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1、第三章第三章 多自由度系统的振多自由度系统的振动动主要内容：v多自由度系统动力学方程的建立；v多自由度系统的固有频率和模态；v频率方程的零根和重根情形；v多自由度系统的响应。kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。 引言k2c2m车车m人人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车
2、与车轮、车轮与地面之间的相互影响m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？3.1 多自由度系统运动微分方程一、动静法 与单自由度系统类似，我们仍然可以用牛顿第二定律或者达朗贝尔原理，建立各质点的动力平衡方程，先看下面的例子。例1：试建立下图所示弹簧质量系统的动力学方程。1、刚度法 解：分别取出二个质点的受力图，如下图11112121()( )m xk xkxxP t 22212322()( )m
3、xkxxk xP t 根据达朗贝尔原理，有把两个方程并到一起，写成矩阵形式有1221111223222200kkkmxxPkkkmxxP 1x2x1( )Ft2( )Ft1m2mR10FR20FI11 1( )F tmx I22 2( )F tm xR1I1 1FmxR2I22Fm x1m2m1( )F t2( )FtR1P1FFR2P2FF1m2m1x2x1m2mR1EFR2EF例2：以静力平衡位置为基准，建立图示系统的运动微分方程。R1R1IR1ER1P0FFFFR2R2IR2ER2P0FFFF11x 20 x 11k21k10 x 21x 12k22kR1I1 1Fm xR2I22Fm
4、xR1P1FF R2P2FF R1E111122Fk xk xR2E211222Fk xk xR1R1IR1ER1P1 111 112210FFFFm xk xk xFR2R2IR2ER2P2221 122220FFFFm xk xk xF于是得运动微分方程即111112112221222200mxkkxFmxkkxF写成矩阵形式2221 12222m xk xk xF1 111 11221m xk xk xF刚度系数可用结构力学方法求得，注意其物理意义。2、柔度法 对某些系统，其刚度矩阵的元素可能不太容易求得，而其柔度系数相对来说比较容易求得，而刚度系数和柔度系数之间具有一定的关系，这时我们
5、可以用柔度法求解。 柔度法的思想是将惯性力作为一种外力，将系统在任何时刻的位移都看作是由外力和惯性力共同产生的，于是我们可以想办法求系统的位移，得到位移方程。例1：图示两自由度简支梁，不计梁的质量，试建立其动力学方程。已知梁的弯曲刚度为EIij柔度系数，其物理意义为：对系统的第j个广义坐标方向施加一个单位力时，在第i个广义坐标方向产生的位移。解：用柔度法1111 1112222()()xm xPm xP2211 1122222()()xm xPm xP利用材料力学公式或结构力学图乘法有331122122187486486llEIEI，动力学方程为331111222208787048678486
6、78( )( )xmxP tllxmxP tEIEI 例2：试建立图示结构的运动方程。解： 取图示的位移为未知量1x2x用柔度法11111221Pxmxmx22112222 Pxmxmx其中31123lEI32248lEI3122116lEI4124PqlEI425384PqlEI写成矩阵形式，有341122323016483103845xxmlqlxxEImEI llEIEI( )q tmm二、Lagrange方程方法 将平衡位置取作广义坐标的零值，则广义坐标也表示系统相对平衡位置的偏移。当系统在平衡位置附近作微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设势能V在平衡位置处也取零值，将V在平衡位置附
7、近展成泰勒级数，只保留广义坐标的二级微量，导出：1112nnijijijVk x x 20ijijVkx x ( ,1,2, )i jn ijjikk 显然有 只讨论系统的稳定平衡状态时，势能在平衡位置处取孤立极小值，则势能表达式为广义坐标的正定二次型。 设系统受定常约束，其动能T为广义速度的二次齐次函数1112nnijijijTm x x 除非广义速度全部为零，动能均应为正实数，因此动能表达式为广义速度的正定二次型。 12TVx Kx 12TTx Mx 动能和势能还可以写成如下的矩阵形式显然，质量矩阵为对称正定方阵，以后可以知道，刚度矩阵为对称的半正定矩阵。 拉格朗日函数设iQ为与广义坐标1
8、 2(, , )ix in对应的非保守力则有LTVddiiiLLQtxx (1,2, )in 拉格朗日方程将动能和势能代入，导出多自由度系统的动力方程1()nijjijjijm xk xQ (1,2, )in 例1：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。2211221122Tm xm x2221121232111()222Vk xkxxk x解：系统的动能和势能为222221122112123211111()22222L T Vm xm xk xk xxk x iiidLLQdtxx 代入Lagrange方程得1221111223222200kkkmxxPkkkmxxP 1111212
9、1()( )m xk xk xxP t 22212332()( )m xk xxk xP t 1m1k2k2mlx例2：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。解：选图示的广义坐标221211()22Tm xmxl 2212211(1cos )22Vk xk xm gl代入拉格朗日方程，注意此时没有非保守力，得12212()()0mmxm lkkx2222sin0m lxm lm gl微小振动sin线性化122122222()()00mm xm lkkxm lxm lm gl即1221222220000mmm lkkxxm lm lm gl 例3：图示的多刚性杆悬挂系统作微幅摆动，试建立
10、其运动微分方程组。A12BCmlml解：选图示的广义坐标22222211212222221212111111222122221221362mlmlTmlmllmlmlml 11212(1cos)(1cos)(1cos)223(1cos)(1cos)22llVmgmg lmglmgl代入拉格朗日方程，得221212212243sin0322sin0232mlmlmglmlmlmgl将其线性化后为12112298303320glgl即11228390032030gl 1l2lMFOCaAB1k2kOC1k2kx例4：建立图示汽车底盘模型的动力学方程，假设车身的刚性杆AB长为l，质量为m，绕质心的转
11、动惯量为J。221()2Tm xaJ2211221()()2Vk xlkxl解：选图示的广义坐标代入拉格朗日方程，得2221 12 22 21 12 21 112Mk lk lk lk lJmamaxxFk lk lkkmam 讨论：、参考点为杆的质心，令0a 则：221 12 22 21 12 21 11200JMk lk lk lk lmxxFk lk lkk 2、参考点特殊位置，设2 21 1=k lk l则：2221 12 21200Mk lk lJmamaxxFkkmam 可见动力方程组的形式与广义坐标的选取有着密切的关系。思考：两个矩阵的非主对角元素为零意味着什么？三、耦合与坐标变
12、换矩阵中非零的非对角元素称为耦合项质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合以两自由度系统为例112200mMm 不存在惯性耦合11122122mmMmm11122122kkKkk11122122mmMmm存在惯性耦合如果系统仅在第一个坐标上产生加速度0, 021xx 000011112211xmxmm 1211111222112110 xmxmxmmmm 可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力。同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢
13、复力；出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力。耦合的表现形式取决于坐标的选择。问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？212122112122110000PPxxkkxxmm 即：若能够，则有：1111111Pxkxm 2222222Pxkxm 方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：XTY其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：MXKXP那么在坐标Y 下的运动微分方程为：TTTT MT
14、YT KTYT P如果恰巧Y 是主坐标：TT MTTT KT对角阵这样的T 是否存在？如何寻找？四、影响系数法和系统的特性矩阵一般说来，一个多自由度系统的动力平衡方程均可写成如下的形式1()nijjijjijm xk xQ(1,2, )in写成矩阵形式 MxKxQ刚度形式或者PMxxQ 柔度形式0Dxx令动力方程中Q=0，得到保守系统自由振动的动力学方程。其中 矩阵称作系统的动力矩阵，D不是对称矩阵。DM0MxKx0Mxx或式中1K上式中 ( )ixx()ijMm()ijKk广义坐标列阵 质量矩阵(Mass Matrix) 刚度矩阵(Stiffness Matrix) ()ij柔度矩阵(Fle
15、xibility Matrix) 动力学方程有明确的物理意义，既弹性恢复力 Kx-，惯性力Mx与非保守力Q保持平衡 考虑静变形的特殊情况，令 0 x 1nijjijk xQijk：使系统仅产生1jx 时，沿ix坐标施加的外力 考虑特殊情况， 0 x 1nijjijm xQ：使系统仅产生1jx 时，沿ix坐标施加的外力 ijm在MxxQ中令0 x 1nijjijQx：在系统中仅令1jQ 时，沿ix方向产生的位移。ij 在明白这些元素的物理意义之后，有时我们可以先写出动力方程的形式，然后想法求其中的这些元素，这种方法也称作是影响系数法。比如此例，先只考虑静态，令1210TTxx得1112kkk21
16、2kk 1201TTxx令122kk 2223kkk有122223kkkKkkk于是得到刚度矩阵只考虑动态，令1210TTxx111mm210m令1201TTxx120m222mm得质量矩阵1200mMm因为此时12TQPP故有动力学平衡方程MxKxQ即1221111223222200kkkmxxPkkkmxxP例1：图示两自由度系统，不计弹簧和摆长的质量，试建立下图所示混合摆的动力学方程。解：选定图示的广义坐标先求刚度系数令1,0 x11121221() 10kkkkkk 令0,1x求质量系数令1,0 x1112122122()=mmmxmmmm x l m l12122222() 00si
17、nkkkkm glm gl令0,1x运动微分方程为122222222mmlm lmmllm l 2ml1221222220000mmm lkkxxm lm lm gl 12200kkKm gl122222mmm lMm lm l求： 系统的运动学方程 例2：每杆质量m，杆长度l，水平弹簧刚度k，弹簧距离固定端 a。12kaO1O221、解：以为坐标令：令：1102则需要在两杆上施加力矩11k21k分别对两杆 O1、O2 求矩：21121kamglk221kak1102aO1O2mgmg1 ka11k21k令：0112则需要在两杆上施加力矩12k22k分别对两杆 O1、O2 求矩：22221ka
18、mglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k刚度矩阵：22221212mglkakaKkamglka 令：11 02 2111 113mJml021m则需要在两杆上施加力矩11m21m11 02 aO1O2mgmg11m21mk则需要在两杆上施加力矩12m22m2222213mJml012 m令：01 12 质量矩阵：22103103mlMml 01 12 aO1O2mgmg12m22mk运动学方程：2221122222110032110032mlmglkakamlkamglka 例3：m1)(1tP2k,EI l1EI1k)(2tPm21EI,EI l,EI l,EI
19、 l)(1ty)(2ty)(22tym )(1tP)(2tP)(1ty)(2ty)(11tym 11k21k112k22k1111112112221222200mykkyPmykkyP MyKyP3111248/kkkEI l321224/kkEI l 312224/kkEI l 322224/kkEI l解：设水平、竖向位移为x、y，分别向右、向下为正。例4：试分别用求柔度系数法和刚度系数法建立图示结构的运动方程。各杆长度为l，抗弯刚度为EI。11M00mMmFIxFIy+Py(t)Px(t)mPx(t)Py(t)用柔度法MxxP3113lEI312212lEI32243lEI整理得到以矩阵
20、方程表示的动力学方程1112111221222122( )0+( )0 xyP tmxxP tmyy 2M1323386lEI刚度法取质量为隔离体，受力图如右图1112212200 xyPkkmxxPkkmyy 其中的刚度系数可类似位移法求得1M2M12187EIMl22307EIMl32127EIMl4267EIMl12113487MMEIkll1213187MEIkll 3223127MEIkll34123187MMEIkll 注：求刚度系数还是柔度系数，取决于结构的刚度系数和柔度系数哪个更便于求解。特性矩阵的性质对称性TMMTKKTijjikkijjimmijji反力互等定理位移互等定理反力互等定理正定性1111022nnTijijijTm q qq Mq 等号仅在120nqqq时成立M正定1111022nnTijijijVk q qq Kq等号在iq不全为零时也能成立K半正定动能势能势能还可以用外力功代替1110222TTTVq QQQQQ等号仅在120nQQQ时成立正定