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1、第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一一对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概念与性质二二二二 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法1 1第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分一一 对面积的曲面积分的概念与性质对面积的曲面积分的概
2、念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想,采用采用可得可得求质求质 “大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”的方法的方法,量量 M.其中其中,表示表示 n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).2 2第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分定义定义:设设 为有界光滑曲
3、面为有界光滑曲面,“乘积乘积和式极限和式极限”都存在都存在,的的曲面积分曲面积分其中其中 f(x,y,z)叫做叫做被被积积据此定义据此定义,曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为曲面面积为曲面面积为f(x,y,z)是定义在是定义在 上的一上的一 个有界个有界函数函数,记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域则称此极限为函数则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面在曲面 上上对面积对面积函数函数,叫做叫做积分曲面积分曲面.任意取点任意取点,叫做叫做曲面面积元素曲面面积元素。3 3第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲
4、面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性对积分域的可加性.则有则有 线性性质线性性质.在有界光滑曲面在有界光滑曲面 上上对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似.积分的存在性积分的存在性.若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两片光滑曲面片光滑曲面连续连续,4 4第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积
5、积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分二二 对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分的计算法 定理定理:设有光滑曲面设有光滑曲面f(x,y,z)在在 上连续上连续,存在存在,则则曲面曲面证明证明:由定义知由定义知积分积分且有且有5 5第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分则则(光滑光滑)取取6 6第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积
6、分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分同理如果同理如果7 7第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例1.计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是球面是球面被平面被平面截出的顶部截出的顶部.解解:8 8第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例2.计算计算其中其中 是由平面是由平面坐标面所围成
7、的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设设上的部分上的部分,则则与与 原式原式=分别表示分别表示 在平面在平面 9 9第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例3 3 计算计算其中其中是介于平面是介于平面之间的圆柱面之间的圆柱面 解解在在上上原式原式1010第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分
8、分分分例例4 4 计算计算其中其中是由平面是由平面围成的正八面体的表面围成的正八面体的表面.解解设设由对称性得由对称性得1111第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分例例5 5 求抛物面壳求抛物面壳的质量的质量,此壳此壳的面密度的大小为的面密度的大小为解解1212第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分
9、分例例5 5 求均匀半球壳求均匀半球壳的形心的形心.解解由对称性由对称性半球壳的面积半球壳的面积1313第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分三三 积分的统一定义积分的统一定义定义定义设设Q 为一可以度量的有界的几何形状，为一可以度量的有界的几何形状，定义在定义在Q 上的有界函数，上的有界函数，（其度量仍记为（其度量仍记为作和式作和式记记当当时，时，和式的极和式的极限存在限存在（与（与Q的划分，点的划分，点在在取法无关），取法无关），则称此则称此极限为函数极限为函数在在Q 上的积分，上的积分，记为记为即即如果将如果将Q 任意分割成任意分割成n 个小的个小的可以度量的几何形状可以度量的几何形状在每个在每个上任取一点上任取一点1414第四节第四节第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分第第第第十十十十章章章章 曲曲曲曲线线线线积积积积分分分分与与与与曲曲曲曲面面面面积积积积分分分分1515