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1、第第3章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 机械振动基础机械振动基础机械振动基础机械振动基础3.1 振动微分方程振动微分方程 3.2 特征值问题特征值问题3.3 解耦与主坐标解耦与主坐标3.4 自由振动自由振动3.5 强迫振动强迫振动3.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应3.1 振动微分方程振动微分方程 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 n个自由度的系统个自由度的系统 分析方法分析方法隔离体受力分析隔离体受力分析建立广义坐标建立广义坐标整理后用矩阵形式表示为整理后用矩阵形式表示为 应用牛顿第二定
2、律应用牛顿第二定律第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 方程方程 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 广义位移广义位移广义速度广义速度广义加速度广义加速度外力向量外力向量 质量矩阵质量矩阵对称、正定对称、正定方程方程 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 刚度矩阵刚度
3、矩阵对称、半正定对称、半正定阻尼矩阵阻尼矩阵 对称对称方程方程 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 例例 3.1 建立图示系统的振动微分方程建立图示系统的振动微分方程链式系统链式系统 建立广义坐标如图建立广义坐标如图第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 影响系数影响系数 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 刚度影响系数刚度影响系数产生单位位移所需的力，即系统仅在第产生单位
4、位移所需的力，即系统仅在第j个个广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第在第i个广义坐标方向所加的力个广义坐标方向所加的力kij。柔度影响系数柔度影响系数单位外力所引起的系统位移单位外力所引起的系统位移，定义系统第，定义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广义坐标上所引起的位移为个广义坐标上所引起的位移为柔度系数柔度系数 hij。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 例例3.2 3.2 建立三自
5、由度系统的振动微分方程建立三自由度系统的振动微分方程三自由度系统三自由度系统 设设x1=1，x2=x3=0，则在则在m1上施加的力上施加的力F1=1(k1+k2)，即即k11=k1+k2；在在m2上施加的力上施加的力F2=-k2 1=-k2，即即k21=-k2；在在m3上施加的力为零，即上施加的力为零，即F3=0或或 k31=0。设设x2=1，x1=x3=0，则在则在m2上施加的力上施加的力F2=1(k2+k3)，即即k22=k2+k3；在在m3上施加的力上施加的力F3=-k3 即即k32=-k3；由刚度矩阵的对称性得由刚度矩阵的对称性得 k12=k21=-k2。设设x3=1，x1=x2=0，
6、则在则在m3上施加的力上施加的力F3=1 k3，即即k33=k3；由刚度矩阵的由刚度矩阵的对称性得对称性得 k13=k31=0，k23=k32=-k3。系统振动微分方程系统振动微分方程 刚度系数刚度系数：产生单位位移所需的力，即系产生单位位移所需的力，即系统仅在第统仅在第j个广义坐标上产生单位位移个广义坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第（其他广义坐标位移为零），需要在第i个广义坐标方向所加的力个广义坐标方向所加的力kij。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 例例3.
7、2 3.2 建立三自由度系统的振动微分方程建立三自由度系统的振动微分方程三自由度系统三自由度系统 在质量在质量m1上施加单位力上施加单位力，质量，质量m1、m2和和m3的位移：的位移：x1=1/k1，x2=1/k1，x3=1/k1，即即h11=h21=k31=1/k1；振动振动微分微分方程方程柔度系数柔度系数：单位外力所引起的系统位移：单位外力所引起的系统位移，定，定义系统第义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广个广义坐标上所引起的位移为柔度系数义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。在质量在质量m3上施加单位力上施加单位力，质量，质量m1、m2和和m3的位移：的位移
8、：x1=1/k1，x2=1/k1+1/k2，x3=1/k1+1/k2+1/k3。即柔度系数即柔度系数x1=1/k1，x2=1/k1+1/k2，x3=1/k1+1/k2+1/k3。在质量在质量m2上施加单位力上施加单位力，质量，质量m1、m2和和m3的位移：的位移：x1=1/k1，x2=1/k1+1/k2，x3=1/k1+1/k2，即柔度系数即柔度系数h12=1/k1，h22=k32=1/k1+1/k2，；，；质量质量m1上加一单位力，系统位移如图上加一单位力，系统位移如图(b)。微振动时微振动时：解出解出h 11：按图按图(b)的比的比例例 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由
9、度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系统的振动微分方程建立四自由度系统的振动微分方程柔度系数柔度系数：单位外力所引起的系统位移：单位外力所引起的系统位移，定，定义系统第义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广个广义坐标上所引起的位移为柔度系数义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。弦上四质量弦上四质量 建立广义坐标建立广义坐标xi，坐标原点在系静平衡时坐标原点在系静平衡时各质量的位置。各质量的位置。m1力平衡方程：力平衡方程：即即：弦上四质量弦上四质量 质量质量m2上加一单位力，
10、系统位移如图上加一单位力，系统位移如图(c)。微振动时微振动时：解出解出h 22：按图按图(c)的比的比例例 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系统的振动微分方程建立四自由度系统的振动微分方程柔度系数柔度系数：单位外力所引起的系统位移：单位外力所引起的系统位移，定，定义系统第义系统第j个坐标上作用的单位力在第个坐标上作用的单位力在第i个广个广义坐标上所引起的位移为柔度系数义坐标上所引起的位移为柔度系数 hij。m2力平衡方程：力平衡方程：即即：由结构
11、对称性，可得到其它的柔度系数由结构对称性，可得到其它的柔度系数：振动振动微分微分方程方程第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.1 振动微分方程振动微分方程 例例3.3 3.3 建立四自由度系统的振动微分方程（振动过程弦的张力建立四自由度系统的振动微分方程（振动过程弦的张力T T不变）不变）弦上四质量弦上四质量 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征方程的三种表达形式特征方程的三种表达形式若质量矩阵正定，方程
12、两边若质量矩阵正定，方程两边左乘左乘 M -1:设设 若刚度矩阵正定方程两边若刚度矩阵正定方程两边左乘左乘 K -1:设设 方程方程设设 代入方程代入方程 代入方程代入方程 代入方程代入方程 刚度动刚度动力矩阵力矩阵 柔度动柔度动力矩阵力矩阵 特征方程：特征方程：特征方程：特征方程：特征方程：特征方程：第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量从从任意一个特征方程出发任意一个特征方程出发，获得获得n个特征个特征l l i(i=1,2,n)将每一个特征值代入相应的
13、线性代数方程组，获得对应的特征向量将每一个特征值代入相应的线性代数方程组，获得对应的特征向量Xi:或从下列伴随矩阵的某一列得到特征向量或从下列伴随矩阵的某一列得到特征向量Xi:n个固有圆频率个固有圆频率w w i 2 (i=1,2,n)主振型主振型第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量例例 3-4 已知三自由度系统的质量已知三自由度系统的质量m1=m2=m3=m，弹簧刚度弹簧刚度k1=k2=k3=k4=k。求。求系统的特征值和特征向量。系统的特征值和特征向量
14、。解：解：建立广义坐标如图，振动建立广义坐标如图，振动方程方程特征方程为特征方程为 三自由度系统三自由度系统 展开为展开为 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量例例 3-4特征值为特征值为第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量特征向量特征向量例例 3-4第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动
15、多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量特征向量特征向量例例 3-4节点节点第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 特征值和特征向量特征值和特征向量特征向量特征向量例例 3-4节点节点第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性n自由度系统自由度系统，质量阵和刚度阵是，质量阵和刚度阵是n
16、n矩阵，有矩阵，有n个特征值和特征向量个特征值和特征向量固有圆频率固有圆频率 主振型和振型矩阵主振型和振型矩阵 第第i个主振型个主振型有有i-1个节点个节点 节点节点 n自由度系统自由度系统，有，有n个固有圆频率个固有圆频率w w i 2 (i=1,2,n)n自由度系统自由度系统，有，有n个个主振型主振型 x i(i=1,2,n)，振型矩阵为振型矩阵为第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性刚度动力矩阵刚度动力矩阵特征值特征值特征值之和特征值之和等于刚
17、度动力矩阵对角元素之和等于刚度动力矩阵对角元素之和特征值之积特征值之积等于刚度动力矩阵对应的行列式的值乘等于刚度动力矩阵对应的行列式的值乘(-1)n特征值倒数之和特征值倒数之和等于柔度动力矩阵对角元素之和等于柔度动力矩阵对角元素之和特征值特征值第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性对于第对于第i个特征值和第个特征值和第j个特征向量个特征向量，有，有两边左乘两边左乘X T 得得两式相减两式相减 得得第第i阶主刚度阶主刚度
18、第第i阶主质量阶主质量主振型关主振型关于质量矩于质量矩阵和刚度阵和刚度矩阵正交矩阵正交第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性特征向量的正交性特征向量的正交性振型矩阵振型矩阵 则有则有 正则化的振型矩阵正则化的振型矩阵 正则化振型矩阵的正交性正则化振型矩阵的正交性 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 无阻尼系统的固有特性无阻尼系统的固有特性特征向
19、量的正交性特征向量的正交性例例 3-5 验证例验证例3-4中三自由度系统的中三自由度系统的特征向量的正交性。特征向量的正交性。三自由度系统三自由度系统 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法Rayleigh原理原理 即使假设振型即使假设振型 X 与系统第与系统第 i 个特征向量个特征向量 Xi 有些差别，也有些差别，也可以把上式近似地作为系统第可以把上式近似地作为系统第i 阶固有圆频率的估计值，这就是阶固有圆频率的估计值，这就是Rayleigh原理。原理。特征值问题
20、特征值问题 或或 两边左乘两边左乘X T 得得移项移项 得得Rayleigh商商 若假设振型若假设振型 X 的每一个元素都非零且同号，即它与系统的每一个元素都非零且同号，即它与系统的第的第1 个特征向量个特征向量 X1 接近，就可以接近，就可以Rayleigh商商近似地作为系统近似地作为系统基频的估计值。基频的估计值。估算值高于精确解估算值高于精确解。低频情况下，位移、变形、应力相对较大低频情况下，位移、变形、应力相对较大第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法Ray
21、leigh原理原理 从系统柔度动力矩阵出发，从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题特征值问题为为或或 两边左乘两边左乘X T M 得得移项移项 得得第二种第二种Rayleigh商商 若假设振型若假设振型 X 的每一个元素都非零且同号，即它与系统的每一个元素都非零且同号，即它与系统的第的第1 个特征向量个特征向量 X1 接近，也可用第二种接近，也可用第二种Rayleigh商商近似地作近似地作为系统基频的估计值。为系统基频的估计值。当假设振当假设振 X 相同时，估算值高于精确相同时，估算值高于精确解，但低于解，但低于第一种第一种Rayleigh商的估算值商的估算值。第第第第3 3章章章章 多自由度线性
22、系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法Dunkerley公式公式 根根据据系系统统特特征征值值的的的的特特性性，特特征征值值倒倒数数之之和和等等于于系系统统柔柔度度动动力力矩矩阵阵对角线元素的和（即矩阵对角线元素的和（即矩阵 D 的迹），即的迹），即 当系统质量矩阵为对角阵，当系统质量矩阵为对角阵，当当 时时 从系统柔度动力矩阵出发，从系统柔度动力矩阵出发，特征值问题特征值问题为为隔绝频率隔绝频率 估算值低于精确解估算值低于精确解 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多
23、自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法例例 3-6 用三种公式估算例用三种公式估算例3-4中三自中三自由度系统的基频。由度系统的基频。三自由度系统三自由度系统 Rayleigh原理原理 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法例例 3-6 用三种公式估算例用三种公式估算例3-4中三自中三自由度系统的基频。由度系统的基频。三自由度系统三自由度系统 Rayleigh原理原理 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系
24、统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 基频估算方法基频估算方法例例 3-6 用三种公式估算例用三种公式估算例3-4中三自中三自由度系统的基频。由度系统的基频。三自由度系统三自由度系统 Dunkerley公式公式 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 复特征值（系统具有粘性阻尼复特征值（系统具有粘性阻尼）n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 设设代入方程代入方程由于由于一元一元2n次代数方程，次代数方程，对振动问题，解一般
25、为对振动问题，解一般为系统无阻尼系统无阻尼 系统不振动系统不振动 系统不稳定系统不稳定 系统稳定系统稳定方程方程要使要使 X 有非零解的充要条件为有非零解的充要条件为讨论讨论第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.2 特征值问题特征值问题 振动微分方程振动微分方程 例例 3-10 已知二自由度系统的质量已知二自由度系统的质量m1=m2=m，弹簧刚度弹簧刚度k1=k3=2 k，k2=1.5 k,粘性粘性阻尼系数阻尼系数 c1=c2=2 c。求求系统的特征值。系统的特征值。二自由度系统二自由度系统 设设代入方程，得到频率
26、方程代入方程，得到频率方程一般来说，对振动系统一般来说，对振动系统 4 c 2 8 m k或或复特征值（系统具有粘性阻尼复特征值（系统具有粘性阻尼）第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.3 解耦与主坐标解耦与主坐标 坐标的耦合坐标的耦合动力耦合和动力耦合和静力耦合静力耦合 汽车车体汽车车体简化成作平面运动的刚性杆，简化成作平面运动的刚性杆，c是质心。是质心。广义坐标：广义坐标：x，q q弹性恢复力和惯性力如图。（重力与弹性恢复力和惯性力如图。（重力与弹簧初变形的力已抵消）弹簧初变形的力已抵消）矩阵形式：矩阵形式：力
27、和力矩平衡方程为力和力矩平衡方程为动力耦合或惯性耦合动力耦合或惯性耦合静力耦合或弹性耦合静力耦合或弹性耦合第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.3 解耦与主坐标解耦与主坐标 坐标的耦合坐标的耦合动力耦合和动力耦合和静力耦合静力耦合 广义坐标：广义坐标：x1，q q 1力和力矩平衡方程为力和力矩平衡方程为矩阵形式：矩阵形式：无动力耦合无动力耦合或惯性耦合或惯性耦合有静力耦合有静力耦合或弹性耦合或弹性耦合若使若使k2l2=k1l1,则既无则既无动力耦合动力耦合又无又无静力耦合静力耦合结论结论耦合与否完全取决于耦合与否完
28、全取决于坐标的选取。坐标的选取。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.3 解耦与主坐标解耦与主坐标 解耦解耦 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 方程方程设设两边分别左乘两边分别左乘uT 得得由振型矩阵正交性由振型矩阵正交性:代入方程：代入方程：或或:主坐标主坐标 使振动微分方程解耦的坐标使振动微分方程解耦的坐标 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.3 解耦与主坐标解耦与主坐标 例例 3-7 使例使例3-4的三自由度系统振动的三自
29、由度系统振动微分方程解耦，并求主坐标。微分方程解耦，并求主坐标。振动微分方程为振动微分方程为 三自由度系统三自由度系统 设设两边分别左乘两边分别左乘uT 得得由振型矩阵正交性由振型矩阵正交性:代入方程：代入方程：主坐标主坐标 例例 3-8 例例3-4的三自由度系统质量的三自由度系统质量m1=m2=m3=m，弹簧刚度弹簧刚度k1=k2=k3=k4=k。当系统的位移比为当系统的位移比为1,2,3、1,2,3和和1,2,3时，时，各各阶主振型的贡献阶主振型的贡献如何？如何？三自由度系统三自由度系统 设设第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度
30、线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动展开定理展开定理系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。系统任一位形能用系统主振型的线性组合表示。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动方程方程 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 设设两边分别左乘两边分别左乘 得得代入方程代入方程或或:解耦后方程的解解耦后方程的解 原方程的解原方程的解 无阻尼系统对初始扰动的响应无阻尼系统对初始扰动的响应 振型分析（模态分析）振型分析（模态分析）:把多自由度系统的振动把多自由度系统的振动微分方程组微分方程组变换成变
31、换成互不相互不相关的方程关的方程来求得系统响应的分析过程称为振型分析或模态分析。来求得系统响应的分析过程称为振型分析或模态分析。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动例例 3-9 当例当例3-4的三自由度系统初始速度为的三自由度系统初始速度为零，初始位移为零，初始位移为x1 4mm，x2 x3 0，求求系统自由振动的规律。系统自由振动的规律。振动微分方程为振动微分方程为 三自由度系统三自由度系统 响应为响应为 初始速度为零初始速度为零 初始位移：初始位移：x1 4mm，x2 x3 0第第第第3
32、3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动例例 3-9 当例当例3-4的三自由度系统初始速度为的三自由度系统初始速度为零，初始位移为零，初始位移为x1 4mm，x2 x3 0，求求系统自由振动的规律。系统自由振动的规律。三自由度系统三自由度系统 结论：结论：单点单点的初始扰动的初始扰动不能不能激起多自由度系统的激起多自由度系统的纯模态纯模态。无阻尼自由振动特性无阻尼自由振动特性 无阻尼的多自由度系统受初始扰动后无阻尼的多自由度系统受初始扰动后 一般不作简谐运动一般不作简谐运动 三自由度系统三自由度系统 例例 3
33、-9 当例当例3-4的三自由度系统初始速度为的三自由度系统初始速度为零，初始位移为零，初始位移为x1 4mm，x2 x3 0，求求系统自由振动的规律。系统自由振动的规律。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动无阻尼自由振动特性无阻尼自由振动特性 三自由度系统三自由度系统 例例 3-10 当例当例3-4的三自由度系统初始速度为的三自由度系统初始速度为零，初始位移为零，初始位移为x2 1.4142 mm，x2 x3 1.0 mm，求系统自由振动的规律。求系统自由振动的规律。第第第第3 3章章章章 多
34、自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动无阻尼自由振动特性无阻尼自由振动特性 三自由度系统三自由度系统 例例 3-10 当例当例3-4的三自由度系统初始速度为的三自由度系统初始速度为零，初始位移为零，初始位移为x2 1.4142 mm，x2 x3 1.0 mm，求系统自由振动的规律。求系统自由振动的规律。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动无阻尼的多自由度系统受初始扰动后无阻尼的多自由度系统受初始扰动后,只在只在某些特殊的
35、初始条件某些特殊的初始条件下作简谐运动。下作简谐运动。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰动的响应 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 方程方程解耦的方程解耦的方程比例阻尼比例阻尼 阻尼矩阵阻尼矩阵 设设即即特征方程为特征方程为则有则有第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰
36、动的响应 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 比例阻尼比例阻尼 响应响应方程方程阻尼矩阵阻尼矩阵 2n个常数个常数由由初始位移和初始速度初始位移和初始速度求得。求得。或满足或满足 设设 第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰动的响应 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 一般阻尼一般阻尼 方程方程设设 质量矩阵和刚度矩阵可以解耦，阻尼矩阵经坐标变换后为质量矩阵和刚度矩阵可以解耦，阻尼矩阵经坐标变换后为 一般一般当阻尼较小，或当阻尼
37、较小，或可可置非对角元为零置非对角元为零。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰动的响应 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 一般阻尼，状态空间法一般阻尼，状态空间法 方程方程设设方程降阶为方程降阶为一般矩阵一般矩阵 A A 非奇异，逆矩阵存在非奇异，逆矩阵存在或或方程可改写为方程可改写为其中，其中，解为解为 z z0 0 由初始条件确定。由初始条件确定。第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线
38、性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰动的响应 一般阻尼，状态空间法一般阻尼，状态空间法 降阶的方程为降阶的方程为则有则有设设设矩阵设矩阵 N 的特征值矩阵和正则化的特征向量矩阵分别为的特征值矩阵和正则化的特征向量矩阵分别为或或解为解为 y y 的解的解第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰动的响应 一般阻尼，状态空间法一般阻尼，状态空间法 例例 3-12
39、 已知已知求系统的响应求系统的响应解解特征值问题为特征值问题为或或展开展开解得解得第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.4 自由振动自由振动具有粘性阻尼的系统对初具有粘性阻尼的系统对初始扰动的响应始扰动的响应 一般阻尼，状态空间法一般阻尼，状态空间法 例例 3-12无阻尼系统简谐激励无阻尼系统简谐激励稳态响应稳态响应第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动方程方程 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 设设代入方程代
40、入方程消去不恒等于零的项消去不恒等于零的项sin w w t两边左乘两边左乘 n 维向量可以用一组正交基（维向量可以用一组正交基（正则化的主振型正则化的主振型）的线性组合表示）的线性组合表示第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动无阻尼系统受简谐激励无阻尼系统受简谐激励全响应全响应方程方程 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 其中其中R i 与与j j i 由由初始条件决定。初始条件决定。粘性阻尼系统受简谐激励粘性阻尼系统受简谐激励第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统
41、的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 方程方程稳态响应稳态响应设设 代入方程并消去代入方程并消去 项得：项得：定义定义 为阻抗矩阵，则有为阻抗矩阵，则有:振动微分方程振动微分方程 例例 3-13 已知二自由度系统的质量已知二自由度系统的质量m1=m2=m，弹簧刚度弹簧刚度k1=k3=2 k，k2=1.5 k,粘性阻粘性阻尼系数尼系数 c1=c2=2 c，F1=F0ei w w t。求求系统的系统的稳态响应稳态响应。二自由度系统二自由度系统 设设代入方程，得到系统的阻抗矩阵代入方程，得到系统的阻抗矩阵粘性阻尼系统受简
42、谐激励粘性阻尼系统受简谐激励第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动阻抗矩阵的逆为：阻抗矩阵的逆为：例例 3-13 已知二自由度系统的质量已知二自由度系统的质量m1=m2=m，弹簧刚度弹簧刚度k1=k3=2 k，k2=1.5 k,粘性阻粘性阻尼系数尼系数 c1=c2=2 c，F1=F0ei w w t。求求系统的系统的稳态响应稳态响应。二自由度系统二自由度系统 粘性阻尼系统受简谐激励粘性阻尼系统受简谐激励第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自
43、由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动阻抗矩阵的逆为：阻抗矩阵的逆为：系统的稳态响应为：系统的稳态响应为：例例 3-14 已知二自由度系统的质量已知二自由度系统的质量m1=m2=m，弹簧刚度弹簧刚度k1=k3=2 k，k2=1.5 k,粘性阻粘性阻尼系数尼系数 c1=c2=2 c，F1=F10 sin w w t，F2=F20 cos w w t。求求系统的稳态响应系统的稳态响应。二自由度系统二自由度系统 粘性阻尼系统受简谐激励粘性阻尼系统受简谐激励第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动多
44、自由度系统在简谐激励下稳态响应特性多自由度系统在简谐激励下稳态响应特性第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动 多自由度系统在简谐激励下稳态响应为多自由度系统在简谐激励下稳态响应为简谐振动简谐振动，振动频，振动频率与激励力频率相同；率与激励力频率相同；放大因子随无量纲激励频率变化的规律是：放大因子随无量纲激励频率变化的规律是：共振、反共振、共振共振、反共振、共振交替出现。交替出现。动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度
45、线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动振动微分方程振动微分方程设方程的一组特解为设方程的一组特解为代入方程代入方程,消去不恒等于零的简谐项后得消去不恒等于零的简谐项后得 当单自由度系统在简谐激励下，振动幅值很大，可附当单自由度系统在简谐激励下，振动幅值很大，可附加一个系统减小原系统的振动，附加系统称为加一个系统减小原系统的振动，附加系统称为动力吸振器。动力吸振器。无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动无阻尼无阻尼动力吸振器动力吸振器设计原则：
46、设计原则：附加系统固有圆频率附加系统固有圆频率与系统与系统激励力频率激励力频率相等。相等。无阻尼无阻尼动力吸振器动力吸振器适用范围：系统受适用范围：系统受单频激励单频激励。无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动振动微分方程振动微分方程设方程的一组特解为设方程的一组特解为代入方程代入方程,消去不恒等于零的简谐项后得消去不恒等于零的简谐项后得有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线
47、性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器设设无量纲化无量纲化动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器动力吸振器动力吸振器第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振
48、动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.5 强迫振动强迫振动有阻尼动力吸振器有阻尼动力吸振器有阻尼有阻尼动力吸振器动力吸振器设计步骤：设计步骤：有阻尼有阻尼动力吸振器动力吸振器适用范围：系统受适用范围：系统受较宽频率范围的激励力较宽频率范围的激励力。1 1、对已知系统，根据工程上的需要选取一个可实现的、对已知系统，根据工程上的需要选取一个可实现的m 2 值值2 2、由按下式求最优的频率比，并计算附加系统的刚度系数、由按下式求最优的频率比，并计算附加系统的刚度系数k 2 ：3 3、计算最优的阻尼比：、计算最优的阻尼比：4 4、用下式计算，估算原系统的响应：、用下式计算，估算原系统的响
49、应：例例 已知：电机的转速为已知：电机的转速为1500r/min，由于转子不平衡使机壳由于转子不平衡使机壳 发生较大的振动，为减少机壳的振动，机壳上安发生较大的振动，为减少机壳的振动，机壳上安 装数个如图的动力减振器，该减振器由一钢制圆装数个如图的动力减振器，该减振器由一钢制圆 截面弹性杆和两个安装在杆两端重块组成，杆的截面弹性杆和两个安装在杆两端重块组成，杆的 中部固定在机壳上，重块到中点的距离中部固定在机壳上，重块到中点的距离l l可用螺杆可用螺杆 来调节，重块质量为来调节，重块质量为m=5kg，圆杆的直径圆杆的直径D=20mm。问：重块距中点的距离问：重块距中点的距离l 应等于多少时减振
50、器的减振应等于多少时减振器的减振 效果最好。效果最好。解：解：电机机壳受迫振动的角频率为电机机壳受迫振动的角频率为螺杆的刚度系数螺杆的刚度系数k k可由材料力学公式计算可由材料力学公式计算 有有其中其中 是螺杆截面惯性矩是螺杆截面惯性矩是材料的弹性模量是材料的弹性模量l为悬臂杆的杆长为悬臂杆的杆长减振器自身的固有频率为减振器自身的固有频率为令令解得杆长解得杆长无阻尼系统无阻尼系统第第第第3 3章章章章 多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动多自由度线性系统的振动 3.6 非周期激励下的响应非周期激励下的响应方程方程 n个自由度无阻尼系统个自由度无阻尼系统 设设 代入