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1、第四第四节节空间的曲面与空间的曲面与曲线曲线2022/10/161第1页，此课件共54页哦一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:1:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹轨迹方程方程.2022/10/162第2页，此课件共54页哦如果曲面如果曲面 S 与方程与方
2、程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F(x,y,z)=0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程,曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状(必要时需作图必要时需作图).定义定义12022/10/163第3页，此课件共
3、54页哦故所求方程为故所求方程为方程方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示上表示上(下下)半球面半球面.例例1 求动点到定点求动点到定点二、一些常见的曲面二、一些常见的曲面1.球面球面2022/10/164第4页，此课件共54页哦解解:配方得配方得此方程表示此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.的曲面的曲面.（课本（课本 例例1）表示表示怎样怎样半径为半径为的球面的球面.球心为球心为 例例2 研究方程
4、研究方程2022/10/165第5页，此课件共54页哦定义定义2 一条平面曲线一条平面曲线2.2.旋转曲面旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面的旋转曲线叫做旋转曲面的母线母线.例如例如:2022/10/166第6页，此课件共54页哦故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:则有则有则有则有该点转到该点转到建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程
5、:2022/10/167第7页，此课件共54页哦求旋转曲面方程时求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐则该坐标轴标轴对应的变量不变对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？2022/10/168第8页，此课件共54页哦的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕z z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方例例3 试建立顶点在原点试
6、建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为2022/10/169第9页，此课件共54页哦分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转绕绕 z 轴旋转轴旋转这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为例例4 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线(旋转双叶双曲面）旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）旋转单叶双曲面）（习题（习题6-4 3（2）2022/10/1610第10页，此课件共54页哦3.3.柱面柱面引例引例 分析方程分析方程表
7、示怎样表示怎样的坐标也满足方程的坐标也满足方程解解:在在 xoy 面上面上表示圆表示圆C,沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆故在空间故在空间过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,表示表示圆柱面圆柱面在圆在圆C上任取一点上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面的曲面?2022/10/1611第11页，此课件共54页哦平行平行定定直线直线并沿并沿定曲线定曲线 C 移动的移动的直线直线 l 形成形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面.表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母
8、线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.z 轴的轴的平面平面.表示母线平行于表示母线平行于(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.定义定义3 2022/10/1612第12页，此课件共54页哦柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3:H(z,x)=0.母线母线柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1:F(x,y)=0.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线
9、l2:G(y,z)=0.母线母线一般地一般地,在三维空间在三维空间2022/10/1613第13页，此课件共54页哦三、二次曲面三、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍.其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)2022/10/1614第14页，此课件共54页哦方法一方法一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，是用坐标面和平行
10、于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状这种方法叫做状这种方法叫做截痕法截痕法怎样了解三元方程怎样了解三元方程所表示的曲面的形状呢所表示的曲面的形状呢?研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法和伸缩变形截痕法和伸缩变形 方法二方法二是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图是所谓的伸缩变形的方法，即通过把空间图形伸缩变形形成新的曲面的方法形伸缩变形形成新的曲面的方法2022/10/1615第15页，此课件共54页哦椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的
11、两直线.椭圆锥面椭圆锥面(Elliptic Cone)椭圆锥面也可由圆锥面经椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或或 y 方向的方向的伸缩变换伸缩变换得到得到.2022/10/1616第16页，此课件共54页哦(1)范围：范围：(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆1.椭球面椭球面(Ellipsoid)2022/10/1617第17页，此课件共54页哦与与的交线为椭圆：的交线为椭圆：(4)当当 ab 时为时为旋转椭球面旋转椭球面;同样同样的截痕的截痕及及也为椭圆也为椭圆.当当abc 时为时为球面球面.(3)截痕截痕:为正数为正数)2022/10/1618第18页，此课件共54页哦2.2.单叶双
12、曲面单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）平面平面 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:2022/10/1619第19页，此课件共54页哦虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）时时,截痕为截痕为时时,截痕为截痕为(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;相交直线相交直线:双曲线双曲线:2022/10/1620第20页，此课件共54页哦2.单叶双曲面单叶双曲面 把把xOz面上的双曲线面上的双曲线 绕绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面轴旋转，得旋转单叶双曲面 .把此旋转曲面沿把此旋转曲面沿y轴方向伸
13、缩轴方向伸缩 倍，倍，即得单叶双曲面即得单叶双曲面.2022/10/1621第21页，此课件共54页哦双曲线双曲线椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线单叶双曲面单叶双曲面:系数二项正系数二项正,一项为负一项为负.双叶双曲面双叶双曲面:系数一项正系数一项正,二项负二项负.图形图形3.双叶双曲面双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正数）是正数）2022/10/1622第22页，此课件共54页哦4.椭圆抛物面椭圆抛物面 xyz把把xOz面上的双曲线面上的双曲线 绕绕z轴旋转，所得曲面叫轴旋转，所得曲面叫做旋
14、转抛物面做旋转抛物面.此旋转曲面沿此旋转曲面沿y轴方向伸缩轴方向伸缩 倍，即得椭圆抛物面倍，即得椭圆抛物面.2022/10/1623第23页，此课件共54页哦5.双曲抛物面双曲抛物面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.2022/10/1624第24页，此课件共54页哦四、空间曲线的方程四、空间曲线的方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组例例5 5 方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C.C1.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程2022/10/1625第25页，此课件共54页哦表
15、示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.例例6 6 方程组方程组2022/10/1626第26页，此课件共54页哦会画草图会画草图2022/10/1627第27页，此课件共54页哦2.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x,y,z表示成参数表示成参数t 的函数的函数:称它为空间曲线的称它为空间曲线的参数方程参数方程.2022/10/1628第28页，此课件共54页哦 动点从动点从A点出发，点出发，经过经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解2022/10/1629第29页，此
16、课件共54页哦螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距2022/10/1630第30页，此课件共54页哦解解:(1)根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为将第二方程变形为故所求为故所求为得所求为得所求为练习练习 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:2022/10/1631第31页，此课件共54页哦五、曲面的参数方程五、曲面的参数方程(The Parametric Equation of Surface)一般曲面的参数方
17、程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数,形如形如2022/10/1632第32页，此课件共54页哦绕绕 z 轴旋转轴旋转时的旋转曲面方程时的旋转曲面方程.略略解解:点点 M1绕绕 z 轴旋转轴旋转,转过角度转过角度 后到点后到点 则则这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程.例例8 求空间曲线求空间曲线 :2022/10/1633第33页，此课件共54页哦定义：定义：以曲线以曲线 为准线、母线平行于为准线、母线平行于轴的柱面叫做轴的柱面叫做关于关于面的面的投影柱面投影柱面，投影柱面与投影柱面与面的交线叫做面的交线叫做空间曲线空间曲线在在或简称或简称投影投影（类似地可以定义曲线
18、（类似地可以定义曲线 在其他坐标在其他坐标面面上的投影）上的投影）面上的投影曲线，面上的投影曲线，六、空间曲线在坐标面上的投影六、空间曲线在坐标面上的投影(Projecting Curve on a Coordinate Plane of Space Curve)曲线曲线2022/10/1634第34页，此课件共54页哦如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面2022/10/1635第35页，此课件共54页哦消去变量消去变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线设空间曲线C的一般方程：的一般方程：以此空间曲线为准线
19、，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：空间曲线空间曲线C在在 面上的面上的投影曲线投影曲线C2022/10/1636第36页，此课件共54页哦设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程2022/10/1637第37页，此课件共54页哦例例9 9 求曲线求曲线在在xoy 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程.
20、2022/10/1638第38页，此课件共54页哦补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面2022/10/1639第39页，此课件共54页哦所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域.和锥面和锥面在在xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线二者交线二者交线所求的投影区域是圆域所求的投影区域是圆域:解解:半球面半球面和锥面的交线在和锥面的交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域.例例10 10 求求上半球面上半球面为所求的投影区域为所求的投影区域.2022/10/1640第40页，此课件共54页哦内容小结内
21、容小结1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程 球面球面 旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:柱面柱面如如,曲面曲面表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.2022/10/1641第41页，此课件共54页哦三元二次方程三元二次方程 椭球面椭球面 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面:2.二次曲面二次曲面2022/10/1642第42页，此课件共54页哦3.空间曲线空间曲线一般方程（三元方程组）一般方程（
22、三元方程组）或参数方程或参数方程(如如,圆柱螺线圆柱螺线)4.曲面的参数方程曲面的参数方程5.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影2022/10/1643第43页，此课件共54页哦作业作业习习 题题 6-3 P43-45 4(1)(2);9;162022/10/1644第44页，此课件共54页哦斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的
23、平面思考与练习思考与练习(重点讲重点讲4中（中（3）（）（6）)1.指出下列方程的图形指出下列方程的图形:2022/10/1645第45页，此课件共54页哦2022/10/1646第46页，此课件共54页哦3.习题习题6-4 4题题4答案答案:在在 xoy 面上面上(2)双曲线双曲线绕绕y轴旋转一周；轴旋转一周；2022/10/1647第47页，此课件共54页哦(2)(1)4.展示空间图形展示空间图形2022/10/1648第48页，此课件共54页哦(3)会画草图会画草图2022/10/1649第49页，此课件共54页哦(4)2022/10/1650第50页，此课件共54页哦(5)2022/10/1651第51页，此课件共54页哦(6)会画草图会画草图2022/10/1652第52页，此课件共54页哦5.求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为,它与所给平面的它与所给平面的2022/10/1653第53页，此课件共54页哦截线方程为截线方程为解解如图如图,2022/10/1654第54页，此课件共54页哦