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1、第三章第三章力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-1 3-1 平面力对点之矩的概念和计算平面力对点之矩的概念和计算一、平面力对点之矩（力矩）一、平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向两个要素两个要素：力对点之矩力对点之矩是是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为证，反之为负.常用单位Nm或kNm2.5 2.5 平面力系的平衡条件平面力系的平衡条件 作用在刚体上力的作用在刚体上力的作用在刚体上力的作用在刚体上力的F F，可以平移到其上任一可以平移到其上任一可以平移到
2、其上任一可以平移到其上任一点，但必须同时附加一力偶，力偶矩等于力的大点，但必须同时附加一力偶，力偶矩等于力的大点，但必须同时附加一力偶，力偶矩等于力的大点，但必须同时附加一力偶，力偶矩等于力的大小乘以点到力作用线间的距离。小乘以点到力作用线间的距离。小乘以点到力作用线间的距离。小乘以点到力作用线间的距离。2.5.1 2.5.1 力对点之矩力对点之矩1.1.1.1.力的平移定理力的平移定理力的平移定理力的平移定理OF FOF F hF FOM=FhF F故力故力F对任一点对任一点o o之矩之矩(力矩力矩)为:OF F hF F 2.2.力对点之矩力对点之矩力力力力F F平移，平移，平移，平移，等
3、效变换成作用在等效变换成作用在等效变换成作用在等效变换成作用在O O点的力点的力点的力点的力F F 和力偶和力偶和力偶和力偶MM。力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩MM=FhFh，是力，是力，是力，是力F F使物体绕使物体绕使物体绕使物体绕O O点转动效应的度量。点转动效应的度量。点转动效应的度量。点转动效应的度量。力臂力臂h为点为点O（矩心）到力（矩心）到力F作用线的垂直距离。作用线的垂直距离。注意力和力偶对刚体转动作用效果的差别。注意力和力偶对刚体转动作用效果的差别。力对点之矩与点有关；若力过力对点之矩与点有关；若力过O点，则点，则 MO(F)=0。力矩是力矩是代数量，逆时针为正。代数量，逆时针为正
4、。二、汇交力系的二、汇交力系的合力矩定理合力矩定理即 平面汇交力系平面汇交力系三、三、力矩与合力矩的解析力矩与合力矩的解析表达式表达式合力矩定理合力矩定理：合力对点之矩等于其各分力对该点之矩的代数和合力对点之矩等于其各分力对该点之矩的代数和合力对点之矩等于其各分力对该点之矩的代数和合力对点之矩等于其各分力对该点之矩的代数和。直接求力矩直接求力矩直接求力矩直接求力矩：MO(F)=Fd =F(Lsina+bcosa+asina)MO(Fx)+MO(Fy)=Fy(L+a)+Fxb =F(Lsina+bcosa+asina)=MO(F)利用合力矩定理利用合力矩定理利用合力矩定理利用合力矩定理：OaF
5、F求求 MO(F)F Fx xF Fy y推论推论推论推论：力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。注意：注意：注意：注意：力偶在任一轴上的投影为零。力偶在任一轴上的投影为零。力偶在任一轴上的投影为零。力偶在任一轴上的投影为零。MO(F)+MO(F)=FAO+FBO=FAB=M F F OAB力偶有力偶有:F=F ;F/F 请自行证明请自行证明:Fx+Fy =0 xF F 3-2 3-2 平面力偶理论平面力偶理论一一.力偶和力偶矩力偶和力偶矩1.力偶力偶由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶
6、力偶，记作两个要素a.大小：力与力偶臂乘积b.方向：转动方向力偶矩力偶矩力偶中两力所在平面称为力偶作用面力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂2.力偶矩力偶矩二二.力偶与力偶矩的性质力偶与力偶矩的性质1.1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零力偶在任意坐标轴上的投影等于零.2.2.力偶对任意点取矩都等于力偶矩力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.力矩的力矩的符号符号力偶矩的力偶矩的符号符号 M3.3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任 意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力 臂的长短，对刚体的作用效果不
7、变臂的长短，对刚体的作用效果不变.=4.4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.作用在同一平面内，大小作用在同一平面内，大小相等、方向相反、作用线相等、方向相反、作用线相互平行的两个力相互平行的两个力。1.基本概念基本概念力偶力偶力偶力偶使刚体的转动状态发生改变。使刚体的转动状态发生改变。作用效应作用效应作用效应作用效应度量转动作用效应的物理量。单位为度量转动作用效应的物理量。单位为Nm或或kNm在平面内，在平面内，M是代数量，逆时针转动为正。是代数量，逆时针转动为正。力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩力偶的力偶的力偶的力偶的作用平面作用平面作用平面作用平面、转向转向转
8、向转向和和和和力偶矩的大小力偶矩的大小力偶矩的大小力偶矩的大小，可以用一个矢量（可以用一个矢量（可以用一个矢量（可以用一个矢量（力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢力偶矩矢MM）来描述。）来描述。）来描述。）来描述。力偶的力偶的力偶的力偶的三要素三要素三要素三要素FFhoxyMM2.2 力偶力偶 （又一基本量）返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录2.2.平面力偶的等效与合成平面力偶的等效与合成b)b)b)b)在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和在保持力偶矩不变的情况下，可以任意改变力和力臂的大小。力臂的大小。力臂
9、的大小。力臂的大小。由此即可方便地进行力偶的合成。由此即可方便地进行力偶的合成。由此即可方便地进行力偶的合成。由此即可方便地进行力偶的合成。平面力偶平面力偶平面力偶平面力偶等效定理等效定理等效定理等效定理同一平面内的二个力偶，只要其同一平面内的二个力偶，只要其力偶矩相等，则二力偶等效。力偶矩相等，则二力偶等效。a)a)力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢力偶可以在刚体内任意移转。即力偶矩矢MM的作的作的作的作用点可以在平面上任意移动，用点可以在平面上任意移动，用点可以在平面上任意移动，用点可以在平面上任意移动，力偶矩矢是自
10、由矢力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢力偶矩矢是自由矢。推论推论60N0.4m0.4m60N0.6m40NM=24Nm推论推论推论推论：力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。力偶对任一点之矩就等于该力偶矩。注意：注意：注意：注意：力偶在任一轴上的投影为零。力偶在任一轴上的投影为零。力偶在任一轴上的投影为零。力偶在任一轴上的投影为零。MO(F)+MO(F)=FAO+FBO=FAB=M F F OAB力偶有力偶有:F=F ;F/F 请自行证明请自行证明:Fx+Fy =0 xF F =已知：任选一段距离d三三.平面力偶系的平面力偶系的合成合成和
11、和平衡平衡条件条件=平面力偶系平衡的充要条件平面力偶系平衡的充要条件 M M=0=0，有如下平衡方程，有如下平衡方程 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的所有各力偶矩的代数和等于零代数和等于零.c）平面力偶系的平面力偶系的合成合成若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一若干个力偶组成的力偶系，可以合成为一个合个合个合个合力偶。力偶。力偶。力偶。平面力偶系的平面力偶系的平面力偶系的平面力偶系的合力偶之矩等于力偶系中合力偶之矩等于力偶系中合力偶之矩等于力偶系中合力偶之矩等于力偶系中各力
12、偶之矩的代数和各力偶之矩的代数和各力偶之矩的代数和各力偶之矩的代数和。M=Mi合力偶定理合力偶定理合力偶定理合力偶定理F1h1F2h2h1F1+h1F2h2M=F1h1+F2h2比较：比较：使物体沿力的作用使物体沿力的作用 线线移动移动。使物体在其作用平面使物体在其作用平面 内内转动转动。力力力偶力偶力是矢量力是矢量（滑移矢）（滑移矢）力偶是矢量力偶是矢量(自由矢自由矢)平面力偶是代数量平面力偶是代数量共点力系可合成为共点力系可合成为一个一个合力合力。平面力偶系可合成平面力偶系可合成为一个为一个合力偶合力偶。合力偶定理合力偶定理:M=Mi合力投影定理合力投影定理有有：F FR Rx x=F F
13、1 1x x+F F2 2x x+F Fnxnx=F Fx x F FR Ry y=F F1 1y y+F F2 2y y+F Fnyny=F Fy y 返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录例例3-13-1求求:解:按合力矩定理按合力矩定理已知:F=1400=1400N,直接按定义按定义例例3-23-2求：解：由杠杆平衡条件解得已知：平衡时，平衡时，CD杆的拉力杆的拉力.CD为二力杆，取踏板取踏板例例3-33-3求：解：由合力矩定理合力矩定理得已知：q,l；合力及合力作用线位置合力及合力作用线位置.取微元如图取微元如图例例3-43-4求：光滑螺柱光滑螺柱ABAB所受水平力所受水平力.已知：解得解：由力偶只能由力偶平衡的性质，由力偶只能由力偶平衡的性质，其受力图为其受力图为例例3-53-5：求：平衡时的求：平衡时的 及铰链及铰链O，B处的约束力处的约束力.解：取轮取轮,由力偶只能由力偶平衡的性质由力偶只能由力偶平衡的性质,画受力图画受力图.取杆BC，画受力图.解得 已知解得