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1、第三章: 力矩与平面力偶系,本章研究力矩和力偶的概念、力偶的性质、平面力偶系的合成与平衡。本章与第二章的理论是研究平面一般力系的基础。,3-1 力矩的概念和计算,一般情况下，力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动效应取决于力的大小和方向。为了度量力的转动效应，需要引入力矩的概念。,一.力对点之矩,用扳手拧一螺母，扳手连同螺母绕一定点转动。由经验可知，力越大，螺母拧得越紧；力的作用线离螺母中心愈远，拧紧螺母愈省力。,O,F,d,经验表明：力使物体绕定点的转动效应，不仅与力的大小有关，而且与点到力的作用线的垂直距离d有关。 用乘积d来度量力的转动效应。 将力的这种转动效应称为作用于物
2、体上的力F对空间任意一点O的矩。简称力矩，用符号o (F)表示。即：,o (F)=d,点称为力矩中心，简称矩心； 点到力作用线的垂直距离h称为力臂。 力矩的正负号用于区别力使物体绕点转动的两种转向。规定:力使物体绕矩心逆时针转动时为正,反之为负。 力对点之矩只取决于力矩的大小和旋转方向（力矩的正负），是一个代数量。 力矩的单位：N m（牛顿米) 或kN m（千牛顿米) 力矩的三要素是：大小、方向和矩心。,对三角形OAB，F的大小为底边长，d为高，即三角形的面积为： SOAB =Fd/2 o =Fd=2 SOAB 即力对点的矩的大小等于OAB面积的倍。,d,力对任一已知点的矩，不会因该力沿作用线
3、移动而改变。 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如一个大小不为零的力对一点之矩为零，则此力的作用线必通过该点。 互成平衡的二力对同一点的力矩之和为零 虽然力矩概念由力对物体上固定点的作用引出。实际上，作用于物体上的力可以对任意点取矩，即矩心可是空间中的任意点。,二力对轴的矩,力对轴的矩用来度量力对所作用的刚体绕某一固定轴转动的效应。 该固定轴称为矩轴，通常标识为Z轴。,三合力矩定理,Mo (F)= Fd = Fr sin (a-q) = Fr (sin a cos q sin q cos a) Fx= F cos a, Fy=F sina; x=r cosq, y=r sinq。 即：
4、Mo (F)=x Fy-yFx,y,x,q,a,d,x,y,x,y,r,Mo (F1)=x F1y-yF1x Mo (F2)=x F1y-yF1x Mo (F3)=x F1y-yF1x Mo(Fi)=xFy-yFx F1, F2, F3的合力为F。 F在x,y轴方向的分力为Fx , Fy Mo (F)=x Fy-yFx 由于：Fx Fx Fy Fy,2,3,q,d,x,y,x,y,1,R,Mo (F)=x Fy-yFx= xFy-yFx= Mo(Fi),Mo (F)=Mo(Fi),即平面汇交力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各分力对同一点之矩的代数和平面汇交力系的合力矩定理。,3-2力偶
5、的概念,一.力偶与力偶矩 1力偶 实践中,常见到两个大小相等,方向相反的平行力作用于物体的情形。 这样的两个力不满足二力平衡条件。 将这种大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。 记作：（F，F）,力偶中两力作用线之间的垂直距离d叫力偶臂。 力偶所在平面叫力偶作用面。,力偶的性质 力偶在任何坐标轴上的投影等于零。 力偶不能合成一个力，即力偶没有合力，它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡。 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以改变而且只能改变物体的转动状态。,x,y,力偶矩 力偶对物体产生转动的效应怎样度量？ 力对物体转动的效应用力矩来度量，因此力偶对物体转动的效应可
6、用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。,设物体上作用有一力偶臂为d的力偶（，） 该力偶对作用面内任一点之矩为：,x,d,F,F,o(F)+Mo(F)=F(x+d)-Fx=Fd,力偶对作用面内任一点的矩之大小恒等于力偶中一力的大小和力偶臂的乘积，而与矩心的位置无关。 力偶对物体的转动效应可用力与力偶臂的乘积Fd及转向来度量，该物理量称为力偶矩。,力偶矩用符号M（F，F）或M表示；即 M（F，F）=Fd 规定：逆时针转动时，力偶矩取正号； 顺时针转动时，力偶矩取负号。 力偶矩单位与力矩单位相同。 力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和力偶的作用面。,二. 同一平面内力偶的等效定理,
7、作用在刚体上同一平面的两个力偶相互等效的条件是两力偶的力偶矩的代数值相等。 称为同一平面内力偶的等效定理。,力偶（F，F）的力偶矩为 M(F,F) 加上一对平衡力（F1，F1）后，力系 （F，F）=（F，F， F1，F1） =（ FR，FR）=（ FR1，FR1） M(F1,F1)=0 M(F,F)= M(F,F)+ M(F1,F1) 又 M(FR,FR)=M(F,F)+ M(F1,F1) M(F,F)= M(FR,FR) M(FR,FR) = M(FR1,FR1) M(F,F)= M(FR1,FR1),F,F,F1,A,B,F1,FR,FR,FR1,FR1,推论1. 力偶可在其作用面内任意移
8、动和转动而不改变它对刚体的转动效应。 推论2. 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小,这不会改变力偶对刚体的转动效应。 等效力偶 注:以上两个推论只对刚体适用！,3-3 平面力偶系的合成与平衡,作用在物体上同一平面内的若干力偶，总称为平面力偶系。,一.平面力偶系的合成,设同一平面内作用有两个力偶（，）和 （，）。 力偶臂为d1,d2 力偶矩为： d1 2-2d2 取力偶(F11,F11)和(F22,F22) 且:1d -22d2 RF11-F22 R F11-F22 R=Rd=(F11-F22)d =1d-22d= -2,d1,d2,F1,F1,F2,F2,
9、F11,F11,F22,F22,d,FR,FR,d,R为合力，组成的力偶（， ）(称为合力偶)的力偶矩，称为合力偶矩；也是原来两个力偶的力偶矩的和。 R= -2 同理，当平面力偶系由n个力偶组成时，其力偶矩分别为M,M , .Mn 它们可合成为一个合力偶，其合力偶矩为： R= 2 n= i 即平面力偶系合成的结果是一个力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。,二.平面力偶系的平衡条件,平面力偶系平衡，表明力偶系对物体的转动效应为零。 因为平面力偶系合成的结果既然是一个合力偶，所以，要使力偶系平衡，合力偶矩必须为零；当合力偶矩为零，则表示力偶系中个力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡。
10、 因此平面力偶系平衡的必要且充分条件为力偶系中各力偶的力偶矩的代数和等于零，即： i=,思考题：约束力，的大小与力偶矩e作用的位置无关 思考题：合力为零，但合力偶矩不为零，物体有转动效应，物体不平衡。 思考题：两个力偶的力偶矩大小相同，力偶的转向相同，但作用面不同，固此两个力偶不等效。 （力偶三要素：力偶矩的大小；力偶的转向和力偶的作用面。） 因此两个力偶等效，必须是该两个力偶的力偶矩大小相同，转向相同，作用面相同。（对刚体，可作用面平行。）,例题： 1.习题3-2,2习题3-7 正三角形ABC,A,B,C,F1,F2,F3,即合力FR=0,F1x和F在同一作用线上，合力,Fx与组成一个力偶，力偶臂为，力偶矩为,F1y与F2y组成一个力偶，力偶臂为，力偶矩为,合力偶矩,作业：习题3-1, 3-3, 3-3, 3-4, 3-5*,3-9*,