《第-3-章(II)多自由度系统的振动ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第-3-章(II)多自由度系统的振动ppt课件.ppt（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第第3 3章章 多自由度系统的振动多自由度系统的振动李映辉李映辉西南交通大学西南交通大学2015.092015.092023年5月3日振动力学22023年5月3日中国力学学会学术大会200522023年5月3日2声声 明明 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。不可用于任何商业目的。不可用于任何商业目的。不可用于任何商业目的。不可用于任何商业目的。本课件的部分内容参阅了本课件的部分内容参阅了本课件的部分内容参阅了本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平上海交通大学陈国平上海
2、交通大学陈国平上海交通大学陈国平教授和教授和教授和教授和太原科技大学杨建伟太原科技大学杨建伟太原科技大学杨建伟太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教教授的课件，作者在此向二位教教授的课件，作者在此向二位教教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。益，作者在此致歉。益，作者在此致歉。益，作者在此致歉。本课件以高淑英、沈火明编著的本课件以高淑英、沈火明编著的本课件以高淑英、沈火明编著的本课件以高淑英、沈火
3、明编著的振动力学振动力学振动力学振动力学（中国（中国（中国（中国铁道出版社，铁道出版社，铁道出版社，铁道出版社，2011201120112011年）的前四章为基础编写。年）的前四章为基础编写。年）的前四章为基础编写。年）的前四章为基础编写。感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作2023年5月3日振动力学3教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动2023年5月3日振动力学3教学内容教学内容l两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自由度系统的振动两自
4、由度系统的振动l多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动多自由度系统的振动l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法2023年5月3日振动力学4教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法2023年5月3日振动力学4l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法
5、（DunkerleyDunkerleyDunkerleyDunkerley）瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)李兹法（李兹法（李兹法（李兹法（Ritz)Ritz)Ritz)Ritz)传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法2023年5月3日振动力学5多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法1 1 1 1 邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（邓
6、柯莱法（DunkerleyDunkerleyDunkerleyDunkerley）该方法由邓柯莱在用实验确定多圆盘轴横向振动频率该方法由邓柯莱在用实验确定多圆盘轴横向振动频率时提出，作为系统时提出，作为系统基频估算公式基频估算公式。设设n n自由度系统质量阵、柔度阵为自由度系统质量阵、柔度阵为自由振动方程为自由振动方程为2023年5月3日振动力学6多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法特征方程为特征方程为 式中式中=1/=1/2 2。展开。展
7、开设上式根设上式根1 1=1/=1/1 12 2，2 2=1/=1/2 22 2，,n n=1/=1/n n2 2,则则（3.1013.101）可表为）可表为2023年5月3日振动力学7多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法展开得展开得比较（比较（3.1013.101）和（）和（3.1033.103）得）得即即因因1 12 2、3 3、n n,1/,1/2 2、1/1/3 3、1/1/n n较小，得较小，得式中式中iiii=1/k=1/kii
8、ii，则，则2023年5月3日振动力学8多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法故故上式即为上式即为邓柯莱公式邓柯莱公式，iiii是系统在质量是系统在质量m miiii单独作用下（其单独作用下（其他质量为零）系统的固有频率。他质量为零）系统的固有频率。因（因（3.1053.105）左边舍去了一些正项，由（）左边舍去了一些正项，由（3.1053.105）计算的）计算的1/1/12 2值比实际大，值比实际大，12 2实际值小实际值小。2023年5月
9、3日振动力学9多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法【例例3.103.10】图图3.153.15为等截面简支梁。其有为等截面简支梁。其有3 3集中质量是集中质量是m m1 1、m m2 2、m m3 3，梁弯曲刚度为，梁弯曲刚度为EIEI，质量不计。用邓柯莱法计算系统，质量不计。用邓柯莱法计算系统第一阶固有频率的近似值。已知：第一阶固有频率的近似值。已知：m m1 1=m=m3 3=m,m=m,m2 2=2m=2m。【解解】由材料力学知，简支
10、梁由材料力学知，简支梁在单位下的挠曲线公式为在单位下的挠曲线公式为a a、b b分别为力作用点到左右端的距离。分别为力作用点到左右端的距离。2023年5月3日振动力学10多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法邓柯莱法求得柔度影响系数为求得柔度影响系数为由（由（3.1073.107）得）得求得的求得的1 1值比精确值小值比精确值小2.5%2.5%。2023年5月3日振动力学112023年5月3日振动力学11教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统
11、的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法2023年5月3日振动力学11l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（DunkerleyDunkerleyDunkerleyDunkerley）瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)李兹法（李兹法（李兹法（李兹法（Ritz)Ritz)Ritz)Ritz)传递
12、矩阵法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法2023年5月3日振动力学12多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法2 2 瑞雷法瑞雷法（Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)多自由度系统的动能多自由度系统的动能T T与势能与势能U U的表达式为的表达式为系统作某一阶主振动时系统作某一阶主振动时代入（代入（3.1083.108）和）和(3.109)(3.109)得系统在作第得系统在作第i
13、i阶主振动时，最大阶主振动时，最大动能动能T Tmaxmax与最大势能与最大势能U Umaxmax2023年5月3日振动力学13多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法由机械能守恒定律，由机械能守恒定律，T Tmax max=U=Umax max 得得在（在（3.1153.115）中）中A A(i)(i)代入假设振型代入假设振型A A，结果以，结果以R R1 1表示，则表示，则称为称为瑞雷商瑞雷商。这种计算系统固有频率的方法称为。这种计算系统固有频率的
14、方法称为瑞雷法瑞雷法.因很难选因很难选A A(i)(i)接近高阶主振型，接近高阶主振型，通常不用瑞雷法求高阶通常不用瑞雷法求高阶固有频率，只用它求低阶固有频率固有频率，只用它求低阶固有频率。2023年5月3日振动力学14多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法 取接近一阶主振型的假设振型取接近一阶主振型的假设振型A A代入（代入（3.1153.115），则瑞雷），则瑞雷商为一阶固有频率平方近似值。证明如下：商为一阶固有频率平方近似值。证明如下：如假设振
15、型如假设振型A A不是主振型，将其用正则振型线性表示不是主振型，将其用正则振型线性表示 有有瑞雷商为瑞雷商为2023年5月3日振动力学15多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法若若A A接近于一阶主振型接近于一阶主振型A A（1 1），则，则C C2 2/C/C1 11,C1,C3 3/C/C1 11,1,C Cn n/C/C1 11,1,则由（则由（3.1183.118）有）有一般以静变形作假设振型，可得相当准确的结果。一般以静变形作假设振型，可得
16、相当准确的结果。如选取如选取A A有困难，可任选一有困难，可任选一A A。与动力矩阵。与动力矩阵D(=D(=M)M)相乘，得相乘，得B B1 1=DA=DA，然后以，然后以B B1 1或与其成比例的或与其成比例的B B1 1作作A A(1)(1)的近似振型，再按的近似振型，再按（3.116)3.116)计算计算R R1 1，可得，可得1 12 2好的近似。好的近似。2023年5月3日振动力学16多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法 瑞雷法也可用于以
17、柔度阵瑞雷法也可用于以柔度阵建立振动方程的情况，这时建立振动方程的情况，这时系统势能系统势能U U等于外力的功，即等于外力的功，即在振动过程中，只有惯性力作用，即在振动过程中，只有惯性力作用，即因因x x为为得得2023年5月3日振动力学17多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法势能、动能最大值势能、动能最大值由由T Tmaxmax=U=Umax max，得，得当当A A为第为第i i阶主振型，由（阶主振型，由（3.1223.122）得第）得第i i
18、阶固有频率的平方值阶固有频率的平方值i i2 2。在（。在（3.1223.122）中代入假设振型）中代入假设振型A A，结果用，结果用R R2 2表示，则有表示，则有上式称为上式称为第二瑞雷商第二瑞雷商。2023年5月3日振动力学18多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法注意：用（注意：用（3.1153.115）或（）或（3.1233.123）计算的）计算的12 2总比精确值总比精确值1 12 2大。因任选一大。因任选一A A，即对系统增加了约束，提
19、高了系统刚度，即对系统增加了约束，提高了系统刚度，使频率增大。使频率增大。【例例3.113.11】用瑞雷法求例用瑞雷法求例3.103.10中一阶固有频率的近似值。中一阶固有频率的近似值。【解解】由例由例3.103.10系统质量阵系统质量阵M M和柔度阵和柔度阵为为2023年5月3日振动力学19多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法三点处静挠度为三点处静挠度为最大势能为最大势能为各点最大速度为各点最大速度为y y1 1、y y2 2、y y3 3，最大
20、动能为，最大动能为2023年5月3日振动力学20多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法由（由（3.1243.124）得）得此结果比真实值略高，误差为此结果比真实值略高，误差为0.02%0.02%。2023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日振动力学212023年5月3日
21、振动力学21作业作业第第第第97979797页页页页3.193.193.193.19多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统的振动多自由度系统的振动2023年5月3日振动力学222023年5月3日振动力学222023年5月3日振动力学22教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法李兹法李兹法2023年5月3日振动力学22l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法
22、邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（DunkerleyDunkerleyDunkerleyDunkerley）瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)李兹法（李兹法（李兹法（李兹法（Ritz)Ritz)Ritz)Ritz)传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法2023年5月3日振动力学23多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法3 3 李兹法李兹法（Rit
23、z)Ritz)Ritz)Ritz)瑞雷法理论上可求系统的各阶固有频率，但实际上难以瑞雷法理论上可求系统的各阶固有频率，但实际上难以用于求高阶固有频率。用于求高阶固有频率。李兹法对瑞雷商进行了改进，采用其极值形式，能找到李兹法对瑞雷商进行了改进，采用其极值形式，能找到较精确的低阶和高阶振型，不仅可求出更精确的基频，还可较精确的低阶和高阶振型，不仅可求出更精确的基频，还可计算高阶频率和振型，故李兹法也称为计算高阶频率和振型，故李兹法也称为瑞雷瑞雷李兹法李兹法。李兹法需先假定若干振型，并进行线性组合，用瑞雷法李兹法需先假定若干振型，并进行线性组合，用瑞雷法计算前几阶固有频率。若系统自由度很大，矩阵阶
24、数很高，计算前几阶固有频率。若系统自由度很大，矩阵阶数很高，其存储量大，运算速度慢。其存储量大，运算速度慢。2023年5月3日振动力学24多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法如如希希望望有有s s阶阶频频率率与与振振型型为为准准确确值值，需需假假设设n n1 1个个振振型型(2sn(2sn1 1n)n)，矩矩阵阵阶阶数数大大为为降降低低，故故李李兹兹法法是是一一种种缩缩减减系系统统自由度的近似解法自由度的近似解法。介绍如下：。介绍如下：任取任取n n1 1个线
25、性无关的特征向量个线性无关的特征向量1 1、2 2、n1 n1，用，用其线性组合作为新的假设振型其线性组合作为新的假设振型A,A,即即式中式中C C1 1、C C2 2、C Cn1n1为待定常数，将（为待定常数，将（3.1253.125）表为矩阵形）表为矩阵形式式其中其中2023年5月3日振动力学25多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法将将A=A=C C代入（代入（3.1163.116）得）得由瑞雷商极值性质，可得待定常数由瑞雷商极值性质，可得待定常数C Cj
26、 j，即令，即令将这将这n n1 1个方程表为矩阵形式个方程表为矩阵形式其中其中 分别为分别为n n1 1n n1 1的广义刚度阵和的广义刚度阵和广义质量阵广义质量阵.2023年5月3日振动力学26多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法（3.1303.130）为特征值问题，因阶数）为特征值问题，因阶数n n1 1远小于系统自由度数远小于系统自由度数n n，求解简便。求解简便。由（由（3.1303.130）得）得s s个特征值个特征值R R1 1、R R2 2、R
27、 Rn1n1为系统最低的为系统最低的n n1 1个固有频率，个固有频率，C C(1)(1)、C C(2)(2)、C C(n1)(n1)为对应的为对应的n n1 1个主振型个主振型【例例3.123.12】图示弹簧图示弹簧质量系统质量系统,用李兹法求其前三阶固有用李兹法求其前三阶固有频率和主振型。频率和主振型。2023年5月3日振动力学27多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法【解解】取广义坐标取广义坐标x x1 1、x x2 2、x x3 3、x x4 4，系统质
28、量阵、刚度阵，系统质量阵、刚度阵为为设设则广义刚度阵为则广义刚度阵为2023年5月3日振动力学28多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法广义质量阵为广义质量阵为代入（代入（3.1303.130）得）得解得解得2023年5月3日振动力学29多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/李兹法李兹法系统最低二阶固有频率的近似值为系统最低二阶固有频率的近似
29、值为主振型的近似值为主振型的近似值为同样可以求出另两阶频率和振型。同样可以求出另两阶频率和振型。2023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学302023年5月3日振动力学30作业作业第第第第98989898页页页页3.223.223.223.22多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统的振动多自由度系统的振动2023年5月3日振动力学312023年5月3日振动力学312023年5月3日振动力学3
30、1教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法2023年5月3日振动力学31l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（DunkerleyDunkerleyDunkerleyDunkerley）瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)李兹法（李兹法（李兹法（李兹法（Ritz)Ritz)R
31、itz)Ritz)传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法2023年5月3日振动力学32多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法4.4.传递矩阵法传递矩阵法 质量阵、刚度阵形成后，前述方法有广泛应用。质量阵、刚度阵形成后，前述方法有广泛应用。对一环连一环，呈链状的工程结构（如发动机曲轴、连对一环连一环，呈链状的工程结构（如发动机曲轴、连续梁等），可采用另一计算方法续梁等），可采用另一计算方法传递矩阵法
32、。传递矩阵法。该法只需对低阶次的传递矩阵进行乘法运算，并计算其该法只需对低阶次的传递矩阵进行乘法运算，并计算其特征值，节省计算工作量。特征值，节省计算工作量。由界面上的力和位移组成列矢量，称为由界面上的力和位移组成列矢量，称为状态矢量状态矢量。联系。联系相邻单元间状态矢量的矩阵，称相邻单元间状态矢量的矩阵，称传递矩阵传递矩阵。传递矩阵把状态。传递矩阵把状态矢量从一个位置转换到另一位置，因此称为矢量从一个位置转换到另一位置，因此称为传递矩阵法传递矩阵法，又，又称称变换矩阵法变换矩阵法。2023年5月3日振动力学33多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固
33、有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法（1 1）梁上有集中质量的横向振动系统）梁上有集中质量的横向振动系统 连续梁或汽轮机的发动机转子可简化为无质量的梁附加连续梁或汽轮机的发动机转子可简化为无质量的梁附加若干集中质量的横向振动系统，如图若干集中质量的横向振动系统，如图3.173.17（a a）。）。图图 3.173.172023年5月3日振动力学34多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递
34、矩阵传递矩阵传递矩阵法法设第设第i i个单元集中质量个单元集中质量m mi i，梁长，梁长l li i，抗弯刚度，抗弯刚度EIEIi i。梁段及集中质量受力如图梁段及集中质量受力如图3.173.17（c c）、（）、（d d）。）。各截面挠度各截面挠度y y、截面转角、截面转角、剪力、剪力Q Q及弯矩及弯矩M M约定为正值。约定为正值。任一截面状态向量有任一截面状态向量有4 4个分量，即广义位移个分量，即广义位移y y与与及广义力及广义力Q Q与与M M，表示为，表示为2023年5月3日振动力学35多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解
35、法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法由图由图3.173.17（d d）的力平衡条件有）的力平衡条件有图图 3.17 3.17 2023年5月3日振动力学36多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法设第设第i i段梁上距左端段梁上距左端x x处截面的弯矩、剪力、转角、挠度分别处截面的弯矩、剪力、转角、挠度分别为为M Mi i(x)(x)、Q Qi i(x)(x)、i i(x)(x
36、)及及y yi i(x)(x)，则，则上式中令上式中令x=lx=li i,得得2023年5月3日振动力学37多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法表为矩阵形式表为矩阵形式简写成简写成式中式中H Hi i f f称为称为场传递矩阵场传递矩阵。由图由图3.173.17（c c），集中质量两边的挠度、转角、弯矩、），集中质量两边的挠度、转角、弯矩、剪力满足剪力满足2023年5月3日振动力学38多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固
37、有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法当系统以频率当系统以频率振动时，（振动时，（3.1423.142）为）为（3.1393.139）-（3.1433.143）表示矩阵形式）表示矩阵形式2023年5月3日振动力学39多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法H Hi iP P称为称为点传递矩阵点传递矩阵。由（由（3.1383.138）、（
38、）、（3.1453.145）得）得Z Zi-1i-1R R到到Z Zi iR R的传递关系为的传递关系为其中其中H Hi i称为称为第第i i单元的传递矩阵单元的传递矩阵2023年5月3日振动力学40多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法由此得到由此得到记总传递矩阵为记总传递矩阵为则从最左端与最右端间的传递关系为则从最左端与最右端间的传递关系为2023年5月3日振动力学41多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解
39、法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法具体形式为具体形式为H H中各元素依赖于中各元素依赖于，表示为，表示为 两端边界条件已知，可以得到梁的固有频率。两端边界条件已知，可以得到梁的固有频率。2023年5月3日振动力学42多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法（2 2）轴盘扭转振动系统）轴盘扭转振动系统 对图对图3.183.18（a a）示链状轴盘扭
40、振系统，其典型单元包括）示链状轴盘扭振系统，其典型单元包括无质量轴段和刚性圆盘。无质量轴段和刚性圆盘。设第设第i i单元内轴段扭转刚度单元内轴段扭转刚度k ki i，长度，长度l li i，圆盘转动惯量，圆盘转动惯量J Ji i，轴段及圆盘受力如图，轴段及圆盘受力如图3.183.18（b b）-（c c）。）。各截面转角各截面转角、扭矩、扭矩M M约定为正值。截面状态向量为约定为正值。截面状态向量为不计轴段转动惯量，由图不计轴段转动惯量，由图3.183.18知两边扭矩相等知两边扭矩相等2023年5月3日振动力学43多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统
41、固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法 轴段两边转角满足：轴段两边转角满足：2023年5月3日振动力学44多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法（3.1543.154）与（）与（3.1553.155）写成矩阵形式）写成矩阵形式即即表示从状态向量表示从状态向量Z Zi-1i-1R R到到Z Zi iL L的传递关系，的传递关系，H Hi if f称为称为场传递矩阵
42、场传递矩阵。由图由图3.183.18（c c）知圆盘两边转角相等，即）知圆盘两边转角相等，即圆盘振动方程为圆盘振动方程为2023年5月3日振动力学45多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法当轴盘系统以频率当轴盘系统以频率振动时，有振动时，有 ，代入得，代入得（3.1583.158）与（）与（3.1573.157）的矩阵形式）的矩阵形式得得表示从状态向量表示从状态向量Z Zi iL L到到Z Zi iR R的传递关系，的传递关系，H Hi
43、iP P称为称为点传递矩阵点传递矩阵。2023年5月3日振动力学46多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法由（由（3.1563.156）、（）、（3.1603.160）得从）得从Z Zi iR R到到Z Zi-1i-1R R的传递关系的传递关系H Hi i称为称为第第i i单元的传递矩阵。单元的传递矩阵。等于等于H Hi i是频率的函数。通过各单元的传递矩阵，可建立结构最左是频率的函数。通过各单元的传递矩阵，可建立结构最左端与最右端的状态
44、向量之间的传递关系。端与最右端的状态向量之间的传递关系。2023年5月3日振动力学47多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法【例例3.133.13】3 3圆盘扭振系统。各圆盘的转动惯量圆盘扭振系统。各圆盘的转动惯量J J1 1=4.9kg.m=4.9kg.m2 2，J J1 1=4.9kg.m=4.9kg.m2 2，J J3 3=19.6kg.m=19.6kg.m2 2，轴段扭转刚度，轴段扭转刚度k k2 2=98=9810103 3N.
45、mN.m，k k3 3=196=19610103 3N.m.N.m.用传递矩阵法求各阶固有频率和主振型。用传递矩阵法求各阶固有频率和主振型。【解解】由传递矩阵法，系统由传递矩阵法，系统最左端与最右端状态向量之最左端与最右端状态向量之间传递关系为间传递关系为即即2023年5月3日振动力学48多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法边界条件为边界条件为M M1 1L L=M=M3 3R R=0=0。对左端边界条件，在（对左端边界条件，在（a a
46、）中）中M M1 1L L=0=0，得，得因因1 1L L任意，任意，是固有频率，是固有频率，M M3 3R R=0=0，代入（，代入（b b），有），有上式即为频率方程。上式即为频率方程。设最左端状态向量为设最左端状态向量为2023年5月3日振动力学49多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法Z Z1 1R R=H=H1 1P PZ Z1 1L L,Z,Z2 2R R=H=H1 1f fZ Z1 1R R,Z,Z3 3R R=H=H3 3
47、Z Z2 2R R的具体形式为的具体形式为可得该扭转系统的固有频率和模态（可得该扭转系统的固有频率和模态（注意刚体运动注意刚体运动）2023年5月3日振动力学50多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法对应主振型为对应主振型为2023年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学512023
48、年5月3日振动力学512023年5月3日振动力学51作业作业第第第第98989898页页页页3.243.243.243.24多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/传递矩阵传递矩阵传递矩阵传递矩阵法法2023年5月3日振动力学522023年5月3日振动力学522023年5月3日振动力学522023年5月3日振动力学52教学内容教学内容多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有
49、特性的近似解法2023年5月3日振动力学52l多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（邓柯莱法（DunkerleyDunkerleyDunkerleyDunkerley）瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（瑞雷法（Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)Rayleigh)李兹法（李兹法（李兹法（李兹法（Ritz)Ritz)Ritz)Ritz)传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法传递矩阵法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法矩阵迭代法2023年5月3日振动力学53多自由度系统的振动多自由度系统的振
50、动/多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法多自由度系统固有特性的近似解法/矩阵迭代法矩阵迭代法5.5.矩阵迭代法矩阵迭代法（1 1）求一阶固有频率和振型）求一阶固有频率和振型 对无阻尼多自由度振动系统，其固有频率及主振型可对无阻尼多自由度振动系统，其固有频率及主振型可由下式求出：由下式求出：上式也可写为上式也可写为引入引入 D=D=M M 和和 =1/=1/2 2，则（，则（3.1643.164）可写为）可写为D D称为称为系统的动力矩阵系统的动力矩阵。2023年5月3日振动力学54多自由度系统的振动多自由度系统的振动/多自由度系统固有特性的