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1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念多元函数的概念多元函数的概念二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性（1）邻域）邻域有关区域的问题有关区域的问题:（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，（3）聚点）聚点1.内点是聚点；内点是聚点；说明：说明：说明：说明：2.边界点可能是聚点边界点可能是聚点,也可能不是聚点；也可能不是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点(0,0)是是边界点边界点
2、,但不是聚点但不是聚点3.点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合（4）n维空间维空间1.n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：说明：说明：2.n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 3.n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域等概念也可定义内点、边界点、区域等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为一一 多元函
3、数的概念多元函数的概念圆柱体体积：圆柱体体积：长方体体积：长方体体积：V=xyz V=V(x,y,z)二元及二元以上的函数统称为多元函数二元及二元以上的函数统称为多元函数Def8.1本章本章主要讨论二元函数主要讨论二元函数A、二元函数的、二元函数的定义域定义域D(f)为平面区域，开或闭，有界为平面区域，开或闭，有界或无界。或无界。例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为例：求下列函数的定义域例：求下列函数的定义域-有界开区域有界开区域-有界闭区域有界闭区域-无界开区域无界开区域 B、二元函数、二元函数 的的图形图形（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函
4、数的图形通常是一张曲面.例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:二元二元函数的函数的图形为图形为定义在一平面区域的定义在一平面区域的曲面曲面二元函数的二元函数的定义域定义域就是曲面在就是曲面在xoy面上的面上的投影投影。例例3：二二.二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性例4：求下列极限初等函数初等函数,极限值为函数值极限值为函数值等价无穷小替换等价无穷小替换有界有界变量乘无穷小量变量乘无穷小量夹夹限定理限定理确定极限不存在的方法确定极限不存在的方法:找找两种不同趋近方式两种不同趋近方式,使二重极限存在使二重极限存在,但两者不相等但两者不相等;令令p
5、(x,y)沿某一定曲线趋向于沿某一定曲线趋向于 时时,极限不存在极限不存在.2.二元函数的连续性二元函数的连续性则称则称若若f(x,y)在区域在区域D内点点连续，则称内点点连续，则称f(x,y)在在D内连续。内连续。2.f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则上连续，则f(x,y)在在D上可取到最大上可取到最大和最小值。和最小值。3.（介值定理）设（介值定理）设f(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，上连续，M,m分别分别为最大（小）值，则为最大（小）值，则性质：4.有界定理有界定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数必定上的多元连续函数必定有界有界多元初等函数多元初等函数：由常量及基本初等函数经过有：由常量及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取练习：求极限练习：求极限