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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载第一部分 函数图象中点的存在性问题 11 因动点产生的相像三角形问题 12 因动点产生的等腰三角形问题 13 因动点产生的直角三角形问题 14 因动点产生的平行四边形问题15 因动点产生的面积问题16因动点产生的相切问题17 因动点产生的线段和差问题其次部分 图形运动中的函数关系问题 21 由比例线段产生的函数关系问题第三部分 图形运动中的运算说理问题 31 代数运算及通过代数运算进行说理问题 32 几何证明及通过几何运算进行说理问题第四部分 图形的平移、翻折与旋转 41 图形的平移42 图形的翻折43 图形的旋转 44 三角
2、形45 四边形46 圆 47 函数的图象及性质 11 因动点产生的相像三角形问题课前导学 相像三角形的判定定理有 3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相像的动态问题,一般情形下第一查找一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据,一般分三步： 查找一组等角, 分两种情形列比例方程,解方程并检验假如已知A D,探求ABC 与 DEF 相像,只要把夹A 和 D 的两边表示出来,依据对应边成比例,分 AB DE 和AB DF 两种情形列方程AC DF AC DE应用判定定理 1 解题,先查找一组等角,再分两种情形争论另外两组对应角相等应用判定定理 3
3、解题不多见,依据三边对应成比例列连比式解方程（组）仍有一种情形, 争论两个直角三角形相像,假如一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为争论另一个三角形是直角三角形的问题求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式简洁记错懂得记忆比较好如图 1,假如已知A、B 两点的坐标,怎样求A、B 两点间的距离呢？我们以 AB 为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离,等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、 B 两点间的竖直距离,等于 A、B 两点的纵坐标相减图 1 图
4、 1 图 2 例 1 湖南省衡阳市中考第二次函数 yax 2bxc（a 0）的图象与28 题 x 轴交于 A3, 0、B1, 0两点,与 y 轴交于名师归纳总结 点 C0,3m（ m 0）,顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示） ；第 1 页,共 40 页（2）如图 1,当 m2 时,点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点,设APC 的面积为 S,试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及S的最大值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（3）如图 2,当 m 取何值时,以 A、D、C 三点为顶点的三
5、角形与OBC 相像？动感体验 请打开几何画板文件名“14 衡阳 28” ,拖动点 P 运动,可以体验到,当点 P运动到 AC 的中点的正下方时, APC 的面积最大 拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动, 抛物线的外形会转变,可以体验到,ACD 和 ADC 都可以成为直角思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便2连结 OP, APC 可以割补为：AOP 与 COP 的和,再减去AOC3争论ACD 与 OBC 相像,先确定ACD 是直角三角形,再验证两个直角三角形是否相像 4直角三角形 ACD 存在两种情形图文解析（1）由于抛物线与 x 轴交于 A3, 0、 B1, 0两点,设 yax3x1
6、代入点 C0, 3m,得 3m 3a解得 am所以该二次函数的解析式为ymx3x1mx22mx3m（2）如图 3,连结 OP当 m2 时,C0,6,y2x 24x6,那么 Px, 2x 24x6由于 S AOP1 2OAy P32x 24x6 3x 26x9,S COP 12OCx P23x,S AOC 9,所以 SS APCS AOPS COPS AOC 3x 2 9x3x322724所以当x3时, S 取得最大值,最大值为2724图 6 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4,过点 D 作 y 轴的垂线,垂足为E过点 A 作 x 轴的垂线交DE 于 F由 ymx3 x1mx124m,得 D
7、1,4m在 Rt OBC 中, OBOC13m名师归纳总结 假如 ADC 与 OBC 相像,那么 ADC 是直角三角形, 而且两条直角边的比为13m第 2 页,共 40 页如图 4,当 ACD 90 时,OA ECOC所以3 m3 m解得 m1ED1此时CAOC3,OC3所以CA CDOC所以CDA OBCCDEDOBOB如图 5,当 ADC 90 时,FA EDFD所以4 m12解得m2ECm2此时DAFD22 2,而OC3 m3 2因此DCA 与 OBC 不相像DCECmOB2综上所述,当m1 时, CDA OBC考点舒展第（ 2）题仍可以这样割补：如图 6,过点 P 作 x 轴的垂线与A
8、C 交于点 H由直线 AC： y 2x6,可得 Hx,2x6又由于 Px, 2x 24x6,所以 HP 2x26x由于PAH 与 PCH 有公共底边HP ,高的和为A、 C 两点间的水平距离3,所以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - SSAPCSAPHSCPH 3 2优秀教案欢迎下载3227 2x26x3x24例 2 20XX 如图 1,在直角梯形年湖南省益阳市中考第21 题ABCD 中, AB/CD ,ADAB, B60,AB10,BC4,点 P沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动,设 APx21 c nj y（1）求 AD 的长；（2）点 P 在运
9、动过程中,是否存在以A、P、 D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相像？如存在,求出 x 的值；如不存在,请说明理由；图 1 （3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为 S1、 S2,如 SS1S2,求 S 的最小值 . 动感体验请打开几何画板文件名“ 14 益阳 21” ,拖动点 P 在 AB 上运动,可以体验到,圆心 O 的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段观看 S 随点 P 运动的图象,可以看到,S有最小值,此时点 P 看上去象是 AB 的中点,其实离得很近而已思路点拨 1第（ 2）题先确定PCB 是直角三角形,再验证两个三角形是否相像2第（ 3）题懂得
10、PCB 的外接圆的圆心 O 很关键,圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上,同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的,这样就可以以 AP 为自变量,求 S 的函数关系式 图文解析（1）如图 2,作 CH AB 于 H,那么 ADCH 在 Rt BCH 中, B60,BC4,所以 BH2,CH 2 3 所以 AD 2 3 （2）由于APD 是直角三角形,假如APD 与 PCB 相像,那么PCB 肯定是直角三角形如图 3,当 CPB90 时, AP1028所以AP84 3,而PC3 此时APD 与 PCB 不相像AD 2 3 3 PB图 2 图 3 图 4 如图 4,当
11、 BCP 90 时, BP2BC8所以 AP2所以AP23所以 APD60 此时APD CBPAD 2 3 3综上所述,当 x2 时, APD CBP（3）如图 5,设 ADP 的外接圆的圆心为 G,那么点 G 是斜边 DP 的中点设PCB 的外接圆的圆心为 O,那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上,设这条直线与 BC 交于点 E,与 AB 交于点 F设 AP2m作 OM BP 于 M,那么 BM PM5m在 Rt BEF 中, BE2, B60 ,所以 BF4在 Rt OFM 中,名师归纳总结 FM BF BM45m m1, OFM 30 ,所以 OM 3 3m1第 3 页,共 40 页所
12、以 OB2BM2OM25m 21m12在 Rt ADP 中,DP2AD2AP2124m 2所3以 GP23 m 2于是 SS1S2 GP2 OB23m25m21m2 13- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 372 m32m85所以当m16优秀教案欢迎下载113时, S 取得最小值,最小值为77图 5 图 6 考点舒展关于第（ 3）题,我们再争论个问题问题 1,为什么设 AP2m 呢？这是由于线段 ABAPPMBM AP2BM 10这样 BM 5m,后续可以削减一些分数运算这不影响求 S的最小值问题 2,假如圆心 O 在线段 EF 的延长线上, S关于 m
13、 的解析式是什么？如图 6,圆心 O 在线段 EF 的延长线上时,不同的是FM BM BF5m41m此时 OB 2BM 2OM 25 m 2 1 1 m 2这并不影响 S 关于 m 的解析式3例 3 20XX 年湖南省湘西市中考第 26 题如图 1,已知直线 y x3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 y x 2bxc经过 A、B 两点,点 P 在线段 OA 上,从 点 O 动身,向点A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时,点 Q 在线段 AB 上,从点 A 动身,向点 B 以每秒 2 个单位的速度匀速运动,连结 PQ,设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；（2）问：
14、当 t 为何值时,APQ 为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/y 轴,交 AB 于点 E,过点 Q 作 QF/y 轴,交抛物线于点F,连结 EF,当 EF/PQ 时,求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M,连结 BP、 BM、MQ,问：是否存在t 的值,使以B、Q、M 为顶点的三角形与以O、B、P 为顶点的三角形相像？如存在,请求出 t 的值；如不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“ 15湘西 26”,拖动点 P 在 OA 上运动,可以体验到,APQ 有两个时刻可以成为直角三角形,四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形,MBQ 与 BOP 有一次机会相像思路点拨
15、1在 APQ 中, A45 ,夹 A 的两条边 AP、AQ 都可以用 t 表示,分两种情形争论直角三角形APQ 2先用含t 的式子表示点P、Q 的坐标,进而表示点E、F 的坐标,依据PEQF 列方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形,依据直角边对应成比例分两种情形争论 图文解析 （ 1）由 y x3,得 A3, 0, B0, 3将 A3, 0、B0, 3分别代入 y x2bxc,得c93bc0,解得b2,APQ：3.c3.所以抛物线的解析式为y x22x32 t分两种情形争论直角三角形（2）在 APQ 中,PAQ45 ,AP3t,AQ当 PQA90 时, AP2 AQ解方程 3 t
16、2t,得 t1（如图 2）名师归纳总结 当 QPA90 时, AQ2 AP解方程2 t2 3t,得 t1.5（如图 3）第 4 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图 2 优秀教案欢迎下载图 5 图 3 图 4 （3）如图 4,由于 PE/QF,当 EF/PQ 时,四边形EPQF 是平行四边形所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ由于 xPt,x Q 3t,所以 yE3t,yQt,yF3t 2 23t3 t 24t由于 yE yPyFyQ,解方程 3 tt 24tt,得 t1,或 t3（舍去）所以点 F 的坐标为 2, 3（4）由 y x
17、22x3 x 1 24,得 M1, 4由A3, 0、B0, 3 ,可知 A、B两点间的水平距离、竖直距离相等,AB3 2 由B0, 3、M1, 4,可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等,BM2 所以 MBQ BOP 90 因此MBQ与 BOP相像存在两种可能：当BM BQOB时,3 222t3解得t9（如图 5）OPt4当BM BQOP时,3 222tt整理,得 t23t30此方程无实根OB3考点舒展 第（ 3）题也可以用坐标平移的方法：由Pt, 0 ,Et, 3t, Q3t, t,依据 PE 方向,将点Q 向上平移,得F3t, 3再将 F3t, 3代入 y x 22x3,得 t1,或
18、t3 12 因动点产生的等腰三角形问题课前导学 我们先回忆两个画图问题：1已知线段 AB5 厘米,以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB6 厘米, 以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除了两个点以外,都是顶点 C已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外在争论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类假如 ABC 是等腰三角形,那么存在ABAC, BABC, CACB 三种情形解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,可
19、以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、运算哪些题目适合用几何法呢？假如 ABC 的 A（的余弦值） 是确定的, 夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来, 那么就用几何法如图 1,假如 ABAC,直接列方程； 如图 2,假如 BA BC,那么1 2ACABcosA；如图 3,假如 CACB,那么 1 2ABACcosA代数法一般也分三步：排列三边长,分类列方程,解方程并检验假如三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来, 那么依据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以排列出来名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 40
20、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 1 图 2 优秀教案欢迎下载图 1 图 3 例 9 20XX 年长沙市中考第 26 题如图 1,抛物线 yax 2bxc（a、b、c 是常数, a 0）的对称轴为 y 轴,且经过 0,0和 a , 1 两点,点 P 在该抛物线上运动,以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A0, 216（1）求 a、b、c 的值；（ 2）求证：在点 P 运动的过程中,P 始终与 x 轴相交；（3）设 P与 x 轴相交于 Mx1, 0、Nx2, 0两点,当AMN 为等腰三角形时,求圆心 P 的纵坐标动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”,拖动圆
21、心 P 在抛物线上运动,可以体验到,圆与 x 轴总是相交的,等腰三角形 AMN 存在五种情形思路点拨 1不算不知道,一算真神奇,原先P 在 x 轴上截得的弦长 MN 4 是定值2等腰三角形 AMN 存在五种情形,点 P 的纵坐标有三个值,依据对称性,MA MN和 NANM 时,点 P 的纵坐标是相等的图文解析 （1）已知抛物线的顶点为 0,0,所以 yax 2所以 b0,c0将 a , 1 代入 yax 2,得 1 a 解得 2a 1（舍去了负值） 16 16 4（2）抛物线的解析式为 y 1 x ,设点 P 的坐标为 2 , 1 x 24 4已知 A0, 2,所以 PA x 2 1x 22
22、2 1x 441x 24 16 4而圆心 P 到 x 轴的距离为 1x ,所以半径 2PA圆心 P 到 x 轴的距离4所以在点 P 运动的过程中,P 始终与 x 轴相交（3）如图 2,设 MN 的中点为 H,那么 PH 垂直平分 MN 在 Rt PMH 中,PM 2PA 2 1x 44,16所以 MH 2因此 MN4,为定值等腰PH 2 1x 2 1x ,所以 MH 4 2 44 16AMN 存在三种情形：如图 3,当 AM AN时,点 P 为原点 O 重合,此时点P 的纵坐标为0图 5 图 2 图 3 图 4 名师归纳总结 如图 4,当 MA MN 时,在 Rt AOM 中, OA2,AM
23、4,所以 OM 23 2 3第 6 页,共 40 页此时 xOH 232 所以点 P 的纵坐标为1x21 2 3 422 31244如图 5,当 NANM 时,依据对称性,点P 的纵坐标为也为423 如图 6,当 NANM 4 时,在 Rt AON 中, OA2,AN4,所以 ON23 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 此时 xOH 23优秀教案欢迎下载1 2 432232 14232 所以点 P 的纵坐标为1x24如图 7,当 MNMA 4 时,依据对称性,点P 的纵坐标也为42 3 图 6 图 7 考点舒展假如点 P 在抛物线y12 x 上运动,
24、以点 P 为圆心的 P 总经过定点B0, 1,那4么在点 P 运动的过程中,P 始终与直线y 1 相切这是由于：1x21设点 P 的坐标为 ,1x2已知 B0, 1,所以PBx21x22 11x22 14444而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为 1x214离所以在点 P 运动的过程中,P 始终与直线,所以半径 PB圆心 P 到直线 y 1 的距 y 1 相切例 10 20XX年湖南省张家界市中考第25 题如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线 yax2bxc（a 0）过 O、B、C 三点, B、C 坐标分别为 10, 0和18 5,24,以 OB 为直径的 A经过 C 点,5
25、直线 l 垂直 x 轴于 B 点（1）求直线 BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点 M 是 A 上一动点（不同于 O、B）,过点 M作 A 的切线,交 y 轴于点 E,交直线 l 于点 F,设线段ME 长为 m,MF 长为 n,请猜想 mn 的值,并证明你的结论；（4）如点 P 从 O 动身, 以每秒 1 个单位的速度向点 B作直线运动,点 Q 同时从 B 动身,以相同速度向点 C 作直线运动,经过 t（0t8）秒时恰好使BPQ 为等腰三角形,恳求出满意条件的 t 值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“14 张家界 25” ,拖动点 M 在圆上运动,可以体验到, EAF
26、保持直角三角形的外形,AM 是斜边上的高拖动点 Q 在 BC 上运动,可以体验到, BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形名师归纳总结 思路点拨1从直线 BC 的解析式可以得到OBC 的三角比,为争论等腰三角形BPQ 作第 7 页,共 40 页铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（ 3）题连结AE、AF 简洁看到AM是直角三角形EAF 斜边上的高4第（ 4）题的 PBQ 中, B 是确定的,夹B 的两条边可以用含t 的式子表示分三种情形争论等腰三角形图文解析（1）直线 BC 的解析式为y3x15（2）由于抛物线与x 轴交于 O、B10, 042两点,设 yaxx10代入点 C18 5,2
27、4,得24a1832解得a5555524- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以y5x x1052 x25x优秀教案x52欢迎下载抛物线的顶5 2412524241224点为5,125（3）如图 2,由于 EF 切 A 于 M,所以 AMEF由24AEAE,AOAM ,可得 Rt AOERt AME 所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90 所以 5 1由 tan 5tan1,得MA MFMEMA所以 ME MF MA2,即 mn25图 2 （4）在 BPQ 中, cosB4 5,BP10t,BQt分三种情形争论等腰三角形BPQ：如图 3,当 BP
28、BQ 时, 10tt解得 t5如图 4,当 PBPQ 时,1 2BQBPcosB 解方程1 2t4 10 5t ,得tt80 13如图 5,当 QBQP 时,1 2BPBQcosB 解方程1 210t4 5t ,得50 13图 3 图 4 图 5 图 6 考点舒展 在第（ 3）题条件下,以EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点 A如图 6,这是由于 AG 既是直角三角形 EAF 斜边上的中线, 也是直角梯形 EOBF 的中位线,因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径,所以G 与 x 轴相切于点 A例 11 20XX 在平面直角坐标系中,年湖南省邵阳市中考第 26 题抛物线 yx 2mnxm
29、n（mn）与 x 轴相交于 A、B 两点（点A 位于点 B 的右侧）,与y 轴相交于点C（ 1）如 m2,n 1,求 A、B 两点的坐标；（2）如 A、B 两点分别位于y 轴的两侧, C 点坐标是 0,1,求 ACB 的大小；（3）如 m2, ABC 是等腰三角形,求 n 的值 动感体验请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 26” ,点击屏幕左下方的按钮（2）,拖动点 A 在 x 轴正半轴上运动,可以体验到,ABC 保持直角三角形的外形点击屏幕左下方的按钮（3）,拖动点 B 在 x 轴上运动,观看ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上,可以体验到,等腰三角形 ABC 有 4 种情形 思路点拨1
30、抛物线的解析式可以化为交点式,用m,n 表示点 A、B、C 的坐标2第（ 2）题判定直角三角形 ABC,可以用勾股定理的逆定理,也可以用锐角的三角比3第（ 3）题争论等腰三角形ABC,先把三边长（的平方）排列出来,再分类解方程图文解析（1）由 yx 2mnxmnxmxn,且 mn,点 A 位于点 B 的右侧,可知 Am, 0,Bn, 0如 m2,n1,那么 A2, 0,B1, 0名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载（2）如图 1,由于 C0, mn,当点 C 的坐标是 0,1,mn 1,OC1如 A
31、、B 两点分别位于 y 轴的两侧, 那么 OAOB mn mn1所以 OC2OAOB所以 OC OAOBOC所以 tan1tan2所以 1 2又由于 1 与 3 互余,所以 2 与 3 互余所以 ACB 90 （ 3）在 ABC 中,已知 A2, 0,Bn, 0,C0, 2nBC争论等腰三角形ABC,用代数法解比较便利：由两点间的距离公式,得AB 2 n 22,25n 2,AC244n2当 ABAC 时,解方程 n2244n 2,得n4（如图 2）3当 CACB 时,解方程44n 25n2,得 n 2（如图 3）,或 n2（A、B 重合,舍去）当 BABC 时,解方程 n225n2,得n51（
32、如图 4）,或n51（如图 5）22图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 考点舒展 第（ 2）题常用的方法仍有勾股定理的逆定理由于 C0, mn,当点 C 的坐标是 0,1,mn 1由 Am, 0, Bn, 0,C0,1,得 AB 2mn 2m 22mnn 2m 2n 22,BC 2n 21,AC 2m 21所以 AB 2BC 2AC 2于是得到 Rt ABC, ACB 90 第（ 3）题在争论等腰三角形 ABC 时,对于 CACB 的情形,此时 A、B 两点关于 y 轴对称,可以直接写出 B2, 0,n 2例 12 20XX 年湖南省娄底市中考第 27 题如图 1,在 ABC 中, ACB
33、90,AC4cm,BC3cm假如点 P 由点 B 动身沿 BA 方向向点 A 匀速运动,同时点 Q 由点 A 动身沿 AC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为 1cm/s连结 PQ,设运动时间为 t（s）（0t4）,解答以下问题： （1）设 APQ 的面积为 S,当 t 为何值时, S 取得最大值？ S的最大值是多少？（2）如图 2,连结 PC,将 PQC 沿 QC 翻折,得到四边形PQP C,当四边形PQPC 为菱形时,求t 的值；（3）当 t 为何值时,APQ 是等腰三角形？图 1 图 2 图 3 图 4 名师归纳总结 动感体验请打开几何画板文件名“14 娄底 27” ,拖动点 Q 在
34、 AC 上运动,可以体验到,第 9 页,共 40 页当点 P 运动到 AB 的中点时,APQ 的面积最大,等腰三角形APQ 存在三种情形仍可以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 体验到,当QC2HC 时,四边形优秀教案欢迎下载PQPC 是菱形思路点拨1在 APQ 中, A 是确定的,夹A 的两条边可以用含t 的式子表示t 2四边形 PQPC 的对角线保持垂直,当对角线相互平分时,它是菱形,图文解析 （1）在 Rt ABC 中, AC4,BC 3,所以 AB5,sinA3 5,cosA4 5作 QD AB 于 D,那么 QD AQ sinA3 5t所以 S
35、SAPQ 1 2AP QD 1 25t353 10t25 t 3t52 +15当t5时, S 取得最大值,最大值为15102828（2）设 PP 与 AC 交于点 H,那么 PP QC,AH APcosA4 5 5t 假如四边形PQP C 为菱形,那么PQPC所以 QC 2HC 解方程4t2445t,得t20（3）等腰三角形APQ 存在三种情形：513如图 5,当 APAQ 时, 5tt解得t5如图 6,当 PAPQ 时,21AQAPcosA 解方程1 2t4 5 5t ,得t40如图 7,当 QA QP213时,1 2APAQcosA 解方程1 25t4t 得t25513图 5 图 6 图
36、7 图 8 考点舒展 在此题情境下,假如点Q 是 PPC 的重心,求t 的值如图8,假如点 Q 是PPC 的重心,那么QC2 3HC 解方程4t2445t,得t60 2335例 13 20XX年湖南省怀化市中考第22 题如图 1,已知 Rt ABC 中, C90,AC8,BC6,点 P 以每秒 1 个单位的速度从A 向 C 运动, 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从AB C 方向运动, 它们到 C 点后都停止运动,设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（1）在运动过程中,求 P、Q 两点间距离的最大值；（2）经过 t 秒的运动,求ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S与时间 t 的函数关系式；（3）P,Q 两点在运动过程中,是否存在时间t,使得 PQC 为等腰三角形如存在,求出此时的 t 值,如不存在,请说明理由（5 2 . 24,结果保留一位小数）动感体验请打开几何画板文件名“15 怀化 22” ,拖动点 P 在 AC 上运动,可以体验到,PQ与 BD 保持平行,等腰三角形 PQC 存在三种情形思路点拨 1过点 B 作 QP 的平行线交AC 于 D,那么 BD 的长就是 PQ 的最大值名师归纳总结 2线段