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1、第三章第三章 力矩、力偶与平面力偶系力矩、力偶与平面力偶系本章内容本章内容:1 力对点的矩力对点的矩 2 合力矩定理合力矩定理 3 力偶与力偶矩力偶与力偶矩 的概念的概念 4 力偶的性质力偶的性质 5 平面力偶系的合成平面力偶系的合成 6 平面力偶系的平衡平面力偶系的平衡1第一节第一节 力对点的矩力对点的矩力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。力矩是度量力对物体的转动效应的物理量。一、平面力对点的矩一、平面力对点的矩（力矩力矩）A AF FB Bd d1、力矩的定义、力矩的定义d 力臂力臂 O 矩心矩心“”使物体使物体逆时针逆时针转时力矩为正；转时力矩为正；“”使物体使物体顺时针顺时针转时力矩
2、为负。转时力矩为负。MO（F）代数量代数量力矩的单位为力矩的单位为 （牛顿（牛顿米）。米）。22、力矩的性质、力矩的性质 （1）力沿作用线移动时，对某点的矩不变力沿作用线移动时，对某点的矩不变;（2）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零）力作用过线矩心时，此力对矩心之矩等于零;（）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。（）互成平衡的力对同一点的矩之和等于零。（1）大小：力与力臂的乘积大小：力与力臂的乘积（2）方向：转动方向）方向：转动方向3、力矩的两个要素、力矩的两个要素3 力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式二、合力矩定理二、合力矩定理定理：定理：平面汇交力系合力对于平面内任一点
3、之矩平面汇交力系合力对于平面内任一点之矩 等于其各分力对于该点之矩的代数和。等于其各分力对于该点之矩的代数和。4例例 3-1 如图所示，如图所示，。试分别求试分别求F1、F2 对对 A 点的矩。点的矩。解：力解：力F1使杆使杆 AB 绕绕 A 点逆时针转动点逆时针转动力力F2 将使将使AB杆绕杆绕 A 点顺时针转动点顺时针转动5解：（解：（1）根据定义求）根据定义求MA(F)例例 3-2 简支刚架如图所示，已知简支刚架如图所示，已知 F、a、b 和和 。试计算试计算 F 对对 A点的矩。点的矩。（2）利用合力矩定理求）利用合力矩定理求 MA(F)6例例 3-3 如图所示，已知大圆轮半径为如图所
4、示，已知大圆轮半径为 R，小圆轮半径为，小圆轮半径为 r，在小圆轮最右侧，在小圆轮最右侧 B 点处受一力点处受一力F 的作用。试计算力的作用。试计算力F 对大圆轮与地面接触对大圆轮与地面接触 A点的矩。点的矩。解：解：由于由于 F 对点对点 A的力臂不易确定，的力臂不易确定，故先将力故先将力F 分解为两个正交分力分解为两个正交分力Fx 与与Fy，然后利用合力矩定理来求出然后利用合力矩定理来求出 F 对点对点 A 的矩的矩7补充例题，水平梁补充例题，水平梁AB AB 受三角形分布的载荷作用受三角形分布的载荷作用，如图所示。如图所示。已知：已知：q q，l；试求合力及合力作用线的位置。试求合力及合
5、力作用线的位置。A AB Bq qx xlx xd dx xh hx xA AB Bq ql lF FR R解解：在在距距A端端为为x的的微微段段d dx的的梁梁上上，作作用用力力的的大大小小为为q qx，由相似三角形关系可知由相似三角形关系可知因此分布载荷的合力大小因此分布载荷的合力大小8设合力设合力F F 的作用线距的作用线距A端的距离为端的距离为h h，根据合力矩定理，有根据合力矩定理，有将将q qx x 和和 F FR R的值代入上式，得的值代入上式，得合力大小等于三角形分布荷载的面积合力大小等于三角形分布荷载的面积;合力作用线通过三角形的几何中心。合力作用线通过三角形的几何中心。x
6、xd dx xh hx xA AB Bq ql lF FR R9一、力偶一、力偶第二节第二节 力偶和力偶矩力偶和力偶矩由两个等值、反向、不共线的平行力由两个等值、反向、不共线的平行力组成的力系，记作组成的力系，记作力偶力偶 力偶作用面力偶作用面力偶中两力所在平面。力偶中两力所在平面。力偶臂力偶臂力偶中两力作用线之间的垂直距离。力偶中两力作用线之间的垂直距离。d10二、力偶矩二、力偶矩力偶矩力偶矩 力偶对其作用面内任一点之矩，力偶对其作用面内任一点之矩，以表示，一般简记为以表示，一般简记为M。正负：逆时针转向为正，反之则为负。正负：逆时针转向为正，反之则为负。力偶矩的单位为力偶矩的单位为 （牛顿
7、（牛顿米）。米）。（1）大小：力与力大小：力与力偶偶臂的乘积臂的乘积（2）方向：转动方向）方向：转动方向力偶矩的两个要素力偶矩的两个要素11 1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。2、力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代力偶的两个力对其作用面内任一点的矩的代数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。数和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应;力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零；力偶的两个力在任一坐标轴上投影的代数和均为零；力与力偶是静力学的二基本要素。力与力偶是
8、静力学的二基本要素。三、力偶的性质三、力偶的性质由于矩心由于矩心O是任取的，因此，是任取的，因此，力偶矩与矩心的位置无关。力偶矩与矩心的位置无关。123、平面力偶等效定理平面力偶等效定理:作用于刚体同一平面内两作用于刚体同一平面内两 个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。个力偶等效的充分且必要条件为其力偶矩相等。推论推论(1)力偶可以在其作用面内任意移转，力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用效应。而不改变它对刚体的作用效应。推论推论(2)只要保持力偶矩大小和转向不变，只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂可以任意同时变化力偶中力的大小和力偶臂的
9、长短，而不改变它对刚体的作用效应。的长短，而不改变它对刚体的作用效应。13力偶与力矩的区别和联系力偶与力矩的区别和联系 1、力偶是自由量、力偶是自由量,可以在作用面内任意移动和转可以在作用面内任意移动和转动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于矩心，与矩心的位置有关。矩心，与矩心的位置有关。2、力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。3、力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使物体绕某点转动效应的度量。物体绕某点转动效应的度量。4、力偶矩与力矩量纲相同。力偶矩与力矩量纲相同。14
10、ABdF4F3F1d1F2d2ABFd一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成第三节第三节 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡作用在物体同一平面内的若干个作用在物体同一平面内的若干个力偶所组成的力系。力偶所组成的力系。平面力偶系平面力偶系15平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即各分力偶矩的代数和，即力偶系平衡的充要条件是：力偶系平衡的充要条件是：合力偶矩等于零合力偶矩等于零,即力偶系各力偶矩的代数和等于零即力偶系各力偶矩的代数和等于零平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程二、平面力偶系的平衡二、平面力偶系的平衡1
11、6例例 3-4 已知梁长已知梁长 ，；若不计梁的自；若不计梁的自重，试求支座重，试求支座 A、B 的约束力。的约束力。解：（解：（1）选梁）选梁 AB为研究对象为研究对象（2）画受力图画受力图（3）列平衡方程）列平衡方程解得解得：FA、FB 为正值，说明图中的假设方向是正确的。为正值，说明图中的假设方向是正确的。17解：（解：（1）选工件为研究对象）选工件为研究对象例例 3-5 如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力如图所示的工件上作用有三个力偶，已知三个力偶的矩分别为偶的矩分别为 、；固定；固定螺柱螺柱 A 和和 B 的距离的距离 。若不计摩擦，试求两个。若不计摩擦，试求两个固定螺柱所受
12、到的力。固定螺柱所受到的力。（2）画受力图画受力图（3）列平衡方程列平衡方程18解得解得：两个螺柱两个螺柱 A、B 所受到的力与螺栓对工件的约束力所受到的力与螺栓对工件的约束力 FA、FB,为作用力与反作用力的关系，即分别与为作用力与反作用力的关系，即分别与 FA、FB 大小大小相等，方向相反。相等，方向相反。19例例 3-6 如图所示，在直角折杆如图所示，在直角折杆 AB上作用一矩为上作用一矩为 M 的力偶。的力偶。若不计各构件自重，试求支座若不计各构件自重，试求支座 A和和 C的约束力。的约束力。解：（解：（1）选）选AB为研究对象为研究对象（2）画受力图画受力图（3）列平衡方程）列平衡方
13、程解得：解得：（方向方向如图所示如图所示）（方向方向如图所示如图所示）20例例 3-7 在图所示机构中，套筒在图所示机构中，套筒A 穿过摆杆穿过摆杆O1B，用销子连，用销子连接在曲柄接在曲柄 OA上。已知上。已知 OA长为长为 r，其上作用有矩为，其上作用有矩为 M1的力的力偶。在图示位置，偶。在图示位置，机构平衡，试求作用于摆杆，机构平衡，试求作用于摆杆 O1B上的力偶矩上的力偶矩 M2(各构件的自重不计各构件的自重不计)。解解:(1)分别选曲柄分别选曲柄 OA（包括套筒包括套筒）、）、摆杆摆杆 O1B 为研究为研究 对象。对象。（2）画受力图）画受力图 OA（包括套筒包括套筒）摆杆摆杆 O1B21注意到注意到，、，曲柄曲柄 OA：（3）列平衡方程列平衡方程摆杆摆杆O1B：解得解得:22