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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 挑战中考数学压轴题 精选中考题训练 第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相像三角形问题例 1 2022 年苏州市中考第 29 题如图 1,已知抛物线 y 1 x 2 1 b 1 x b（b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别交于点4 4 4A、B（点 A 位于点 B 是左侧）,与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 _,点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB 的面积等于2b,且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰
2、直角三角形？假如存在,求出点 明理由；P 的坐标；假如不存在,请说（3）请你进一步探究在第一象限内是否存在点 Q,使得QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相像（全等可看作相像的特别情形）？假如存在,求出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由图 1 答案解： B（b,0）,C（0, ）；假设存在这样的点 P,使得四边形 PCOB 的面积等于 2b,且 PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 . 设点 P 坐标（ x,y）,连接 OP,就,. 过 P 作 PDx 轴, PEy 轴,垂足分别为 D、E, PEO=EOD=ODP=90 . 四边形 PEOD 是矩形 . EPD=9
3、0 . PBC 是等腰直角三角形, PC=PB, BPC=90 . EPC=BPD. PEC PDB. PE=PD,即 x=y.由,解得： . 名师归纳总结 第 1 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 第 1 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载由 PEC PDB 得 EC=DB,即,解得符合题意 . 点 P 坐标为（,）.假设存在这样的点 两个三角形均相像 . Q,使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意 QAB=AOQ+AQO, QAB AOQ, QABAQO. 要使得 QOA 和 QAB 相像,只能
4、OAQ=QAB=90 ,即QAx 轴. b2,ABOA. QOAQBA, QOA= AQB,此时 OQB =90 . 由 QAx 轴知 QA y 轴, COQ=OQA. 要 使 得 QOA 和 OQC 相 似 , 只 能 OCQ=90或 OQC=90 . （）当 OCQ=90 时, QOA OQC. AQ=CO= . 由得：,. 解得：. 点 Q 坐标为（ 1,）. 1.2 因动点产生的等腰三角形问题名师归纳总结 第 2 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 第 2 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 2022学习好资料27
5、 题欢迎下载年扬州市中考第如图 1,抛物线 yax 2 bxc 经过 A1,0、B3, 0、C0 ,3三点,直线 l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点,当PAC 的周长最小时,求点P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点M,使 MAC 为等腰三角形,如存在,直接写出全部符合条件的点 M 的坐标；如不存在,请说明理由图 1 1 直接将 A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可2 由图知： A、B 点关于抛物线的对称轴对称,那么依据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：如连接BC,那么 BC与直线 l 的交点即为符合条件的P点3
6、 由于 MAC的腰和底没有明确,因此要分三种情形来争论：MAAC、 MAMC、 ACMC；可先设出M点的坐标,然后用M点纵坐标表示MAC的三边长,再按上面的三种情形列式求解解： 1 将 A 1,0 、B3 ,0 、C0 ,3 代入抛物线yax2 bxc 中,得：,解得：抛物线的解析式：y x 2 2x32 连接 BC,直线 BC与直线 l 的交点为 P；设直线 BC的解析式为 ykxb,将 B3 , 0 ,C0 ,3 代入上式,得：,解得：直线 BC的函数关系式 y x3；当 x1 时, y2,即 P 的坐标 1 ,2 名师归纳总结 3 抛物线的解析式为：x1,设 M1 ,m,已知 A 1,0
7、 、C0 ,3 ,就：第 3 页,共 22 页MA 2m 24, MC 2m 26m10,AC 210；如 MAMC,就 MA 2MC 2,得：第 3 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载m 24m 26m10,得： m1；如 MAAC,就 MA 2AC 2,得：m 2410,得： m；如 MCAC,就 MC 2AC 2,得：m 26m 1010,得： m0,m6；当 m6 时, M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去；综上可知,符合条件的M点,且坐标为M1 ,1 ,1 ,11
8、,0 在判定该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等学问,等腰三角形时,肯定要依据不同的腰和底分类进行争论,以免漏解第 4 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 2022学习好资料26 题欢迎下载年临沂市中考第如图 1,点 A 在 x 轴上, OA4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 的抛物线的解析式；120 至 OB 的位置（3）在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B
9、为顶点的三角形是等腰三角形？如存在,求点 P 的坐标；如不存在,请说明理由图 1 考点： 二次函数综合题；分类争论；解答： 解：（ 1）如图,过B 点作 BCx 轴,垂足为C,就 BCO=90 , AOB=120 , BOC=60 ,又 OA=OB=4 ,OC=OB=4=2,BC=OB .sin60=4=2,点 B 的坐标为（2, 2）；（2）抛物线过原点O 和点 AB,可设抛物线解析式为y=ax2+bx,将 A （4,0）,B（22）代入,得,解得,此抛物线的解析式为y=x2+x （3）存在,如图,抛物线的对称轴是x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为D,设点 P 的坐标为（ 2,y）,
10、如 OB=OP ,就 22+|y| 2=4 2,名师归纳总结 解得 y=2,第 5 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 第 5 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 y=2 时,在 Rt POD 中, PDO=90,sinPOD= =, POD=60, POB=POD+ AOB=60 +120=180,即 P、 O、B 三点在同始终线上,y=2不符合题意,舍去,2, 2）, 点 P 的坐标为（ 2, 2）2 如 OB=PB ,就 4+|y+22 | =42,解得 y= 2,故点 P 的坐标为（ 2, 2）,
11、如 OP=BP,就 22 2+|y|=42 +|y+2|2,解得 y= 2,故点 P 的坐标为（ 2, 2）,综上所述,符合条件的点P 只有一个,其坐标为（第 6 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2022 如图 1,抛物线1.3 因动点产生的直角三角形问题年广州市中考第24 题y32 x3x3与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧）,与 y 轴交84于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D
12、 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,求点 D 的坐标；（3）如直线 l 过点 E4, 0,M 为直线 l 上的动点,当以 角形有且只有三个时,求直线 l 的解析式图 1 A、B、M 为顶点所作的直角三名师归纳总结 第 7 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 第 7 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1.4 因动点产生的平行四边形问题如图 1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过（1）求抛物线的解析式；A 4,0、 B0,4、C2,0三点（2）如点 M 为第三象限内抛物线上一
13、动点,点M 的横坐标为m, MAB 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出S 的最大值；（3）如点 P 是抛物线上的动点,点Q 是直线 y x 上的动点,判定有几个位置能使以点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点 Q 的坐标图 1 图 2 第 8 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1.5 因动点产生的梯形问题例 2 2022 年衢州市中考第 24 题如图 1,把两个全等的 Rt AOB 和 Rt COD 方别置
14、于平面直角坐标系中,使直角边 OB、OD 在 x 轴上已知点 A1,2,过 A、C 两点的直线分别交ax 2bxc 经过 O、A、 C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；x 轴、y 轴于点 E、F抛物线 y（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M,交 x 轴于点 N,问是否存在这样的点 P,使得四边形 ABPM 为等腰梯形？如存在,求出此时点P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）如 AOB 沿 AC 方向平移（点 A 始终在线段 AC上,且不与点 C 重合）, AOB 在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为 S摸索究 S是否存在最大值？如存在,
15、求出这个最大值；如不存在,请说明理由考点 ：二次函数综合题；分析： （1）抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 O、 A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）依据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元二次方程,求出t 的值,从而可解结论：存在点P（,）,使得四边形ABPM 为等腰梯形；名师归纳总结 （3）本问关键是求得重叠部分面积S的表达式,然后利用二次函数的极值求得S 的第 9 页,共 22 页第 9 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载最大值解答中供应了
16、三种求解面积S 表达式的方法,殊途同归,可认真品味解答： 解：（1）抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 O、A、C,可得 c=0,解得 a=,b=,抛物线解析式为 y= x 2+ x（2）设点 P 的横坐标为t, PN CD, OPN OCD,可得 PN=P（ t,）,点 M 在抛物线上,M（ t,t2+t）如解答图 1,过 M 点作 MG AB 于 G,过 P 点作 PHAB 于 H,AG=yA yM=2 （t 2+ t）= t 2t+2,BH=PN=当 AG=BH 时,四边形 ABPM 为等腰梯形,t 2t+2=,化简得 3t2 8t+4=0,解得 t1=2（不合题意,舍去） , t2
17、=,点 P 的坐标为（,）存在点 P（,）,使得四边形 ABPM 为等腰梯形（3）如解答图 2, AOB 沿 AC 方向平移至 AOB,AB交 x 轴于 T,交 OC 于 Q,AO交 x 轴于 K,交 OC 于 R求得过 A、C 的直线为 yAC= x+3,可设点 A的横坐标为易知 OQT OCD,可得 QT=,点 Q 的坐标为（ a,）解法一：设 AB 与 OC 相交于点 J,a,就点 A（a, a+3）, ARQ AOJ,相像三角形对应高的比等于相像比,=HT= = =2 a,第 10 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 2
18、2 页精选学习资料 - - - - - - - - - KT=AT=学习好资料欢迎下载（3 a）,AQ=yA yQ=（ a+3）=3aS四边形RKTQ=S AKT S ARQ=KT.ATAQ.HTS取到最大值,最大值为=.（3 a）.（3a）.（ a+2）=a 2+a=（a）2+由于0,在线段 AC 上存在点 A（,）,能使重叠部分面积解法二：过点 R 作 RHx 轴于 H,就由 ORH OCD,得 由 RKH AOB,得 由 , 得 KH = OH ,OK= OH,KT=OT OK =aOH 由 AKT AOB,得,就 KT= 由 , 得 =aOH ,即 OH =2a 2,RH=a 1,所以
19、点 R 的坐标为 R（2a2,a 1）S四边形RKTQ=S QOT S ROK=.OT.QT.OK .RHS取到最大值,最大值为=a. a（ 1+a）.（a 1）=a 2+a=（a）2+由于0,在线段 AC 上存在点 A（,）,能使重叠部分面积解法三：名师归纳总结 AB=2,OB=1, tanOAB =tanOAB=, 第 11 页,共 22 页KT=AT.tanOAB =（ a+3）. =a+,第 11 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料a,欢迎下载OK=OT KT=a （a+）=过点 R 作 RH
20、x 轴于 H, tanOAB =tanRKH= =2, RH=2KH又 tanOAB =tanROH= = =,2RH=OK +KH= a+ RH, RH=a 1,OH =2（a 1）,点 R 坐标 R（ 2a 2, a 1）S四边形RKTQ=S AKT S ARQ= .KT.ATAQ.（ xQ xR）= . .（3 a）.（3a）.（ a+2）= a 2+ a=（a）2+由于0,在线段 AC 上存在点 A（,）,能使重叠部分面积 S取到最大值,最大值为第 12 页 共 22 页 参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - -
21、 - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1.6 因动点产生的面积问题例 2 2022 年河南省中考第 23 题如图 1,在平面直角坐标系中,直线 y 1 x 1 与抛物线 yax 2 bx3 交于 A、B 两点,点2A 在 x 轴上,点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点（不与点 A、B重合）,过点 P 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 C,作 PDAB 于点 D（1）求 a、 b 及 sinACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值；连结 PB,线段 PC 把 PDB 分成两个三角形,
22、是否存在适合的 m 的值,使这两个三角形的面积比为 910？如存在,直接写出 m 的值；如不存在,请说明理由图 1 名师归纳总结 第 13 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 第 13 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1.7 因动点产生的相切问题例 1 2022 年河北省中考第 25 题如图 1,A5,0,B3,0,点 C 在 y 轴的正半轴上,CBO45 , CD /AB, CDA 90 点 P 从点 Q4,0动身,沿 x 轴向左以每秒1 个单位长的速度运动,运动时间为t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）
23、当 BCP15 时,求 t 的值；（3）以点 P 为圆心, PC 为半径的 P 随点 P 的运动而 变化,当 P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切 时,求 t 的值图 1 第 14 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 第 15 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载解答： 解：（ 1）当 y=0 时,
24、点 A 在点 B 的左侧,x2+2x+3=0 ,解得 x1= 1,x2=3A B 的坐标分别为（1,0）,（3,0）当 x=0 时, y=3 C 点的坐标为（ 0,3）设直线 AC 的解析式为 y=k 1x+b1（k10）,就,解得,直线 AC 的解析式为 y=3x+3 2 2y= x +2x+3= （ x 1）+4,顶点 D 的坐标为（ 1, 4）（2）抛物线上有三个这样的点Q,3,代入抛物线可得点Q1 的坐标为（ 2,3）； 当点 Q 在 Q1 位置时, Q1 的纵坐标为 当点 Q 在点 Q2 位置时,点Q2 的纵坐标为3,代入抛物线可得点Q2 坐标为（ 1+, 3）； 当点 Q 在 Q3
25、 位置时,点 Q3 的纵坐标为3,代入抛物线解析式可得,点 Q3 的坐标为（1, 3）；综上可得满意题意的点 Q 有三个,分别为：Q1（2,3）,Q2（1+, 3）, Q3（1, 3）（3）点 B 作 BB AC 于点 F,使 BF=BF,就 B为点 B 关于直线 AC 的对称点连接 BD交直线 AC 与点 M ,就点 M 为所求,过点 B作 BEx 轴于点 E 1 和 2 都是 3 的余角, 1=2Rt AOC Rt AFB ,第 16 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - -
26、- 学习好资料 欢迎下载由 A （ 1, 0）,B（3,0）,C（0,3）得 OA=1, OB=3, OC=3,AC=,AB=4 ,BF=,BB =2BF=,由 1=2 可得 Rt AOC Rt BEB,BE=,即BE=,OE=BE OB= 3=B点的坐标为（,）设直线 BD 的解析式为 y=k 2x+b2（k20）,解得,直线 BD 的解析式为： y=x+,联立 BD 与 AC 的直线解析式可得：,解得,M 点的坐标为（,）第 17 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - -
27、学习好资料 欢迎下载1.8 因动点产生的线段和差问题例 2 2022 年山西省中考第 26 题如图 1,在平面直角坐标系中,抛物线 点 C,点 D 是抛物线的顶点y x 2 2x3 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于（1）求直线 AC 的解析式及B、D 两点的坐标；参考答案可在做完后在网上找 第 18 页 共 22 页名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（2）点 P 是 x 轴上的一个动点,过 P 作直线 l/AC 交抛物线于点 Q摸索究： 随着点 P的运动,在抛物线上是否存在点 存
28、在,请直接写出符合条件的点Q,使以 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？如 Q 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）请在直线AC 上找一点 M,使 BDM 的周长最小,求出点M 的坐标图 1 其次部分 图形运动中的函数关系问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题名师归纳总结 例 3 2022 年上海市中考第25 题PE第 19 页,共 22 页在 Rt ABC 中, ACB90 , BC30,AB50点 P 是 AB 边上任意一点,直线第 19 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载EM
29、P12AB,与边 AC或 BC相交于 E点 M 在线段 AP 上,点 N 在线段 BP 上,EMEN,sin13（1）如图 1,当点 E 与点 C 重合时,求 CM 的长；（2）如图 2,当点 E 在边 AC 上时,点 E 不与点 A、C 重合,设 APx,BNy,求 y关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域；（3）如 AME ENB（ AME 的顶点 A、M、E 分别与求 AP 的长ENB 的顶点 E、N、B 对应）,图 1 图 2 备用图2.2 由面积公式产生的函数关系问题例 1 2022 年广东省中考第 22 题如图 1,抛物线 y 1 x 2 3 x 9 与 x 轴交于 A、B 两
30、点,与 y 轴交于点 C,联结 BC、AC2 2（1）求 AB 和 OC 的长；名师归纳总结 第 20 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 第 20 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（2）点 E 从点 A 动身,沿 x 轴向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合）,过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 D设 AE 的长为 m, ADE 的面积为 写出自变量 m 的取值范畴；s,求 s 关于 m 的函数关系式,并（3）在（2）的条件下, 联结 CE,求 CDE 面积的最大值；此时,求出以点 E 为圆
31、心,与 BC 相切的圆的面积（结果保留 ）图 1 例 4 2022 年山西省中考第 26 题名师归纳总结 如图 1,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是平行四边形直线l 经过 O、C 两点,点 A第 21 页,共 22 页的坐标为 8,0,点 B 的坐标为 11,4,动点 P 在线段 OA 上从 O 动身以每秒1 个单位的速度向点 A 运动,同时动点 Q 从点 A 动身以每秒2 个单位的速度沿ABC 的方向向点C运动,过点P 作 PM 垂直于 x 轴,与折线OCB 相交于点 M 当 P、 Q 两点中有一点到第 21 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载达终点时,另一点也随之停止运动,设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（ t0）, MPQ 的面积为 S（1）点 C 的坐标为 _,直线 l 的解析式为 _；（2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式,并写出相应的 t 的取值范畴（3）试求题（ 2）中当 t 为何值时, S 的值最大？最大值是多少？图 1 第 22 页 共 22 页参考答案可在做完后在网上找 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 22 页