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1、第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数第四节第四节 空间曲面与空间曲线空间曲面与空间曲线一一 曲面方程的概念曲面方程的概念二二 曲线方程的概念曲线方程的概念三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法1 1第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数水桶的表面、台
2、灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例曲面的实例：1 1 曲面方程的定义曲面方程的定义如果曲面如果曲面与三元方程与三元方程有下述关系：有下述关系：(1)(1)曲面曲面上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；（2）不在曲面）不在曲面那么，方程那么，方程就叫做曲面就叫做曲面的的方程方程，就叫做方程的就叫做方程的图形图形而曲面而曲面一一 曲面方程的概念曲面方程的概念2 2第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空
3、空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为例例1 1 求与原点求与原点及及的距离之比为的距离之比为的点的全体所组成的曲面方程的点的全体所组成的曲面方程.设设是曲面上任一点，是曲面上任一点，3 3第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解例例2 2 已知已知求线段求线段面的方程面的方程.的垂
4、直平分的垂直平分设设是所求曲面上任一点，是所求曲面上任一点，4 4第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解例例3 3 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？用平面用平面去截图形得圆：去截图形得圆：当平面当平面上下移动时，上下移动时，得到一系列圆得到一系列圆,的增大的增大圆心在圆心在半径为半径为半径随半径随而增大而增大.5 5第四节第四节第四节第四节 空间曲线
5、与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程6 6第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第
6、七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数(1)球面球面根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为设球心在点设球心在点半径为半径为下面建立下面建立球面方程球面方程.2 2 几种常见的曲面几种常见的曲面设设是球面上任一点，是球面上任一点，(球面方程的标准式球面方程的标准式)7 7第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数
7、数数将方程（将方程（1 1）展开得）展开得由此可见球面方程的特点由此可见球面方程的特点1)1)是是的二次方程的二次方程2 2）的系数为的系数为1 1（或相等）（或相等）3 3）不含）不含项项(球面方程的一般式球面方程的一般式)球面方程又可表示为球面方程又可表示为8 8第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数定义定义(2)(2)柱面柱面并沿定曲线并沿定曲线所形成的曲面称为所形成的曲面称为柱面柱面.移动的直线移动的直线柱面柱面这
8、条定曲线这条定曲线叫叫的的准线准线，平行于定直线平行于定直线叫叫母线母线.柱面的柱面的动直线动直线9 9第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数下面建立母线平行于下面建立母线平行于轴，准线为轴，准线为平面曲线平面曲线的柱面方程。的柱面方程。设设为柱面上为柱面上任意一点，任意一点，过过作平行作平行轴的直线交轴的直线交平面平面曲线曲线上的点上的点因此因此将将代入得柱面方程代入得柱面方程由于由于在在平面曲线平面曲线上，上，1010
9、第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于在空间直角坐标在空间直角坐标轴的柱面，轴的柱面，只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于面上面上在空间直角坐标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为 只含只含而缺而缺的方程的方程系中表示母线平行于系中表示母线平行于面上面上在空间直角坐
10、标在空间直角坐标曲线曲线轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为面上面上曲线曲线其准线为其准线为1111第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数柱面举例柱面举例母线平行于母线平行于 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面轴的轴的平面平面母线平行于母线平行于轴的轴的抛物柱面抛物柱面母线平行于母线平行于1212第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间
11、间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数轴的轴的双曲柱面双曲柱面母线平行于母线平行于1313第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数定义定义 一条平面曲线一条平面曲线绕其所在平面上的一条定绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面直线旋转一周所成的曲面称为称为旋转曲面旋转曲面.(3)旋转曲面旋转曲面线线这条定直线叫旋转曲面这条定直线叫旋转曲面的的轴轴这条定直这条定直旋转轴旋转轴1414第四
12、节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数求由求由平面曲线平面曲线绕绕轴旋转一周所得轴旋转一周所得的旋转面方程。的旋转面方程。设旋转面上任意一点设旋转面上任意一点则则是由是由平平面面的曲线的曲线绕绕上上轴旋转而轴旋转而得的，得的，一点一点将上式代入将上式代入得方程得方程面上曲线面上曲线绕绕轴的轴的旋转曲面方程旋转曲面方程.1515第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第
13、第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数同理：同理：坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线绕绕一周一周的的旋转曲面方程旋转曲面方程为为轴旋转轴旋转1616第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数 例例4 4 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成将下列各曲线绕对应的轴
14、旋转一周，求生成的旋转曲面的方程的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面1 1）双曲线）双曲线分别绕分别绕轴和轴和轴；轴；绕绕轴旋转轴旋转绕绕轴旋转轴旋转1717第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面2 2）绕绕轴；轴；面上椭圆面上椭圆3 3）绕绕轴；轴；面上抛物线面上抛物线1818第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第
15、七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数4 4）面上直线面上直线圆锥面圆锥面绕绕轴；轴；1919第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数(4)锥锥面面通过定点通过定点动直线动直线沿定曲线沿定曲线移动所形成的移动所形成的曲面称为曲面称为锥面锥面，定点定点称称为锥面的为锥面的顶点顶点，定曲线定曲线称为锥面的称为锥面的准线准线。称为锥面的称为锥面的母线母线，动直线动
16、直线2020第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例5 建立以椭圆建立以椭圆为准线，为准线，坐标原点为顶点的锥面方程。坐标原点为顶点的锥面方程。解解 设点设点 锥面锥面 上任意一点，上任意一点，过点过点 的母线的母线交椭圆于点交椭圆于点由由锥面方程为锥面方程为椭圆锥面椭圆锥面2121第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间
17、解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上点的坐标都曲线上点的坐标都满足方程，满足方程的点都在满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上点的坐标曲线上，不在曲线上点的坐标不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：1 1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 二二 曲线方程的概念曲线方程的概念2222第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解
18、解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例1 1 方程组方程组解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？2323第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2 2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程当给定当给定时，就得到曲线上的一个点时，就得到曲线上的一个点随着参数的变化可得到曲线上的全部点随着参数的变化
19、可得到曲线上的全部点.2424第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t t为参数，为参数，解解例例2 2 如果空间一点如果空间一点在圆柱面在圆柱面出发，以角速度出发，以角速度绕绕轴旋转，轴旋转，沿平行沿平行轴的正方向上升（其中轴的正方向上升（其中都是常数），都是常数），构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线试建立其参数方程试建立其参数方程同时又以线速度同时又以线速度于于那么点那
20、么点在在面的投影面的投影动点从动点从点出发，点出发，经过经过t t时间，运动到时间，运动到点点,上从点上从点2525第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为例例3 将曲线方程将曲线方程化为参数式方程。化为参数式方程。解解将将代入代入得得参数式方程为参数式方程为2626第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七
21、七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量后得：后得：设空间曲线设空间曲线的一般方程：的一般方程：称此曲面为曲线称此曲面为曲线的的投影柱面投影柱面关于关于称曲线称曲线为曲线为曲线在在的的投影曲线投影曲线。2727第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解
22、解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,消去消去得曲线得曲线的的投影柱面投影柱面：关于关于面上的面上的投影曲线投影曲线,消去消去得曲线得曲线的的投影柱面投影柱面：关于关于2828第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例4 4 求曲线求曲线解解在坐标面上的投影在坐标面上的投影.（1 1
23、）消去变量）消去变量后得关于后得关于的投影柱面的投影柱面在在面上的投影为面上的投影为2929第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数（2 2）因为曲线在平面）因为曲线在平面上，上，所以关于所以关于面上的投影柱面为面上的投影柱面为面上的投影为线段面上的投影为线段.在在（3 3）同理关于）同理关于面上的投影柱面面上的投影柱面面上的投影为面上的投影为在在3030第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线
24、与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数截线方程为截线方程为解解例例5 5 求抛物面求抛物面与平面与平面 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.（1 1）消去）消去得投影得投影（2 2）消去）消去得投影得投影（3 3）消去）消去得投影得投影3131第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数例例6
25、 6解解 半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为一个圆一个圆,3232第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数三三 二次曲面的截痕法二次曲面的截痕法二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面二次曲面 相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为相应地三元一次方程所表示的曲面（平面）被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法：用坐标面和平行于坐
26、标面的平面与曲面相截，考察用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面3333第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数1 1 椭球面椭球面椭球面与平面椭球面与平面的交线为椭圆的交线为椭圆椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的
27、变化而变化.同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.3434第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.截面上圆的方程截面上圆的方程球面球面3535第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间
28、曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数2 抛物面抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设（1 1）用）用 与曲面相截可得与曲面相截可得抛物线抛物线顶点顶点(3)(3)与平面与平面的交线的交线 为椭圆为椭圆（2 2）用）用 与曲面相截可得与曲面相截可得抛物线抛物线顶点顶点3636第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数xzy0（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：3737第四节第四节第四节第四节 空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面空间曲线与空间曲面第第第第七七七七章章章章 空空空空间间间间解解解解析析析析几几几几何何何何与与与与向向向向量量量量代代代代数数数数3 3 双曲面双曲面单叶双曲面单叶双曲面双叶双曲面双叶双曲面3838