《第4章-多自由度系统的振动题解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第4章-多自由度系统的振动题解.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、习题4-1 在题 3-10 中，设 m1=m2=m，l1=l2=l，k1=k2=0，求系统的固有频率和主振型。解：由题 3-10 的结果题 4-1 图k11 k1(m1 m2)gm2gm g，k21 2，l1l2l2m2gm g，k22 k22l2l2k12 代入m1 m2 m，k1 k2 0，l1 l2 l可求出刚度矩阵 K K 和质量矩阵 MM 3mglm0K；M mg0mlmglmgl由频率方程K p2M 0，得3mg2 mpB lmgl24 0mg mp2lmgl4m2g22m2g2m p p 02ll p1(22)gg，p2(22)ll为求系统主振型，先求出adjB 的第一列mg2l
2、 mpadjB mgl分别将频率值p1和p2代入，得系统的主振型矩阵为A(1)2 12 1(2)A114-2 题 4-2 图所示的均匀刚性杆质量为 m1，求系统的频率方程。解：设杆的转角和物块位移 x 为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k k。设1,x 0，画出受力图，并施加物体力偶与力k11,k21，由平衡条件得到，k11 k1b2 k2a2，k21 k2a题 4-2 图设 0,x 1，画出受力图，并施加物体力偶与力k12,k22，由平衡条件得到，k12 k2a，k22 k2a得作用力方程为12m a130k b2 k a2012 k2axm2 k2a0 k2ax0由频率方程K K p
3、2MM 0，得1k1b2 k2a2m1a2p23 k2a k2ak2a m2p2 04-3 题 4-3 图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为 m1及 m2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m1=m2=m 和k1=k2=k 时系统的固有频率。解：如图取1,2为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，k3l3l k3l3lI1111124444 k3l3l k3l3l kllI22111222444422整理得到，k9l2 k9l2 0I1111121616题 4-3 图9292l2I22 k1l1(k1l k2)2 016164则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，9216l k1K
4、K 9l2k1 1616 492l k1k l29k l211161，K KadjK K 29214K Kl k1l2k22164k l212m l0 31I2072m2l 4804 k2l24k2l2I1系统的质量矩阵为MM 0由频率方程K K p2MM 0，并代入已知条件得，921l k ml2p21639kl2164292kl16 0132722kl ml p1648kkkk23242 0,求得p1 0.6505整理得到112p 813p，p2 2.6145。mmmm用刚度影响系数法求解刚度矩阵。令11,2 0，分别由两杆的受力图，列平衡方程为993l k11 k1 k1l2；k21 k
5、1l216416同理，令11,2 0得到2k99 l k22 k2 k1l22l2k1l2416216k12 k21 29k1l21692k l116k 9k1l2169k1l2169122k1lk2l 1644-4 题 4-4 图所示，滑轮半径为 R，绕中心的转动惯量为 2mR2，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k k。设x11,x2 x3 0，画出受力图，并施加物体k11,k21,k31，由平衡条件得到，题 4-4 图k11 k，k21 0，k31 kR设x21,x1 x3 0
6、，画出受力图，并施加物体k12,k22,k32，由平衡条件得到，k12=0，k22 k，k32 kR设x31,x1 x2 0，画出受力图，并施加物体k13,k23,k33，由平衡条件得到，k13 kR，k23 kR，k33 2kR2则刚度矩阵和质量矩阵分别得，k0 kR0K K 0kkRm0，MM 0m0 kRkR2kR2002mR2由频率方程K K p2MM 0，得k mp20 kR0k mp2kR 0 kRkR2kR2 2mR2p2展开为2m(k mp2)p2(mp2 2k)R2 0，解出频率为pk2k1 0，p2m，p3m由特征矩阵B B K K p2MM的伴随矩阵的第一列，(k mp2
7、)(2kR2 2mR2p2)k2R2adjB B(1)k2R2(k mp2)(2kR2 2mR2p2)kR(k mp2)并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为111A A 111 110RR4-5 三个单摆用两个弹簧联结，如题 4-5 图所示。令 m1=m2=m3=m 及 k1=k2=k。试用2和3为坐标，微小的角1、以作用力方程方法求系统的固有频率及主振型。解：如图选1,2,3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵K K。设11,23 0，画出受力图，并施加物题 4-5 图体于k11,k21,k31，由平衡条件得到，k11 kh2 mgl，k21 kh2，k31 0设21,13 0，画出受
8、力图，并施加物体k12,k22,k32，由平衡条件得到，k12 kh2，k22 2kh2 m g l，k32 kh2设31,12 0，画出受力图，并施加物体k13,k23,k33，由平衡条件得到，k13 0，k23 kh2，k33 kh2 mgl则刚度矩阵和质量矩阵分别得，kh2 mglK K kh20特征矩阵：kh22kh2 mgl kh2ml2 kh2，MM 00kh2 mgl00ml200 0ml2kh2 mgl mp2l2 kh20B kh22kh2 mgl mp2l2 kh2222 20 khkh mgl mp l由频率方程K K p2MM 0，得B 0，kh2 mgl ml2p2
9、kh20 kh22kh2 mgl ml2p2 kh20 kh2kh2 mgl ml2p222 0展开为，222kh mgl mp l2kh mgl mp lkh mgl mp l kh khkh mgl mp lkh mgl mp l khmgl mp lkhkh mgl mp lkh mgl mp lmgl mp l3kh mgl mp l 02222222222222222222222222222222(mgl ml2p2)(mgl ml2p2)2 4kh2(mgl ml2p2)4k2h4 0解出频率为p1g，p2lgkh2，p3lml2g3kh2。lml2由特征矩阵B B K K p2M
10、M的伴随矩阵的第一列，(2kh2 mgl ml2p2)(kh2 mgl ml2p2)k2h4adjB B(1)kh2(kh2 mgl ml2p2)k2h4并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为111 A A 10 21 114-6 题 4-6 图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动x1、x2和 x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设m1=m2=m3=m。解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。首先，仅在质量m1处施加竖直单位力题 4-6 图F=1，其余各质量块处不受力，则m1产生的静挠度是11；m2处产生的静挠度是21；m3处产生的静挠度是31。
11、则由材料力学知识，得到9l311l37l311，21，31768EJ768EJ768EJ同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为9117l11 1611 768EJ71193得到系统的位移方程为x1l3x2768EJx39117 m11 16110 711900m001x x02x 3m由系统的特征矩阵L L MM 1I I，得频率方程L L 0，即2p91171116117119 0ml31其中,2，展开频率方程为768EJp(2)(232142)0解出1 31.556,2 2,3 0.444。(16)(9)1212由特征矩阵的伴随矩阵的第一列adjL L 77211(9)，分别代入
12、特征12127(16)1.000 1.0001.000。1.4140.0001.414值，得到主振型为A A 1.0001.0001.000 4-7 如题 4-7 图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设 m1=m2=m3=m4=m和 k1=k2=k3=k，试用作用力方程计算系统的固有频率及主振型。题 4-7 图解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为 k kK K 00 k2k k00 k2k k0 m0000m000，MM 00m0 kk000m由频率方程K K p2MM 0，得k mp2k00因此可得到频率方程p解出22p1 0,p2 22k2k
13、 mp2k00k2k mp2k00kk mp2 02p m646kp4m310k2p2m24k3m 0k2kk22，p3，p4(22)mmm解出频率为p1 0，p2(22)k，p3m2kk。p4(22)mmk p2mk002k2k p mk02由特征矩阵B B K K p MM,B 20k2k p mk200kk p m特征矩阵的伴随矩阵的第一列，adjB B(1)(2k mp2)(k mp2)k2(2k mp2)k2(k mp2)223k(2k mp)(k mp)k22k(k mp)3kk36k2p2m5kp4m2 p6m332242k 3k p mkp mk3k2p2m3kk313 1k3
14、归一化 得A A(1)k1 k31k3112 k3 12(2)归一化 得A A(12)k3(12)1k3将p1 0代入，即得A A(1)将p22 22k(2)代入，得 A Am将p322k(3)代入，得A Amk 1 k1(3)归一化 得A Ak1k 1将p4(22)k(4)代入，得A Amk1 1212 k(4)A A归一化 得(12)k(12)1k得系统的主振型矩阵为11111 12112A A 12 11121111各阶主振型如下图所示：4-8 题 4-8 图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设 m1=m2=m3=m，h1=h2=h3=h，EJ1=3EJ，EJ2=2EJ，EJ3
15、=EJ。用微小的水平平动x1、x2和 x3为坐标，用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等12EJ效刚度为k 3，由此可将题 4-11 图等效为(a)图，其中lk1 212EJ312EJ112EJ2k 2k 2，23333h1h2h3题 4-8 图广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的m1施加单位力，其余不受力，此时第一个弹簧变形为三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为，11111，21，31k1k1k131，第二和第k1222h255同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为 144EJ2511m000m0系
16、统的质量矩阵为MM 00m得到系统的位移方程为x1h3x2144EJx3222 m2550 251100m001x2x0 x 3m由系统的特征矩阵L L MM 1I I，得频率方程L L 0，即2p2222552511 0mh31其中,2，展开频率方程为144EJp3182542363 0解出114.43,2 2.62,3 0.954。解出固有频率为p19.979EJEJEJp 55.07p 15123333mhmhmh(5)(11)2512由特征矩阵的伴随矩阵的第一列adjL L 102 2(11)，分别代入特征102 2(5)1.000 1.0001.000。2.2951.3770.645
17、值，得到主振型为A A 3.9291.0370.12200021.6508m03.9243m0主质量振型为MMP A ATMAMA 001.4303m正则振型的第 i 列为A AiN1MiA Ai,由此得到正则振型振型为0.21490.50490.8361 1A AN0.49270.68480.5390m0.1017 0.84320.5278柔度矩阵还可以这样解出：F11，F2 F3 0时：h13h13h13，12，131124EJ124EJ124EJ1F21,F1 F3 0时：h13h23h13h23，232224EJ124EJ224EJ124EJ2F31，F1 F2 0时：h32h13h1
18、3h23h13h23，32，333124EJ124EJ224EJ124EJ224EJ324EJ1h13h13h1324EJ24EJ24EJ11133333hh1h2h1h21 24EJ124EJ224EJ124EJ224EJ1h3h32h13h23h13h23124EJ124EJ224EJ324EJ124EJ224EJ14-9 在题 4-9 图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设 m1=m2=m3=m，k1=k2=k3=k4=k5=k6=k，试求系统的固有频率及振型矩阵。解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为m003k，K K kMM 0m000m k k3
19、k k k k3k 题 4-9 图由频率方程K K p2MM 0，得3k mp2 k k k3k mp2 k k k3k mp2 0解出频率为p1kkk，p2 2，p3 2mmm由特征矩阵B B K K p2MM的伴随矩阵的第一列，(3k mp2)2 k2k2 k(3k mp2)k2 k(3k mp2)adjB B(1)将p1k代入得系统的第一阶主振型为mA A(1)1 1 1TA A(2)满足如下关系：2(A A(1)TMMA A(2 2)0，(K K p2MM)A A(2)0(2)(2)(2)A3 0。取A2 0，A1(2)1，可得到A3(2)1。即有展开以上二式得，A1(2)A2A A(
20、2)101TA A(3)满足如下关系：2MM)A A(3)0(A A(1)TMMA A(3)0，(A A(2)TMMA A(3)0(K K p3(3)(3)(3)A3 0，A1(3)A3 0，联立得A1(3)A3(3)。取A1(3)1，展开以上二式得，A1(3)A2(3)A3(3)1，可得到A2 2。即得A A(3)1 21T主振型矩阵为111 A A 10 21 114-10 试计算题 4-5 的系统对初始条件000T和0000T的响应。解：在习题 4-5 中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为ml2111，MM 0A A 10 201 110ml200 0ml2主质量振型为300MM A
21、 ATMAMA ml2020题 4-5 图P006正则振型的第 i 列为A A(i)1(i)NMA A,由此得到正则振型振型为i31A A12N6ml2202231初始条件为ml22 N(0)A ATNMM 060，N(0)A ATNMM 0=0 2正则坐标的响应为N1m23lcos pm1t，N2 0，N3 3lcos p3t由 A A(1)2)3)NN1 A A(N N 2 A A(N N3，展开得到11121cos p1t 21cos p3t3313其中pgg31，pgkh2l2lml2，p3lkh2ml2。4-11 试计算题 4-7 的系统对初始条件x00000T和x 0v应。题 4-
22、7 图解：在习题 4-7 中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为00vT的响Ap A 1A2A3A411111 1 121(12)1 1 1 12(12)111111m0001 121120m00，MM A A 100m02 11121111000m0004.00000.41400T主质量振型为MMP A A MAMA m004.00000013.6570i)正则振型的第 i 列为A A(N1MiA A(i),由此得到正则振型振型为0.50000.65730.50000.270610.50000.27060.50000.6533A AN0.50000.27060.50000.6533m0.5
23、0000.65330.50000.2706正则坐标初始条件为 0.50000.50000.50000.65330.27060.2706TxN(0)ANMx0m 0.50000.50000.50000.27060.65330.6533 0.50000.50000.50000.65330.27060.2706TxN(0)ANMx0m 0.50000.50000.50000.27060.65330.65330.5000100.65330.500000.270600000000100 01000 001000.5000100.65330.500000.27060000v100100 mv 10100
24、001v0TN(0)A ATx xN(0)A ATx x0=0，x xNMMNMMx x0=mv0v0正则坐标的响应为xN1mvt，xN2 0，xN32k。mv msin p3t，xN4 0其中频率为p3p3最终得到响应,由x x A ANx xN1 A ANx xN 2 A ANx xN3 A ANx xN 4，展开得到(1)(2)(3)(4)x11x v2vt1x32 12p3 1x4v2(t v2(t v(t 2v(t 2 1 1cos p3t111234x ANxN1 ANxN2 ANxN3 ANxN41sin p3t)p31sin p3t)p31sin p3t)p31sin p3t)
25、p34-12 试确定题4-8中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷 P忽然去除所引起的响应。解：在习题 4-8 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为0.21490.50490.8361 m001，MM 0m0A AN0.49270.68480.5390m0.1017 0.84320.527800m当作用于第三层楼水平方向的静载荷 P 忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即20Ph00 x x05x x，144EJ1103题 4-8 图正则坐标初始条件为12.168Phm，x xTx xN(0)A ATMMx x(0)A A1.379=N0NNMMx x0=144EJ0.0
26、99 300 012.168cos p1t Phm1.379cos p t正则坐标的响应为x xN2144EJ0.099cos p3t 31)3)x xN1 A A(N2)x xN 2 A A(Nx xN3，展开得到由x x A A(N 2.616cos p1t 0.702cos p2t 0.083cos p3t Phx x 5.999cos p t 0.938cos p t 0.053cos p t123144EJ10.258cos p1t 0.727cos p2t 0.010cos p3t3其中p19.979EJEJEJp 55.07p 151。23mh3mh3mh34-13 假定一个水平
27、向右作用的斜坡力Rt施加与题 4-5 中中间摆的质量上，试确定系统的响应。解：在习题 4-10 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为21A AN226ml2ml2MM 000ml203102，310 0ml2题 4-5 图由题意，施加的作用力为 0 f f Rtl0将作用力变换到正则坐标：13Rt q qN A AT0Nf f ml26由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分，第 i 个正则坐标的响应：Ni用正则坐标表示的位移矢量qNi1(t sin pit)2pipiR Nm 11 12t sin p t1p13p10 12 12t sin p t3p36p3由 A ANN，展开得到
28、R 3ml其中p111(t sin p1t)2pp1111(t sin p1t)p1p1211(t sin p1t)2p1p111(t sin p t)32pp3321(t sin p3t)2p3p311(t sin p t)32p3p3g，p2lgkh2，p3lml2g3kh2。lml24-14 试确定题 4-7 的系统对作用于质量 m1和质量 m4上的阶跃力 F1=F4=F 的响应。题 4-7 图解：在习题 4-11 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为0.50000.65730.50000.2706m0000m0010.50000.27060.50000.6533A AN，MM 0
29、0m0m0.50000.27060.50000.65330.50000.65330.50000.2706000m由题意，施加的作用力为F0f f 0F将作用力变换到正则坐标：1 F 0Tq qN A ANf f m10用正则坐标表示的位移矢量t22F0 x xNm1(1cos p3t)p230由x x A ANx xN，展开得到t24t2F4x x 2mt4t24其中p3122p3122p3122p3122p3(1cos p3t)(1cos p3t)(1cos p3t)(1cos p3t)2k。ms asint，试求各层楼板相对x4-15 在题 4-8 的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度
30、于地面的稳态水平强迫振动。解：在习题4-12 中已求得系统的正则振型矩阵和质量矩阵分别为0.21490.50490.8361 m001，MM 0m0A AN0.49270.68480.5390m0.1017 0.84320.527800m由题意，施加的作用力为 masint*f fS masint masint题 4-8 图将作用力变换到正则坐标：q q*NS1.5510masint1*0.6604masint A ATf fNSm0.3988masint用正则坐标表示的位移矢量1.55101p122 masint0.66042p2m30.39882p3x x*Nr*由x x*r A ANx
31、xNr，展开得到320.333510.333420.333422p1p2p3312x x*asint 0.76420.45110.2150r222p1p2p33121.30800.34840.040722p12p2p3其中i11(pi)2,（i=1,2,3）;p19.979EJEJEJp 55.07p 151,。23mh3mh3mh34-16 质量为 m1的滑块用两个刚度分别为 k1及 k2的弹簧连接在基础上，滑块上有质量为 m1、摆长为 l 的单摆，假设 m1=m2=m 及 k1=k2=k，t，其 中基 础 作 水 平 方 向 的 简 谐 振 动xs as ink，试求(1)单摆的最大摆角m
32、ax；（2）系统的m共振频率。解：如图所示选择广义坐标。利用质量影响系数法求质量矩阵，0，画惯性力及m,m，由平衡条件得到，1,x设1121题 4-16 图m11 2m，m21 ml。1，画惯性力及m,m，由平衡条件得到，m ml，m ml2。0,x设22122212利用刚度影响系数法求刚度矩阵k k。设x 1,0，画出受力图，并施加物块力k11,k21，列平衡方程，得到k11 2k，k21 0设x 0,1，画出受力图，并施加物块力k12,k22，列平衡方程，得到k12 0，k22 mgl得作用力方程为2kx2mml mlml20 0 x2ka sintmgl0令 x B1sint为稳态响应，
33、代入上式得，B22k00 ml B12ka22m 2mglmlmlB20展开为(2k 2m2)B1 ml2B2 2ka ml2B1(mgl ml22)B2 0将k2a2a代入可得到B2。稳态运动时有(t)sint，则有mllmax由频率方程K K p2MM 0，得2al2k 2p2mmlp2 0222mlpmgl p ml展开为(2k 2mp2)(mgl ml2p2)(mlp2)2 0，解出频率为p1即为共振频率。gkgk()2()2，p2lmlmgkgk()2()2lmlm4-17 题 4-17 图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量 4m 上作用有铅垂力P0cost，试求各个
34、质量的强迫振动振幅；系统的共振频率。解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，7kK K k 2k kk0 2k03k 题 4-17 图4m00 0m0系统的质量矩阵为，MM 002m由频率方程K K p2MM 0，得7k 4mp2 k 2k kk mp20 2k03k 2mp2 0解得，p10.590kkk，p21.211，p32.449mmm由特征矩阵B B K K p2MM的伴随矩阵的第一列，(k mp2)(3k 2mp2)k(3k 2mp2)22k(k mp)adjB B(1)并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为1.000 1.0001.000A A 2.439 4.74
35、20.6901.1043.4621.0870012.386m050.452m0主质量振型为MMP A ATMAMA 06.839m0i)正则振型的第 i 列为A A(N1MiA A(i),由此得到正则振型振型为0.382 0.2820.1411A AN0.6930.6690.264m0.3140.4880.415正则坐标表示的微分方程p12N0 x x002p20 x xN q qN2p300由题意，施加的作用力为P0f f 0cost0将作用力变换到正则坐标：0.284P0q qN A ATf f 0.141costNm0.382用正则坐标表示的位移矢量0.28411Px xN00.1412
36、1costm0.38231其中i11，（i=1,2,3）。22pi由x x A ANx xN，展开得到0.08111 0.02021 0.14631P0 x x 0.197110.094210.10131costm0.08911 0.069210.15931可用直接方法求解：列出运动方程4m00 x1 7k0m0 x2k002mx2k3x1B1设其稳态响应为：x2B2costxB33所以原方程化为：kk02kx1 p00 x20cost3kx30 p0B1B1MB2(2)cost KB2cost 0costBB0337k 24mB1 p0k2kkk 2m0即：B202k03k 22mB30p0
37、(k 2m)(3k 2m2)B12222222(7k 4m)(k m)(3k 2m)k(3k 2m)4k(k m)p0k(3k 22m)所以：B22222222(7k 4m)(k m)(3k 2m)k(3k 2m)4k(k m)2p0k(k 2m)B3(7k 4m2)(k 2m)(3k 2m2)k2(3k 2m2)4k2(k 2m)令a 22mk,Z 1434a441a28a6B1则：B2B3p0(1a2)(32a2).kZp0(32a2).kZp02(1a2).kZ4-18 在题 4-18 图的有阻尼系统中，c初始条件为零，求系统响应。解：（1）写出无阻尼受迫振动方程13km，左端的质量块受
38、阶跃力 P 的作用，212kxm00mk x22k x1P0 x 2k2题 4-18 图（2）求固有频率和正则振型由频率方程K K p MM 0，得2k mp2k解得，p1kk，p23。mmk 022k mp由特征矩阵B B K K p2MM的伴随矩阵的第一列，adjB B(1)2k mp2k并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为11 A A 1110主质量振型为MMP A A MAMA 2m01Ti)正则振型的第 i 列为A A(N1MiA A(i),由此得到正则振型振型为A AN（3）正则坐标表示的微分方程2 2 11 11mp12Nx x0（4）引入振型阻尼比0 x x q qN2Np2
39、3cc40T建立阻尼矩阵C C，求主阻尼矩阵C C A A CACA cP08。c3c则有，C CN2c3km4c4c 10。所以c 21p1，得1N12m2m02ckm。由cN28c 22p2，2m得2。（5）引入振型阻尼比的正则坐标表示的微分方程N121p1xN20 x由题意，施加的作用力为N1p12 xN2022p2x00 xN1 q qN2p2xN2Pf f 0将作用力变换到正则坐标：Pq qN A ATf f NP（6）用正则坐标表示的响应xN1e1p1tp1P1sin(pd1t 1)kpd1e2p2tp2P1sin(pd2t 2)3kpd21i2xN2其中pdi pi1，i arctan（7）用物理坐标表示的响应由x x A ANx xN，展开得到2ii，i=1,2。x1 xN1 xN 2，x1 xN1 xN24-19 试说明两自由度系统复模态Hij(s)的图像。4-20 试论述模态分析的本质问题是一种坐标变换，而 H(s)，H(j)，h(t)之间的变换又是数学变换，试论述两类变换的意义。