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1、算符与力学量的关算符与力学量的关系系算符与力学量的关系算符与力学量的关系算符与力学量的关系算符与力学量的关系 力学量用算符表达力学量用算符表达动量算符量算符角角动量算符量算符角角动量模方算符量模方算符角角动量的投影算符量的投影算符动能算符能算符坐坐标算符算符波函数的模方波函数的模方 代表粒子在代表粒子在 t 时刻时刻 r 处的处的几率密度。波函数是几率波，满足波的叠加。几率密度。波函数是几率波，满足波的叠加。量子力学的基本假设量子力学的基本假设量子体系的状态由波函数完全描述。量子体系的状态由波函数完全描述。可观测的力学量对应一个线性厄米算符。可观测的力学量对应一个线性厄米算符。力学量算符的本征
2、值方程力学量算符的本征值方程中的本征值中的本征值 对应该力学量的一切可对应该力学量的一切可能测量值。能测量值。力学量算符的本征函数力学量算符的本征函数 构成正交归一系构成正交归一系若体系不处于力学量算符的本征态，而处于任一个态时，若体系不处于力学量算符的本征态，而处于任一个态时，算符和它所表示的力学量之间的关系如何？算符和它所表示的力学量之间的关系如何？数学中已证明：如果数学中已证明：如果 是满足一定条件的厄密算符，是满足一定条件的厄密算符，它的正交归一本征函数是它的正交归一本征函数是 ，对应的本征值是，对应的本征值是 ，则任一函数则任一函数 可以按可以按 展开为级数：展开为级数：3.6-1式
3、中式中cn与与x无关。本征函数无关。本征函数 的这种性质称为的这种性质称为完全完全（备）性（备）性，或者说组成，或者说组成完全（备）系完全（备）系。cn可由可由 和和 求出。由求出。由3.6-1可得可得 3.6-2如果如果 是算符是算符 的某一本征函数的某一本征函数 ，则，则3.6-1中中除除ci外，其余全部为零。这时，测量力学量外，其余全部为零。这时，测量力学量F，一定得，一定得出出 的结果。因此可看出的结果。因此可看出 具有几率的意义。故具有几率的意义。故cn 常被称为常被称为几率振幅几率振幅。基本假定：基本假定：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们量子力学中表示力学量的算符都是厄
4、密算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数的本征函数组成完全系。当体系处于波函数 所描所描写的状态时，测量力学量写的状态时，测量力学量F 所得的数值所得的数值,必定是算符必定是算符 的本征值之一，测得的本征值之一，测得 的几率是的几率是 。根据这一假定，力学量在一般状态没有确定的值，而有根据这一假定，力学量在一般状态没有确定的值，而有一系列可能的值，这些可能值就表示这力学量算符的本一系列可能的值，这些可能值就表示这力学量算符的本征值，每个可能值都以一定的几率出现。如电子衍射征值，每个可能值都以一定的几率出现。如电子衍射p力学量平均值力学量平均值 根据由几率求平均值的法则可得力学量在某一态中根据由几率求平均值的法则可得力学量在某一态中的平均值为的平均值为3.6-43.6-5可证明此两式相等可证明此两式相等方程形式和（方程形式和（1）式相同，否则，将不能写为（）式相同，否则，将不能写为（1）式，）式，故波函数又确定的宇称。故波函数又确定的宇称。证明证明:解：解：（1）（2）方程方程1、2的解为的解为根据边界条件得根据边界条件得偶宇称偶宇称（3）（4）（5）（6）奇宇称奇宇称由由3、4式得式得（7）由由5、6式得式得（8）这就是束缚态能级所满足的方程这就是束缚态能级所满足的方程解：解：OxUU0-U1ab方程通解为方程通解为根据波函数标准条件可得根据波函数标准条件可得可得可得