独立两边必须等于两边
9、必须等于同一个常量同一个常量时才成立时才成立解为解为振动因子振动因子1)E 的量纲是的量纲是能量的量纲能量的量纲 所以所以E 代表粒子的代表粒子的能量能量2)C 可以是复数可以是复数3)从推导过程可知从推导过程可知 方程方程(1)的解与具体的解与具体势函数无关势函数无关 所以所以在类似问题中在类似问题中作为已知结果作为已知结果使用使用4)物理上主要任务是解方程物理上主要任务是解方程(2)不含时薛定谔方程、不含时薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程、能量本征方程能量本征方程从数学上讲，从数学上讲，E 不论取何值，方程都有解。不论取何值，方程都有解。的具体形式的具体形式依赖于依赖于方程的解是
10、什么呢方程的解是什么呢?从物理上讲，从物理上讲，E只有取一些特定值，方程的解才能满足只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件波函数的条件（单值、有限、连续）（单值、有限、连续）定态定态(stationary state):能量取确定值的状态能量取确定值的状态满足方程的满足方程的特定的特定的E 值，值，称为称为能量本征值能量本征值各各E值值所对应的所对应的 叫叫能量本征函数，能量本征函数，故该方程又称为：故该方程又称为：能量本征值方程能量本征值方程定态波函数定态波函数:薛定谔方程的特解薛定谔方程的特解若若能量本征值能量本征值取一系列分立的值取一系列分立的值 En，n=1,2,3,相应的相应
11、的能量本征函数能量本征函数为为n，n=1,2,3,薛定谔方程的一系列薛定谔方程的一系列定态解定态解为为通解通解可写成定态解叠加的形式可写成定态解叠加的形式 式中式中Cn称为称为展开系数展开系数。给定初始时刻的状态给定初始时刻的状态(x,0)，Cn可按下式计算可按下式计算1).定态薛定定态薛定谔谔方程，方程，没有初始条件没有初始条件，只与边界条件有关；，只与边界条件有关；2).在定态下：在定态下：粒子在空间的概率分布粒子在空间的概率分布不随时间变化不随时间变化；能量能量不不变；变；力学量的力学量的测量值的几率分布测量值的几率分布和和平均值平均值都不随时间变化。都不随时间变化。量子力学唯一可以和量
12、子力学唯一可以和实验实验进行比较的是力学量的进行比较的是力学量的平均值平均值 平均值的假定平均值的假定方程解为：方程解为：A,B是积分常数，由边界条件确定。是积分常数，由边界条件确定。整理得整理得 令令(x)在在x=0时应连续，有：时应连续，有：得得A=0。于是有：。于是有：(x)在在x=a时应连续，有：时应连续，有：必须满足必须满足:得到粒子在得到粒子在0 xa区域中运动的波函数为区域中运动的波函数为:再由波函数的归一化条件有再由波函数的归一化条件有:所以一维无限深势阱中粒子运动的波函数为所以一维无限深势阱中粒子运动的波函数为:一维无限深势阱中粒子的定态波函数是一维无限深势阱中粒子的定态波函数是: