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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第1页，此课件共28页哦几何事实几何事实第2页，此课件共28页哦定理定理1这是一个这是一个充分条件充分条件一、单调性的判别法一、单调性的判别法另外区间可为其另外区间可为其他任意形式他任意形式第3页，此课件共28页哦证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得类似有类似有第4页，此课件共28页哦例例1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的函数的单调性是一个区间上的整体性质整体性质，要用导数，要用导数在这一区间上的符号来判定，而在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的不能用一点处的导数符号导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性第5页，此课件共28页哦问题
2、问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点分界点方法方法:二、单调区间求法二、单调区间求法第6页，此课件共28页哦例例2解解单调增区间为单调增区间为单调减区间为单调减区间为第7页，此课件共28页哦(2)确定确定 y=arctanx-x的单调区间的单调区间解解第8页，此课件共28页哦例例3解
3、解单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为第9页，此课件共28页哦例例4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,第10页，此课件共28页哦例例5证证第11页，此课件共28页哦例例6证证由介值定理知由介值定理知 cosx=x有一个根有一个根故方程故方程 cosx=x有且仅有且仅有一个根。有一个根。y=cosx-x第12页，此课件共28页哦仅有函数单调性还不够，仅有函数单调性还不够，如拱桥、如拱桥、船体、机翼弧线；船体、机翼弧线；图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张
4、弦的下方于所张弦的下方三、曲线凹凸的定义与判别三、曲线凹凸的定义与判别问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?1、定义、定义第13页，此课件共28页哦定义：定义：第14页，此课件共28页哦定理定理12、曲线凹凸的判定、曲线凹凸的判定第15页，此课件共28页哦证证第16页，此课件共28页哦第17页，此课件共28页哦例例7解解第18页，此课件共28页哦例例8解解注意到注意到,第19页，此课件共28页哦1、定义、定义注意注意:拐点必须在曲线上，拐点处的切线必在拐拐点必须在曲线上，拐点处的切线必在拐点处穿过曲线点处穿过曲线。四、曲线的拐点及其求法四、曲线的拐点及其求法可能的拐点可能的拐
5、点:第20页，此课件共28页哦2、拐点的求法、拐点的求法方法方法1:方法方法2:第21页，此课件共28页哦例例9解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点第22页，此课件共28页哦例例10解解注意注意:第23页，此课件共28页哦例例11解解第24页，此课件共28页哦例例12证证由结论可知由结论可知为此，构造为此，构造 第25页，此课件共28页哦单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式数和证明不等式.五、小结五、小结第26页，此课件共28页哦曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.第27页，此课件共28页哦思考题思考题第28页，此课件共28页哦