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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第1页，本讲稿共25页函数的单调性函数的单调性第2页，本讲稿共25页一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法第3页，本讲稿共25页第4页，本讲稿共25页归纳以上结论，可得归纳以上结论，可得 该定理的条件是充分条件而非必要条件；严格单增该定理的条件是充分条件而非必要条件；严格单增（或单减）时未必有（或单减）时未必有 在在（a,b）内点点成立）内点点成立.注：注：第5页，本讲稿共25页例例1注意注意导数为零的点称为导数为零的点称为驻点；驻点；驻点处单调性发生了变化驻点处单调性发生了变化第6页，本讲稿共25页例例2导数不存在的点处单调性发生了变化导数不存在的点处单
2、调性发生了变化第7页，本讲稿共25页说明说明:1)驻点和导数不存在的点成为函数单调性可能改变的点驻点和导数不存在的点成为函数单调性可能改变的点.2)如果函数在某驻点两边导数同号如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性则不改变函数的单调性.例如例如,第8页，本讲稿共25页注意：注意：第9页，本讲稿共25页确定函数单调区间的步骤：确定函数单调区间的步骤：1.确定函数定义域；确定函数定义域；2.求出驻点及导数不存在的点，并以这些点为分界点，求出驻点及导数不存在的点，并以这些点为分界点，将定义域分成若干个区间；将定义域分成若干个区间；3.列表判定各个子区间内列表判定各个子区间内 的符号，得单
3、调的符号，得单调性结论性结论.第10页，本讲稿共25页例例3.确定函数确定函数的单调区间的单调区间.令令得得故故的的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调减区间为区间为第11页，本讲稿共25页例例4函数单调性可以用来证明不等式函数单调性可以用来证明不等式第12页，本讲稿共25页函数单调性可以用来判别方程根的情况函数单调性可以用来判别方程根的情况例例5因此因此 f(x)在在（0,+)内严格单增内严格单增.另外另外第13页，本讲稿共25页二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点观察以下曲线观察以下曲线各曲线有什么不同？各曲线有什么不同？弯曲方向不同弯曲方向不同第14页，本讲稿共25页问题问题:
4、如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?任意弧位于弦上方任意弧位于弦上方任意弧位于弦下方任意弧位于弦下方第15页，本讲稿共25页定义定义.设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续,(1)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹的凹的;(2)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凸的凸的.第16页，本讲稿共25页定理定理 证明略证明略第17页，本讲稿共25页例例6第18页，本讲稿共25页例例7.求曲线求曲线的拐点的拐点.解解:不存在不存在因此点因此点(0,0)为曲线为曲线的拐点的拐点.凹凹凸凸第19页，本讲稿共25页例例8(例例7).7).第20页，本讲稿共25页例例9.求曲线求曲线的凹凸区间及拐点
5、的凹凸区间及拐点.解解:1)求求2)求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令得得对应对应3)列表判别列表判别凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点第21页，本讲稿共25页例例10.证明证明解：解：设设函数凹凸性可以用来证明不等式函数凹凸性可以用来证明不等式第22页，本讲稿共25页内容小结内容小结1.可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减-单调区间的分隔点单调区间的分隔点-可能是可能是驻点驻点，可能还是无定义点可能还是无定义点第23页，本讲稿共25页2.曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别+-拐点拐点第24页，本讲稿共25页思考与练习思考与练习上上则则或或的大小顺序是的大小顺序是()提示提示:利用利用单调增加单调增加,及及B设在设在第25页，本讲稿共25页