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1、多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动多自由度系统振动第四章第四章第四章第四章1 1kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。缺点：模型粗糙，缺点：模型粗糙，没有没有考虑考虑人与车人与车、车与车轮车与车轮之间之间的相互影响。的相互影响。优点：模型简单；优点：模型简单；分析：分析：人与车人与车、车与车轮车与车轮、车轮与地面车轮与地面之间的运动存在耦合。之
2、间的运动存在耦合。多自由度系统振动多自由度系统振动2023/4/52k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，优点：模型较为精确，考虑考虑了了人与车人与车之间的耦合；之间的耦合；缺点：缺点：没有没有考虑考虑车与车轮车与车轮之间的相互影响。之间的相互影响。多自由度系统振动多自由度系统振动2023/4/53m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。虑，并考虑各自的
3、弹性和阻尼。优点：分别考虑了优点：分别考虑了人与车人与车、车与车与车轮车轮之间的相互耦合，模之间的相互耦合，模型较为精确型较为精确.问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2023/4/54教学内容教学内容多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受
4、迫振动多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统多自由度系统振动多自由度系统振动2023/4/55作用力方程作用力方程作用力方程作用力方程刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换耦合与坐标变换耦合与坐标变换耦合与坐标变换多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程多自由度系统振动多自
5、由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/56作用力方程作用力方程几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。不计摩擦和其他形式的阻尼。不计摩擦和其他形式的阻尼。试建立系统的运动微分方程。试建立系统的运动微分方程。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/57解：解：的原点分的原点分别别取在取在 的静平衡位置。的静平衡位置。建立坐标：建立坐标：设设某一瞬某一瞬时时：上分上分别别有位移有位移加速度加速度受力分析
6、：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/58建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/59例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的
7、运动微分方程试建立系统的运动微分方程。外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/510解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移设设某一瞬某一瞬时时：角加速度角加速度受力分析：受力分析：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/511建立方程：建立方程：矩阵形式：矩阵形式：坐标间的耦合项坐标间的耦合项 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/512多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振
8、动在数学描述上相同。如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/513小结：小结：可统一表示为：可统一表示为：例例1：例例2：作用力方程作用力方程位位移移向向量量加加速速度度向向量量质质量量矩矩阵阵刚刚度度矩矩阵阵激激励励力力向向量量多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程/作
9、用力方程作用力方程若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 2023/4/514n 个自由度系统个自由度系统:多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列n维广义坐标列向量维广义坐标列向量2023/4/515刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵回顾：回顾：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程等等效效刚刚度度：使使系系统统只只在在选选定定的的坐坐标标上上产产生生单单位位位位移移而而需需要要在在此此坐
10、坐标标方方向向上上施施加加的的力力，叫叫做做系系统统在这个坐标上的等效刚度。在这个坐标上的等效刚度。等等效效质质量量：使使系系统统只只在在选选定定的的坐坐标标上上产产生生单单位位加加速速度度而而需需要要在在此此坐坐标标方方向向上上施施加加的的力力，叫叫做做系系统在这个坐标上的等效质量统在这个坐标上的等效质量。2023/4/516刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定M、K 该如何确定？该如何确定？作用力方程：作用力方程：先讨论先讨论 K加速度为零加速度为零假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施加于系统施加于系统多自
11、由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡2023/4/517作用力方程：作用力方程：假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移.即即：代入代入：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/518所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列.（i=1n）：
12、在第在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力.结论结论结论结论：刚刚刚刚度矩度矩度矩度矩阵阵阵阵 K K 中的元素中的元素中的元素中的元素 k kij ij 是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第 j j 个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力.多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/519结论结论结论结论：刚刚刚刚度矩度矩度矩度矩阵阵阵阵 K K
13、中的元素中的元素中的元素中的元素 k kij ij 是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第是使系统仅在第 j j 个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生个坐标上产生单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第单位位移而相应于第 i i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力.多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定2023/4/520作用力方程：作用力方程：讨论讨论 M 假设系统受到外力作用的
14、瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移.多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 假假设设作作用用于于系系统统的的是是这这样样一一组组外外力力：它它们们使使系系统统只只在在第第 j 个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度个坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度.2023/4/521这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 结论结论结论结论：质质质质量矩量矩量矩量矩阵阵阵阵 M M 中的元素中的元素中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第是使系
15、统仅在第是使系统仅在第 j j 个坐标上产生单个坐标上产生单个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定2023/4/522 质质量矩量矩阵阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位加速度而相应于第生单位加速度而相应于
16、第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力.mij、kij又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出系系统统质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩矩阵阵K，从而建立作用力方程，这种方法称为，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法影响系数方法.多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚刚度矩度矩阵阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产个坐标上产生单位位移而相应于第生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上
17、所需施加的力.2023/4/523例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第一列2023/4/
18、524例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程刚刚度矩度矩阵阵：使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动.2023/4/525例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)
19、m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列令令2023/4/526例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解
20、：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动.令令刚刚度矩度矩阵阵：2023/4/527例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统
21、的动力学方程使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动.在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列令令2023/4/528例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程使使m3产生单位
22、位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力：保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力：保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力：只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动令令刚刚度矩度矩阵阵：2023/4/529例：写出例：写出 M、K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 令令令令刚刚度矩度矩阵阵：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/530只考虑动态只考虑动态 令令m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m
23、3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：在三个质量上施加力在三个质量上施加力能够使得能够使得系统质量矩阵的第一列系统质量矩阵的第一列m1产产生生单单位位加加速速度度的的瞬瞬时时，m2和和 m3尚尚 没没有反应有反应2023/4/531只考虑动态只考虑动态 令令m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力
24、学方程只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零.所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：所需施加的力：m1产产生生单单位位加加速速度度的的瞬瞬时时，m2和和 m3尚尚 没没有反应有反应.质质量矩量矩阵阵：2023/4/532同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令令2023/4/533同理同理m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程令
25、令令令2023/4/534令令有：有：令令有：有：令令有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)质质量矩量矩阵阵：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/535运动微分方程：运动微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程外力外力列阵列阵矩阵形式：矩阵形式：2023/4/536例：例：求：求：以微小以微小转转角角为为坐坐标标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程.每杆每杆质质量量 m杆杆
26、长长度度 l水平水平弹弹簧簧刚刚度度 k弹弹簧距离固定端簧距离固定端 akaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程双刚体杆双刚体杆2023/4/537解：解：令：令：则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩分分别对别对两杆两杆 O1、O2 求矩：求矩：令：令：则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩分分别对别对两杆两杆 O1、O2 求矩：求矩：aO1O2aO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/538刚刚度矩度矩阵阵：aO1O2aO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/
27、多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/539令：令：则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩令：令：则则需要在两杆上施加力矩需要在两杆上施加力矩质质量矩量矩阵阵：aO1O2kaO1O2k多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/540运运动动学方程：学方程：kaO1O2多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程2023/4/541小结：小结：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚刚度矩度矩阵阵 K 中的元素中的元素 kij 是
28、使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。质质量矩量矩阵阵 M 中的元素中的元素 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。个坐标上所需施加的力。又又分分别别称称为为质质量量影影响响系系数数和和刚刚度度影影响响系系数数。根根据据它它们们的的物物理理意意义义可可以以直直接接写写出出矩矩阵阵 M 和和 K，从从而而建建立立作作用用力力方方程程，这这种种方法称为方法称为影响系数方法。影响系数方法。刚度矩阵和质量矩阵刚度
29、矩阵和质量矩阵第第j个坐标产个坐标产生单位位移生单位位移刚度矩阵第刚度矩阵第j列列系统刚度矩系统刚度矩阵阵j=1n确定确定第第j个坐标单个坐标单位加速度位加速度质量矩阵第质量矩阵第j列列系统质量矩系统质量矩阵阵j=1n确定确定2023/4/542随堂随堂测试测试：多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 两个均匀两个均匀刚刚性杆如性杆如图图所示，具有相同所示，具有相同长长度但不同度但不同质质量，使用影响系数法求系量，使用影响系数法求系统统运运动动方程。方程。杆杆1、杆杆2绕绕其其固固定定点点的的惯惯性矩分性矩分别为别为：提示：提示：2023/4/5432023/4/544多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：使用影响系数法使用影响系数法计计算系算系统刚统刚度度阵阵（1）如如图图（1）所所示示，令令 ，对对杆杆1和和杆杆2分分别别需要施加弯矩需要施加弯矩 ，分分别为别为：2023/4/545多自由度系统振动多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程解：解：（2）如如图图（2）所所示示，令令 ，对对杆杆1和和杆杆2分分别别需要施加弯矩需要施加弯矩 ，分分别为别为：质质量矩量矩阵阵：刚刚度矩度矩阵阵：运运动动微分方程：微分方程：2023/4/546