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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一部分 函数图象中点的存在性问题 11 因动点产生的相像三角形问题 12 因动点产生的等腰三角形问题 13 因动点产生的直角三角形问题 14 因动点产生的平行四边形问题15 因动点产生的面积问题16 因动点产生的相切问题17因动点产生的线段和差问题 21 其次部分图形运动中的函数关系问题44由比例线段产生的函数关系问题第三部分图形运动中的运算说理问题 31 代数运算及通过代数运算进行说理问题 32 几何证明及通过几何运算进行说理问题第四部分图形的平移、翻折与旋转 41 图形的平移42 图形的翻折43 图形的旋转三角形45 四边形46 圆 47
2、 函数的图象及性质 11 因动点产生的相像三角形问题课前导学 相像三角形的判定定理有3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件, 因此探求两个三角形相像的动态问题,一般情形下第一查找 一组对应角相等判定定理 2 是最常用的解题依据, 一般分三步： 查找一组等角, 分两种情 况列比例方程, 解方程并检验 假如已知 AD,探求 ABC与 DEF相像,只要把夹 A和D的两边表示出来,依据对应边成比例,分AB ACDF和 ABDFDE两种情形列方程应用判定定理 1 解题,先查找一组等角, 再分两种情形争论另外两组对应 角相等应用判定定理 3 解题不多见, 依据三边对应成比例列连比式
3、解方程（组）仍有一种情形, 争论两个直角三角形相像, 假如一组锐角相等, 其中一个 直角三角形的锐角三角比是确定的, 那么就转化为争论另一个三角形是直角三 角形的问题求线段的长, 要用到两点间的距离公式, 而这个公式简洁记错 懂得记忆比较好如图 1,假如已知 A、B两点的坐标,怎样求A、B 两点间的距离呢？我们以 AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边 AB的长了水平距离 等于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离BC的长就是 A、B两点间的水平距离,AC就是 A、B两点间的竖直距离,等名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页精选学习资料
4、 - - - - - - - - - 于 A、B 两点的纵坐标相减图 1 图 1 图 2 例 1 湖南省衡阳市中考第 28 题二次函数 yax 2bxc（a 0）的图象与 x 轴交于 A 3, 0 、B1, 0两点,与 y 轴交于点 C0, 3m（m0）,顶点为 D（1）求该二次函数的解析式（系数用含 m的代数式表示）；（2）如图 1,当 m2 时,点 P为第三象限内抛物线上的一个动点,设APC的面积为 S,试求出 S与点 P的横坐标 x 之间的函数关系式及 S的最大值；（3）如图 2,当 m取何值时,以 A、D、C三点为顶点的三角形与OBC相像？动感体验 请打开几何画板文件名 “ 14 衡阳
5、 28” ,拖动点 P运动,可以体验到,当点 P运动到 AC的中点的正下方时,APC的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m的点运动,抛物线的外形会转变,可以体验到,为直角思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便ACD和ADC都可以成2连结 OP, APC可以割补为：AOP与 COP的和,再减去AOC3争论 ACD与 OBC相像,先确定 ACD是直角三角形,再验证两个直 角三角形是否相像 4直角三角形 ACD存在两种情形图文解析（1）由于抛物线与 x 轴交于 A 3, 0 、B1, 0 两点,设 ya x3 x1 代入点 C0, 3m ,得 3m3a解得 am所以该二次函数的解析式为ym x3
6、 x1 mx 22mx3m（2）如图 3,连结 OP当 m2 时,C0, 6 ,y2x 24x6,那么 P x, 2x 24x6 由于 S AOP12 OA y P 322 x 24x6 3x 26x9, S COP1OC x P 3x,S AOC9,所以 SS APCS AOPS COPS AOC3x 29x23 x 3 2 272 4所以当 x 32 时,S取得最大值,最大值为 274图 3 图 4 图 5 图 6 （3）如图 4,过点 D作 y 轴的垂线,垂足为 E过点名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - A作
7、x 轴的垂线交 DE于 F由 ym x3 x1 mx 1 OC13m24m,得 D 1, 4m 在 Rt OBC中,OB假如 ADC与 OBC相像,那么ADC是直角三角形,而且两条直角边的 比为 13m如图 4,当 ACD90 时,OA ECED所以 3 m3 m解得 m11此时CAOC3,OC3所以CA CDOC OB所以 CDA OBCCDEDOB如图 5,当 ADC90 时,FA EDEC所以 4 1 m2 m解得m22此时DAFD22 2,而OC3 m3 2 2因此 DCA与 OBC不相像DCECmOB综上所述,当 m1 时, CDA OBC考点舒展第（2）题仍可以这样割补：如图 6,
8、过点 P作 x 轴的垂线与 AC交于点 H由直线 AC：y2x6,可得 H x, 2x6 又由于 P x, 2 x 24x6 ,所 以 HP2x 26x由于 PAH与 PCH有公共底边 HP,高的和为 A、C两点间 的水平距离 3,所以SS APCS APHS CPH3 22x 26x 3x322724例 2 2022年湖南省益阳市中考第21 题如图 1,在直角梯形 ABCD中,AB/ CD,ADAB,B60 ,AB10,BC4,点 P沿线段 AB从点 A 向点 B运动,设 APx（1）求 AD的长；（2）点 P 在运动过程中,是否存在以 A、P、 D 为顶点的三角 形与以 P、C、B 为顶点
9、的三角形相像？如存在,求出 x 的值；如不存在,请说明理由；图 1 （3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为 动感体验S1、 S2,如 SS1S2,求 S 的最小值 . 请打开几何画板文件名“14 益阳 21” ,拖动点 P在 AB上运动,可以体验到,圆心 O的运动轨迹是线段 BC的垂直平分线上的一条线段观看 S随点 P运动的图象,可以看到, S有最小值,此时点 离得很近而已P看上去象是 AB的中点,其实思路点拨 1第（2）题先确定 PCB是直角三角形,再验证两个三角形是否相 似名师归纳总结 2第（ 3）题懂得 PCB的外接圆的圆心O很关键,圆心O在确定的 BC第 3 页,共 41
10、页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的垂直平分线上,同时又在不确定的BP的垂直平分线上而BP与 AP是相关的,这样就可以以 AP为自变量,求 S 的函数关系式 图文解析（1）如图 2,作 CHAB于 H,那么 ADCH在 Rt BCH 中, B60,BC4,所以 BH2,CH 23 所以 AD 2 3 （2）由于APD 是直角三角形,假如APD 与 PCB 相像,那么PCB 肯定是直角三角形如图 3,当 CPB90 时, AP1028所以AP AD8 2 34 3 3,而PC PB3 此时APD 与 PCB 不相像图 2 图 3 图 4 如图 4,当
11、BCP90 时, BP2BC8所以 AP2所以AP23所以 APD60 此时APD CBPAD 2 3 3综上所述,当 x2 时, APD CBP（3）如图 5,设 ADP 的外接圆的圆心为 G,那么点 G是斜边 DP 的中点设PCB 的外接圆的圆心为 O,那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上,设这条直线与BC 交于点 E,与 AB 交于点 F设 AP2m作 OM BP 于 M,那么 BMPM 5m在 Rt BEF 中,BE2, B60 ,所以 BF4在 Rt OFM 中,FM BF BM45mm1,OFM 30 ,所以 OM3 m 13所以 OB 2BM 2OM 25 m 2 1 m 1
12、2在 Rt ADP中,DP 2AD 2AP 2124m 2所3以 GP 23m 2于是 SS1S2 GP 2OB 2 3 m 25 m 2 1 m 1 237 m 232 m 85所以当 m 16 时,S取得最小值,最小值为 1133 7 7图 5 图 6 考点舒展 关于第（ 3）题,我们再争论个问题问题 1,为什么设 AP2m呢？这是由于线段 ABAPPMBMAP2BM10这样 BM5m,后续可以削减一些分数运算这不影响求 S的最小值问题 2,假如圆心 O在线段 EF的延长线上, S关于 m的解析式是什么？如图 6,圆心 O在线段 EF的延长线上时,不同的是1mFMBMBF5 m 4此时 O
13、B 2BM 2OM 25 m 2 1 1 m 这并不影响 S关于 m的解析式3例 3 2022 年湖南省湘西市中考第 26 题如图 1,已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B两点,抛物线 yx 2bxc 经过 A、B两点,点 P在线段 OA上,从点 O动身,向点 A以每秒 1 个单位的速度匀速运动；同时,点Q在线段 AB上,从点 A动身,向点 B以每秒 2 个单位的速度匀速运动,连结 PQ,设运动时间为 t 秒（1）求抛物线的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）问：当 t 为何值时, AP
14、Q为直角三角形；（3）过点 P 作 PE/ y 轴,交 AB于点 E,过点 Q作 QF/ y 轴,交抛物线于点 F,连结 EF,当 EF/ PQ时,求点 F 的坐标；（4）设抛物线顶点为 M,连结 BP、BM、MQ,问：是否存在 t 的值,使以 B、Q、M为顶点的三角形与以 O、B、P 为顶点的三角形相像？如存在,恳求出 t 的值；如不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15 湘西 26” ,拖动点 P在 OA上运动,可以体验到, APQ有两个时刻可以成为直角三角形,四边形 EPQF有一个时刻可以成为平行四边形,MBQ与 BOP有一次机会相像 思路点拨1在 APQ中,A45
15、,夹A 的两条边 AP、AQ都可以用 t 表示,分两种情形争论直角三角形 APQ2先用含 t 的式子表示点 P、Q的坐标,进而表示点 E、F 的坐标,依据 PEQF列方程就好了 3 MBQ与 BOP都是直角三角形,依据直角边对应成比例分两种情形争论A3, 0,B0, 3图文解析 （1）由 y x3,得将 A3, 0 、B0, 3 分别代入 y x 2bxc,得c93 bc0,解得b2,3.c3.所以抛物线的解析式为yx22x3（2）在 APQ中, PAQ45 ,AP3t ,AQ三角形 APQ：2 t 分两种情形争论直角当 PQA90 时, AP2 AQ解方程 3t 2t ,得 t 1（如图 2
16、）当 QPA90 时,AQ2 AP解方程 2 t 2 3 t ,得 t 1.5（如图 3）图 2 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4,由于 PE/ QF,当 EF/ PQ时,四边形 EPQF是平行四边形所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ由于 xPt ,xQ3t ,所以 yE3t ,yQt ,yF3 t 223t 3 t 24t 由于 yEyPyFyQ,解方程 3t t 24t t ,得 t 1,或 t 3（舍去）所以点 F 的坐标为 2, 3（4）由 yx 22x3 x1 24,得 M1, 4由A3, 0 、B0, 3 ,可知 A、B两点间的水平距离、竖直距离相等,AB3 2 由B0,
17、3 、M1, 4,可知 B、M两点间的水平距离、竖直距离相等,BM2 所以 MBQBOP90 因此 MBQ与 BOP相像存在两种可能：名师归纳总结 当BM BQOB OP时,3222t3解得t9（如图 5）第 5 页,共 41 页t4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当BM BQOP OB时,3222tt整理,得 t23t 30此方程无实根3考点舒展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P t , 0 ,E t , 3 t ,Q3t , t ,依据 PE方向,将点 Q向上平移,得 F3 t , 3 再将 F3 t , 3代入 y x 22x3,得 t
18、1,或 t 3 12 问题课前导学 我们先回忆两个画图问题：因动点产生的等腰三角形1已知线段 AB5 厘米,以线段 AB为腰的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB6 厘米,以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆,圆上除 了两个点以外,都是顶点 C已知底边画等腰三角形,顶角的顶点在底边的垂直平分线上,垂足要除外在争论等腰三角形的存在性问题时,一般都要先分类假如 ABC是等腰三角形, 那么存在 ABAC,BABC,CACB三种 情形解等腰三角形的存在性问题, 有几何法和代数法, 把几何法和代数法相结
19、合,可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、运算哪些题 目适合用几何法呢？假如 ABC的A（的余弦值） 是确定的, 夹A的两边 AB和 AC可以用含x 的式子表示出来,那么就用几何法如图1,假如 ABAC,直接列方程；如图 2,假如 BABC,那么1 2ACABcosA；如图 3,假如 CACB,那么1ABACcosA2代数法一般也分三步：排列三边长,分类列方程,解方程并检验假如三角形的三个角都是不确定的, 而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来,那么依据两点间的距离公式,三边长（的平方）就可以排列出来名师归纳总结 - - - - - - -图 1 图 2 图 3 图 1 例
20、9 2022年长沙市中考第 26 题如图 1,抛物线 yax 2bxc（a、b、c 是常数, a 0）的对称轴为y轴,且经过 0,0 和a,1两点,点 P在该抛物线上运动,以点P为圆心的 P16总经过定点 A0, 2（1）求 a、b、c 的值；（2）求证：在点 P 运动的过程中, P 始终与 x 轴相 交；（3）设 P 与 x 轴相交于 M x1, 0 、Nx2, 0 两点,当 AMN为等腰三角形时,求圆心 P的纵坐标动感体验请打开几何画板文件名 “ 14 长沙 26” ,拖动圆心 P在抛物线上运动,第 6 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可以体验到,圆与x
21、轴总是相交的,等腰三角形AMN存在五种情形MN4思路点拨 1不算不知道,一算真神奇,原先P 在 x 轴上截得的弦长是定值2等腰三角形 AMN存在五种情形, 点 P的纵坐标有三个值, 依据对称性,MAMN和 NANM时,点 P的纵坐标是相等的图文解析 （1）已知抛物线的顶点为 0,0 ,所以 yax 2所以 b0,c0将 a , 1 代入 yax 2,得 1 a 解得 a 1（舍去了负值）16 16 4（2）抛物线的解析式为 y 1 x ,设点 P 的坐标为 , 1x 24 4已知 A0, 2,所以 PA x 2 1 x 22 2 1 x 441 x 4 16 4而圆心 P到 x 轴的距离为 1
22、4 x ,所以半径 PA圆心 P到 x 轴的距离所以在点 P运动的过程中, P始终与 x 轴相交（3）如图 2,设 MN的中点为 H,那么 PH垂直平分 MN在 Rt PMH中,PM 2PA 216 1 x 44,PH 2 14 x 216 1 x ,所以 MH 24所以 MH2因此 MN4,为定值等腰 AMN存在三种情形：如图 3,当AMAN时,点 P为原点 O重合,此时点 P的纵坐标为 0图 2 图 3 图 4 图 5 如图 4,当 MAMN时,在 Rt AOM中,OA2,AM4,所以 OM2 3 此时 xOH2 3 2所以点 P的纵坐标为 1 x 2 1 2 3 2 2 3 1 24 2
23、 34 4如图 5,当 NANM时,依据对称性,点 P的纵坐标为也为 4 2 3 如图 6,当 NANM4 时,在 Rt AON中,OA2,AN4,所以 ON2 3 此时 xOH2 3 2所以点 P的纵坐标为 1 x 2 1 2 3 2 2 3 1 24 2 34 4如图 7,当 MNMA4 时,依据对称性,点 P 的纵坐标也为 4 2 3 图 6 图 7 考点舒展 假如点 P在抛物线 y 1 x 上运动,以点 P为圆心的 P总经过定点 B0, 41 ,那么在点 P运动的过程中, P始终与直线 y1 相切这是由于：设点 P的坐标为 , 14 x 已知 B0, 1 ,所以 PB x 2 14 x
24、 21 2 14 x 21 2 14 x 21而圆心 P到直线 y1 的距离也为 1x 21,所以半径 PB圆心 P到直线 y41 的距离所以在点 P运动的过程中, P 始终与直线 y 1 相切例 10 2022 年湖南省张家界市中考第 25 题如图 1,在平面直角坐标系中, O为坐标原点,抛物线 yax 2bxc（a 0）过名师归纳总结 O、B、C三点, B、C坐标分别为 10, 0和第 7 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 18,24 5,以 OB为直径的 A经过 C点,直线 l 垂直 x 轴于 B点（1）求直线5BC的解析式；（2
25、）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点 M是A上一动点（不同于 O、B）,过点 M作A的切线,交 y 轴 于点 E,交直线 l 于点 F,设线段 ME长为 m,MF长为 n,请猜想 mn的值,并 证明你的结论；（4）如点 P从 O动身,以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动,点 Q同时从 B 动身,以相同速度向点C作直线运动,经过t （0t 8）秒时恰好使 BPQ为等腰三角形,恳求出满意条件的t 值图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 “ 14 张家界 25” ,拖动点 M在圆上运动, 可以 体验到, EAF保持直角三角形的外形, AM是斜边上的高拖动点 Q在 BC上运动,可以体验到,B
26、PQ有三个时刻可以成为等腰三角形思路点拨 1从直线 BC的解析式可以得到 OBC的三角比,为争论等腰三角形 BPQ作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便3第（3）题连结 AE、AF简洁看到 AM是直角三角形 EAF斜边上的高 4 第（4）题的 PBQ中,B 是确定的,夹 B的两条边可以用含 角形t 的式子表示分三种情形争论等腰三图文解析 （1）直线 BC的解析式为 y 3x 15（2）由于抛物线与 x 轴交于 O、4 2B10, 0 两点,设 yax x10 代入点 C185 , 245,得 245 a 185 325 解得 a 524所以 y 5x x 10 5x 2 25x 5 x 5
27、 2 125抛物线24 24 12 24 24的顶点为 5, 12524（3）如图 2,由于 EF切A于 M,所以 AMEF由 AEAE,AOAM,可得 Rt AOERt AME所以 12同理 34于是可得 EAF90 所以 51由 tan 5tan 1,得MAMF MEMA所以 ME MFMA 2,即 mn25图 2 （4）在 BPQ中,cosB4 5,BP10t ,BQt 分三种情形争论等腰三角形 BPQ：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 3,当 BPBQ时,10t t 解得 t 5如图 4,当 PBPQ
28、时,1 2BQBPcosB 解方程1 2t4 10 54t ,得t8013 如图 5,当 QBQP时,1 2BPBQcosB 解方程 1 210tt ,得t50513图 3 图 4 图 5 图 6 考点舒展 在第（ 3）题条件下,以 EF为直径的 G与 x 轴相切于点 A如图 6,这是由于 AG既是直角三角形 EAF斜边上的中线,也是直角梯形 EOBF的中位线,因此圆心 G到 x 轴的距离等于圆的半径, 所以 G与 x 轴相切 于点 A例 11 2022年湖南省邵阳市中考第26 题在平面直角坐标系中,抛物线yx 2 mn xmn（mn）与 x 轴相交于A、B 两点（点 A位于点 B的右侧）,与
29、 y 轴相交于点 C（1）如 m2,n1,求 A、B 两点的坐标；（2）如 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧, C点坐标是 0, 1 ,求 ACB的大小；（3）如 m2, ABC是等腰三角形,求 n 的值 动感体验请打开几何画板文件名“14 邵阳 26” ,点击屏幕左下方的按钮（ 2）,拖动点 A在 x 轴正半轴上运动,可以体验到,ABC保持直角三角形的外形点击屏幕左下方的按钮（ 3）,拖动点 B在 x 轴上运动,观看ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上,可以体验到,等腰三角形 1抛物线的解析式可以化为交点式,用ABC有 4 种情形 思路点拨 m,n 表示点 A、B、C的坐标2第（2）题判
30、定直角三角形 ABC,可以用勾股定理的逆定理,也可以用锐角的三角比3第（ 3）题争论等腰三角形 分类解方程ABC,先把三边长（的平方）排列出来,再图文解析 （1）由 yx 2 mn xmn xm xn ,且 mn,点 A位于点 B的右侧,可知 Am, 0 ,B n, 0 如 m2,n1,那么 A2, 0 ,B1, 0 （2）如图 1,由于 C0, mn ,当点 C的坐标是 0, 1 ,mn1,OC1如 A、B两点分别位于 y 轴的两侧,那么 OA OBm n mn1所以 OC 2OA OB所以OC OA OCOB所以 tan 1tan 2所以 12又由于 1 与3 互余,所以 2 与3互余所以
31、 ACB90 （ 3）在 ABC中,已知 A2, 0 ,Bn, 0 ,C0, 2n 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 争论等腰三角形 ABC,用代数法解比较便利： 由两点间的距离公式, 得 AB n2 2,BC 25n 2,AC 244n 2当 ABAC时,解方程 n2 244n 2,得 n 4（如图 2）3当 CACB时,解方程 44n 25n 2,得 n2（如图 3）,或 n2（A、B重合,舍去）当 BABC时,解方程 n225n 2,得n51（如图 4）,或n51（如22图 5）图 1 图 2 图 3 图 4
32、 图 5 考点舒展 第（2）题常用的方法仍有勾股定理的逆定理由于 C0, mn ,当点 C的坐标是 0, 1 ,mn1由 A m, 0 ,B n, 0 ,C0, 1 ,得 AB 2 mn2m 22mnn 2m 2n 22,BC 2n 21,AC 2m 21所以 AB 2BC 2AC 2于是得到 Rt ABC,ACB90 第（3）题在争论等腰三角形 点关于 y 轴对称,可以直接写出ABC时,对于 CACB的情形,此时 A、B两 B 2, 0 ,n2例 12 2022年湖南省娄底市中考第27 题如图 1,在 ABC 中, ACB90,AC4cm,BC3cm假如点 P 由点 B 动身沿 BA 方向向
33、点 A 匀速运动,同时点Q 由点 A 动身沿 AC 方向向点 C 匀速运动,它们的速度均为1cm/s连结 PQ,设运动时间为 t（s）（ 0t4）,解答以下问题： （ 1）设 APQ 的面积为 S,当 t 为何值时, S 取得最大值？ S 的最大值是多少？（2）如图 2,连结 PC,将 PQC 沿 QC 翻折,得到四边形 PQP C,当四边形 PQPC为菱形时,求 t 的值；（3）当 t 为何值时,APQ 是等腰三角形？图 1 图 2 图 3 图 4 动感体验 请打开几何画板文件名“14 娄底 27” ,拖动点 Q在 AC上运动,可以体验到,当点 P 运动到 AB的中点时, APQ的面积最大,
34、等腰三角形 APQ存在三种情形仍可以体验到,当QC2HC时,四边形 PQP C是菱形思路点拨 1在 APQ中,A是确定的, 夹 A的两条边可以用含 t 的式子表示2四边形 PQP C的对角线保持垂直, 当对角线相互平分时, 它是菱形,名师归纳总结 - - - - - - -图文解析 （1）在 Rt ABC中,AC4,BC3,所以 AB5,sin A3 5,cosA4 5作 QDAB 于 D,那么 QD AQ sinA3 5t所以 SS APQ1 2AP QD 1 25t3t 3 10t25 53t52 +15当t5时, S 取得最大值,最大值为15102828第 10 页,共 41 页精选学习
35、资料 - - - - - - - - - （2）设 PP 与 AC 交于点 H,那么 PP QC,AHAPcosA4 5 5t 假如四边形PQP C 为菱形,那么PQPC所以 QC2HC AQAPcosA 解解方程4t2445t,得t20（3）等腰三角形APQ 存在三种情形：513如图 5,当 APAQ 时, 5tt解得t5如图 6,当 PAPQ 时,1 22方程1 2t4 5 5t ,得t40如图 7,当 QAQP 时,1 2APAQcosA 解13方程1 25t4t 得t25513图 5 图 6 图 7 图 8 考点舒展 在此题情境下,假如点Q是 PP C的重心,求 t 的值如图 8,假如
36、点 Q是 PPC的重心,那么QC2 3HC解方程 4 t 23 4 45 5 t ,得 t 6023例 13 2022 年湖南省怀化市中考第 22 题如图 1,已知 Rt ABC中, C90 ,AC8,BC6,点 P 以每秒 1 个单位的速度从 A向 C运动,同时点 Q以每秒 2 个单位的速度从 ABC方向运动,它们到 C点后都停止运动,设点P、Q运动的时间为 t 秒（1）在运动过程中,求 P、Q两点间距离的最大值；（2）经过 t 秒的运动,求 ABC被直线 PQ扫过的面积 S与时间 t 的函数关系 式；（3）P,Q两点在运动过程中, 是否存在时间 t ,使得 PQC为等腰三角形 如存在,求出
37、此时的t 值,如不存在,请说明理由（52.24,结果保留一位小数）动感体验 请打开几何画板文件名“15 怀化 22” ,拖动点 P在 AC上运动,可以体验到, PQ与 BD保持平行,等腰三角形 PQC存在三种情形思路点拨 1过点 B作 QP的平行线交 AC于 D,那么 BD的长就是 PQ的最大值2线段 PQ扫过的面积 S要分两种情形争论,点Q分别在 AB、BC上3等腰三角形 PQC分三种情形争论,先排列三边长图文解析（1）在 Rt ABC中,AC8,BC6,所以 AB10如图 2,当点 Q在 AB上时,作 BD/ PQ交 AC于点 D,那么ABAQ2 t2ADAPt所以 AD5所以 CD3名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图 3,当点 Q在 BC上时,CQ162t2CP8t又由于 CBCD 63 2,所以CQCP CD因此 PQ/ BD所以 PQ的最大值就是 BDCB在 Rt BCD中,BC6,CD3,所以 BD 3 5 所以 PQ的最大值是 3 5 图 1 图 2 图 3 图 4 （2）如图 2,当点 Q在 AB上时, 0