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1、多自由度系统振动多自由度系统振动第四章第四章2 22022/12/291振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换耦合与坐标变换耦合与坐标变换耦合与坐标变换多自由度系统的动力学方程多自由度系统的
2、动力学方程多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/292振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用小结：小结：可统一表示为：可统一表示为：例例1：例例2：作用力方程作用力方程位位移移向向量量加加速速度度向向量量质质量量矩矩阵阵刚刚度度矩矩阵阵激激励励力力向向量量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维。维。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程作用力方程作用力方程202
3、2/12/293振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用小结：小结：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚刚度矩度矩阵阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。质质量矩量矩阵阵 M 中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施
4、加的力。个坐标上所需施加的力。又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出矩矩阵阵 M 和和 K，从从而而建建立立作作用用力力方方程程，这这种方法称为种方法称为影响系数方法。影响系数方法。刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定2022/12/294振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照
5、消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例：例：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 两个均匀两个均匀刚刚性杆如性杆如图图所示，具有相同所示，具有相同长长度但不同度但不同质质量，使用影响系数法求系量，使用影响系数法求系统统运运动动方程。方程。杆杆1、杆杆2绕绕其其固固定定点点的的惯惯性矩分性矩分别为别为：提示：提示：质质量矩量矩阵阵：2022/12/295振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用多自由度系统
6、振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：使用影响系数法使用影响系数法计计算系算系统刚统刚度度阵阵（1）如如图图所所示示，令令 ，对对杆杆1和和杆杆2分分别别需要施加弯矩需要施加弯矩 ，分分别为别为：（2）如如图图所所示示，令令 ，对对杆杆1和和杆杆2分分别别需要施加弯矩需要施加弯矩 ，分分别为别为：运运动动微分方程：微分方程：2022/12/296振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例：两自由度系例：两自由度系统统摆长摆长 l，无，无质质量，微量，微摆动摆
7、动求：运求：运动动微分方程微分方程xm1k1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/297振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解：解：先求解先求解刚刚度矩度矩阵阵令：令：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程x方向力平衡方向力平衡A点力矩平衡点力矩平衡m1k1k2刚刚度矩度矩阵阵第一列：第一列：需要施加的力和矩需要施加的力和矩Ax静静态态平衡平衡2022/12/298振动力学经营者提供商品
8、或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解：解：令：令：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程x方向力平衡方向力平衡A点力矩平衡点力矩平衡刚刚度矩度矩阵阵第二列：第二列：需要施加的力和矩需要施加的力和矩m1k1k2Ax2022/12/299振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程xm1k1k2刚刚度
9、矩度矩阵阵第一列：第一列：刚刚度矩度矩阵阵第二列：第二列：系系统刚统刚度矩度矩阵阵：2022/12/2910振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用求解求解质质量矩量矩阵阵令：令：令：令：m1k1k2惯性力惯性力多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程瞬瞬时动态时动态m1k1k2惯性力惯性力惯性力惯性力2022/12/2911振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务
10、的费用质质量矩量矩阵阵：xm1k1k2刚刚度矩度矩阵阵：运运动动微分方程：微分方程：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2912振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵 对对于于静静定定结结构构，有有时时通通过过柔柔度度矩矩阵阵建建立立位位移移方方程程比比通通过过刚刚度度矩阵矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些来得更方便些。柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形。定义为弹性体在单位力作用
11、下产生的变形。物理意义及量纲与刚度恰好相反。物理意义及量纲与刚度恰好相反。以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化）假假设设是常力是常力 以准静态方式作用在梁上。以准静态方式作用在梁上。梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。取取质质量量的静平衡位置的静平衡位置为为坐坐标标的原点。的原点。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2913振动力学经营者
12、提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用m1 位移：位移：m2 位移：位移：时时（1）时时（2）m1 位移：位移：m2 位移：位移：同同时时作用作用（3）m1 位移：位移：m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2914振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 同同时时作用作用
13、时时：矩阵形式：矩阵形式：柔度矩阵柔度矩阵物理意物理意义义：系系统统仅仅在在第第 j 个个坐坐标标受受到到单单位位力力作作用用时时相相应应于于第第 i 个坐个坐标标上上产产生的位移生的位移 柔度影响系数柔度影响系数 f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2915振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用当当 是是动载动载荷荷时时集中集中质质量上有量上有惯惯性力存在性力存在 位移
14、方程位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2916振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用m1m2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程也可按作用力方程建立方程：也可按作用力方程建立方程：若若K非奇异非奇异位移方程：位移方程：柔度矩柔度矩阵阵与与刚刚度矩度矩阵阵的关系：的关系：刚刚度矩度矩阵阵2022/12/2917
15、振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在。统），柔度矩阵不存在。应当注意：应当注意：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。m1m2k1k2m3原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位
16、移。而无法计算各个坐标上的位移。刚度矩阵刚度矩阵 K 奇异奇异多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2918振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例：例：教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度阵。，求柔度阵。（1）在坐标）在坐标 x1 上对质量上对质量 m1 作用单位力作用单位力:系统在坐标系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为上产生位移为:m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2）在坐标）在坐标 x2 上对质量上对质量
17、m2 作用单位力作用单位力:（3）在坐标）在坐标 x3 上对质量上对质量 m3 作用单位力：作用单位力：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2919振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用柔度矩阵：柔度矩阵：可以验证，有：可以验证，有：m1m2k1k2m3k3x1x2x3多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2920振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要
18、求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例：例：求柔度阵。求柔度阵。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：2022/12/2921振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2922振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
19、小结：小结：位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程位移方程位移方程物理意物理意义义：系系统仅统仅在第在第 j 个坐个坐标标受到受到单单位力作用位力作用时时相相应应于第于第 i 个坐个坐标标上上产产生的位移生的位移.柔度影响系数柔度影响系数 柔度矩柔度矩阵阵与与刚刚度矩度矩阵阵的关系：的关系：位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。若若K非奇异非奇异作用力方程作用力方程2022/12/2923振动力学经营者
20、提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号并且等号仅仅在在时时才成立。才成立。是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立。成立。如果如果时时，等号也成立，那么称矩，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是是半正定半正定的。的。根据分析力学的结论，对于定常约束系统：根据分析力学的结论，对于定常约束系统：动能：动能：势能：势能：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力
21、学方程2022/12/2924振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号并且等号仅仅在在时时才成立才成立 是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果时时，等号也成立，那么称矩，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是是半正定半正定的。的。动能：动能：除非除非所以，所以，正定正定多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/
22、2925振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质n 阶方阵阶方阵 A 正定正定并且等号并且等号仅仅在在时时才成立才成立 是指对于任意的是指对于任意的 n 维列向量维列向量 y，总有，总有 成立成立如果如果时时，等号也成立，那么称矩，等号也成立，那么称矩阵阵 A 是是半正定半正定的。的。势能：势能：对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。V 0 当各个位移当各个位移不全不全
23、为为零零时时，K 正定正定对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。对于不全为零的位移对于不全为零的位移 存在存在 V 0 K 半正定半正定多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2926振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 振动问题中主要讨论振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及阵正定的系统及 K 阵半阵半正定的系统，前者称为正定的系统，前者称为正定振动系统正定振动系统，后者称为，后者称为半半
24、正定振动系统正定振动系统。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2927振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用耦合与坐标变换耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元元素称为矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。耦合项。质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。以两自由度系统为例以两自由度系统为例:不存在惯性耦合不存在惯性耦合存在惯性
25、耦合存在惯性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2928振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用如果系统仅在第一个坐标上产生加速度如果系统仅在第一个坐标上产生加速度不不出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度只只在在该该坐坐标标上上引引起起惯性力惯性力.同同理理，不不出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的位位移移只只在在该该坐坐标标上上引引起起弹弹性性恢恢复复力力；而而出出现
26、现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程耦合耦合非耦合非耦合出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度还还会会在在别别的的坐坐标标上上引引起惯性力起惯性力.2022/12/2929振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额
27、为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例：研研究究汽汽车车上上下下振振动动和和俯俯仰仰振振动动的力学模型。的力学模型。表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic。悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示。的两个弹簧来表示。写出车体微振动的微分方程。写出车体微振动的微分方程。选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标。为坐标。ABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程
28、2022/12/2930振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2931振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用首先求刚度矩阵首先求刚度矩阵令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1
29、k2CD多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程车体所受外力向车体所受外力向D点简化为点简化为合力合力 PD 和合力矩和合力矩 MD 。微振动，杆质心的垂直位移、微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：杆绕质心的角位移：2022/12/2932振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用令：令：对对D点取矩：点取矩：力平衡：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD刚度矩阵：刚度矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度
30、系统的动力学方程2022/12/2933振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用求质量矩阵求质量矩阵令：令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD惯性力惯性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：力平衡：力平衡：力矩平衡：力矩平衡：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2934振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用令：令：ABCDa1a2
31、el1l2lk1k2质心质心C所受的惯性力矩：所受的惯性力矩：力平衡：力平衡：对对D点取矩：点取矩：CD惯性力矩惯性力矩惯性力惯性力质心质心C所受的惯性力：所受的惯性力：质量矩阵：质量矩阵：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2935振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵运动微分方程运动微分方程多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程：作用在：作用在D点的外力合
32、力和合力矩点的外力合力和合力矩2022/12/2936振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用如果如果D点选在这样一个点选在这样一个特殊位置，使得：特殊位置，使得：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2937振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务
33、的费用如果如果D点选在质心点选在质心C：ABCDa1a2el1l2lk1k2只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2938振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用问：问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：即：若能够，则有：若能够，则有：方程解耦，变
34、成了两个单自由度问题。方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。主坐标。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2939振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用讨论：讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？ABCDa1a2el
35、1l2lk1k2 选取选取D点的垂直位点的垂直位移及角位移作为坐标移及角位移作为坐标;选取质心选取质心C点的垂直点的垂直位移及角位移作为坐标位移及角位移作为坐标;多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2940振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用令：令：令：令：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2941振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿
36、其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDC多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2942振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCDCCD和和 的关系的关系在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对
37、大小相等、方向相反的力得：得：写成矩阵形式：写成矩阵形式：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2943振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用D点和点和C点的坐标之间的关系：点的坐标之间的关系：写成矩阵形式：写成矩阵形式：坐标变换矩阵坐标变换矩阵eDCDCCD和和 的关系的关系在在C点加一对大小相等、方向相反的力点加一对大小相等、方向相反的力得：得：写成矩阵形式：写成矩阵形式：T 非奇异，因此：非奇异，因此：多自由度系统振动多自由度系统
38、振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2944振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用验证：验证：代入，并左乘代入，并左乘 ：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2945振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用结论：结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个
39、系统所选择的两种不同的坐标假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X X 和和和和Y Y 有如下有如下有如下有如下的变换关系：的变换关系：的变换关系：的变换关系：其中其中其中其中T T 是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标是非奇异矩阵，如果在坐标X X下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：下系统的运动微分方程为：那么在坐标那么在坐标那么在坐标那么在坐标Y Y 下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：下的运动微分方程为：如果恰巧如果恰巧Y 是主坐标：是主坐标：对角阵对角阵这样的这样的T 是否存在？如何寻找？是
40、否存在？如何寻找？多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2946振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用当当T 矩阵非奇异时，称矩阵矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（与矩阵（TTAT）合同。合同。对于质量矩阵也如此。对于质量矩阵也如此。线性代数知，线性代数知，合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。对称性质：对称性质：若矩阵若矩阵A 对称，则（对称，则（TTAT）对称。）对称。证明：证明：矩阵
41、矩阵A 对称，对称，AAT则有：则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT正定性质：正定性质：若原来的刚度矩阵若原来的刚度矩阵K 正定，则（正定，则（TTKT）仍正定。）仍正定。因此坐标变换因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质。不改变系统的正定性质。多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2022/12/2947振动力学经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用小结：小结：耦合与坐标变换耦合与坐标变换多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方
42、程多自由度系统的动力学方程质量矩阵中出现耦合项称为质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。弹性耦合。不不出出现现惯惯性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的加加速速度度只只在在该该坐坐标标上上引引起起惯性力惯性力.耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐标的选择不不出出现现弹弹性性耦耦合合时时，一一个个坐坐标标上上产产生生的的位位移移只只在在该该坐坐标标上上引引起起弹弹性恢复力性恢复力.同一个系统选择两种不同的坐标同一个系统选择两种不同的坐标X 和和Y 有变换关系：有变换关系：坐标坐标坐标坐标X X下系统：下系统：下系统：下系统：坐标坐标坐标坐标Y Y 下系统：下系统：下系统：下系统：其中其中其中其中T T 是非奇异矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵是非奇异矩阵2022/12/2948振动力学