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1、2020-2021学年安徽省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若21,a2+1,a+1，则a（ ） A.2B.1或1C.1D.12. 设命题p：所有矩形都是平行四边形，则p为（ ） A.所有矩形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是矩形C.有的矩形不是平行四边形D.不是矩形的四边形不是平行四边形3. 如果ab，那么下列不等式一定成立的是（ ） A.2a2bB.cacbC.a2b2D.c+ac+b4. 函数f(x)x31x的图象可能为（ ） A.B.C.D.5. 若f(x+1)=x+x，则f(x)的
2、解析式为（ ） A.f(x)x2xB.f(x)x2x(x0)C.f(x)x2x(x1)D.f(x)x2+x6. 已知函数f(2x)的定义域是0,2，则函数yf(x1)+f(x+1)的定义域是（ ） A.1B.1,2C.1,3D.2,37. 对于函数y=f(x)，xR，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数f(x)=x2+ax,x22ax5,x2，若存在x1，x2R，且x1x2，使得f(x1)f(x2)，则实数a的取值范围为（ ） A.(,4)B.(,14)C.(,3)D
3、.(,8)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A.yx与y=x3B.y|t1|与y=(x1)2C.yx2与y|x|2D.y=x+1x21与y=1x1 下列命题正确的有（ ） A.a，bR，|a2|+(b+1)20B.若ab0，则a1+ab1+bC.函数f(x)=x+1x2(x0)的最小值为4D.ab0是a2+b20的充要条件 已知全集U和集合A，B，C，若ABUC，则下列关系一定成立的有（ ） A.ABAB.BCBC.CUAD.(U
4、A)(UC)U 若函数f(x)满足对x1，x2(1,+)，当x1x2时，不等式f(x1)f(x2)x12x221恒成立，则称f(x)在(1,+)上为“平方差增函数”，则下列函数f(x)中，在(1,+)上是“平方差增函数”有( )x12 A.f(x)4x1B.f(x)=x2+x+1xC.f(x)2x22x+1D.f(x)x22x+1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)=2x2+1x，则f(1)_ 已知幂函数f(x)的图象过点(2,2)，则f(x)的单调递增区间为_ 已知集合Ax|1x0，则x+2yx+4y的最大值为_ 四、解答题：本题共6
5、小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 已知集合Ax|x2+2x30，集合Bx|x+a|0的解集为(1,3)，求a+b的值； （2）若ba5，解关于x的不等式f(x)4x+2 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x（万元）的专项补贴（补贴资金不超过20万元），并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服A公司在收到政府x（万元）补贴后，防护服产量将增加到t=615x+4（万件），A公司生产t（万件）防护服还需要投入成本60+3x+50t（万元） （1）将A公司生产防护服的利润y（万元）表示为补贴x（万元）的函数（政府贴x万元计入公司收入
6、）； （2）政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？并求出利润的最大值 已知实数x0，y0，且2xyx+y+a(x2+y2)(aR) （1）当a0时，求x+4y的最小值，并指出取最小值时x，y的值； （2）当a=12时，求x+y的最小值，并指出取最小值时x，y的值 已知定义在R上的函数f(x)的单调递增函数，且对x，yR，都有f(x+y)f(x)+f(y)+1，f(2)5 （1）求f(0)，f(1)的值； （2）若对x13,12，都有f(kx2)+f(2x1)0)，请判断ug(x)是不是函数yf(u)的一个“等值域变换”？并说明理由； （2）已知单调函数yf(u)的定义域为Au|1u
7、2，若ug(x)=x2+ax+1x2+x+1是函数yf(u)的一个“等值域变换”，求实数a的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年安徽省某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若21,a2+1,a+1，则a+12或a2+12，再根据元素的互异性进行检验即可【解答】若21,a2+1,a+1，则a+12或a2+12，所以a1或1，当a1时，a2+1a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a1时，a+10，a2+12，合题意，故a12.【答案】C【考点】命
8、题的否定【解析】根据全称量词命题p的否定是存在量词命题，判断即可【解答】命题p：所有矩形都是平行四边形，则p为：有的矩形不是平行四边形3.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐一判断即可【解答】由ab，可得2ab，可得ab，所以cacb，故B错误；若a0，b2，则a2b，可得c+ac+b，故D正确4.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】判断函数的奇偶性和单调性即可求出【解答】函数的定义域为x|x0， f(x)x31x=(x31x)f(x)， 函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除BC，当x0时，函数f(x)为增函数，故排除D，5.【答案】C【考点】函数
9、解析式的求解及常用方法【解析】根据题意设x+1t，则t1，求出f(t)，即可得出f(x)的解析式【解答】函数f(x+1)=x+x，设x+1t，则t1， x=t1， f(t)(t1)2+(t1)t2t， f(x)x2x，(x1)6.【答案】C【考点】函数的概念及其构成要素【解析】由f(2x)的定义域求出f(x)的定义域，yf(x1)+f(x+1)有意义，可得0x14，且0x+14，即可求出函数的定义域【解答】 函数yf(2x)的定义域是0,2，即0x2， 02x4，即f(x)的定义域为0,4，yf(x1)+f(x+1)有意义，可得0x14，且0x+14，可得1x3，故函数yf(x1)+f(x+1
10、)的定义域是1,3，7.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断奇偶函数图象的对称性【解析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论【解答】解：例如f(x)=x24满足|f(x)|的图象关于y轴对称，但f(x)不是奇函数，所以，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”推不出“y=f(x)是奇函数”，当“y=f(x)是奇函数”f(x)=f(x)|f(x)|=|f(x)|y=|f(x)|为偶函数，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”，所以，“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要而
11、不充分条件.故选B.8.【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】根据分段函数的解析式，讨论a的取值范围，结合二次函数的图象及性质，即可求得a的取值范围【解答】由题意知，yx2+ax的对称轴为x=a2，当a22，即a4a5，解得ab0时，若a1+ab1+b，则a(1+b)b(1+a)，即ab，此式显然成立，故B正确；当x1时，函数f(x)=x+1x2=1100)的最小值不是4，故C错误；取a0，b1，满足ab0，此时a2+b210， ab0是a2+b20的不充分条件，故D错误【答案】A,C,D【考点】交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】根据集合的关系，以及集合的交并补
12、即可判断【解答】如图阴影表示集合C，矩形表示集合U， ABUC， ABA，BCUA，CUA，(UA)(UC)U，【答案】B,C【考点】函数单调性的性质与判断【解析】令g(x)f(x)x2，问题转化为判断g(x)在(1,+)上是增函数，分别对各个选项判断即可【解答】若函数f(x)满足对x1，x2(1,+)，当x1x2时，不等式f(x1)f(x2)x12x221恒成立，则f(x1)f(x2)x12x221=f(x1)x12f(x2)x22(x1x2)(x1+x2)0，令g(x)f(x)x2，则g(x1)g(x2)x1x20，x1，x2(1,+)，且x1x2， g(x)在(1,+)上是增函数，对于A
13、:f(x)4x1，则g(x)f(x)x2x2+4x1，对称轴是x2，故g(x)在(1,2)递增，在(2,+)递减，故A错误；对于B:f(x)x2+x+1x，则g(x)f(x)x2x+1x，是对勾函数，故g(x)在(1,+)递增，故B正确；对于C:f(x)2x22x+1，故g(x)f(x)x2x22x+1，对称轴是x1，故g(x)在(1,+)递增，故C正确；对于D:f(x)x22x+1，则g(x)f(x)x22x+1，故g(x)在(1,+)递减，故D错误；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】3【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式求出f(1)的值，结合
14、奇函数的性质分析可得答案【解答】根据题意，当x0时，f(x)=2x2+1x，则f(1)3，又由f(x)为奇函数，则f(1)f(1)3，故答案为：3【答案】(0,+)【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的图象与性质，求出解析式，再求f(x)的单调递增区间【解答】幂函数的f(x)xa图象过点(2,2)， 2a=2，解得a=12， f(x)x12， f(x)的单调递增区间是(0,+)【答案】(,13,+)【考点】交集及其运算【解析】分别求出集合B，C，再根据BC，可得2+a1或1+a4，解得即可求出a的取值范围【解答】集合Ax|1x2，By|yx2,xA，Cy|yx+a,xA， B(1,4)，C(
15、1+a,2+a)， BC， 2+a1或1+a4， a1或a3，故a的取值范围为(,13,+)，【答案】2【考点】基本不等式及其应用【解析】先将x+2yx+4y平方，然后化简，利用基本不等式求得最值，从而可得结论【解答】(x+2yx+4y)2=x+4y+4xyx+4y=1+4xyx+4y=1+4xy+4yx1+42xy4yx=1+12，当且仅当xy=4yx时取得等号，所以x+2yx+4y2，所以x+2yx+4y的最大值为2四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【答案】解不等式x2+2x30，得3x1，即A(3,1)，当a3时，由|x+3|1，解得4x2，即集
16、合B(4,2)，所以AB(3,2)，AB(4,1)；因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集，又集合A(3,1)，B(a1,a+1)，所以a13a+13a+11，解得0a2，即实数a的取值范围是0a2【考点】充分条件、必要条件、充要条件交集及其运算【解析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其交集，并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可【解答】解不等式x2+2x30，得3x1，即A(3,1)，当a3时，由|x+3|1，解得4x2，即集合B(4,2)，所以AB(3,2)，AB(4,1)；因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B
17、是集合A的真子集，又集合A(3,1)，B(a1,a+1)，所以a13a+13a+11，解得0a2，即实数a的取值范围是0a2【答案】因为不等式f(x)0等价于ax2+bx+30，它的解集是(1,3)，所以1和3是一元二次方程ax2+bx+30的两实数根，由一元二次方程根与系数关系，得1+3=ba13=3a，解得a1，b2，所以a+b1将不等式f(x)4x+2化为ax2(a+1)x+10，即(x1)(ax1)0(*)1当a0时，不等式(*)的解为x0时，不等式(*)化为(x1)(x1a)0，(*)当0a1时，解不等式(*)，得x1a；当a1，即1a=1时，不等式(*)的解为x1；当a1，即1a1
18、时，解不等式(*)得x1；3当a0时，不等式(*)化为(x1)(x1a)0，且1a1，解此不等式得1ax1；综上，当a0时，不等式的解集为x|1ax1；当a0时，不等式的解集为x|x1；当0a1时，不等式为x|x1a；当a1时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为x|x1【考点】一元二次不等式的应用【解析】（1）由不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求a+b（2）不等式化为(x1)(ax1)0，讨论a的取值，即可求出对应不等式的解集【解答】因为不等式f(x)0等价于ax2+bx+30，它的解集是(1,3)，所以1和3是一元二次方程ax2+bx+30
19、的两实数根，由一元二次方程根与系数关系，得1+3=ba13=3a，解得a1，b2，所以a+b1将不等式f(x)4x+2化为ax2(a+1)x+10，即(x1)(ax1)0(*)1当a0时，不等式(*)的解为x0时，不等式(*)化为(x1)(x1a)0，(*)当0a1时，解不等式(*)，得x1a；当a1，即1a=1时，不等式(*)的解为x1；当a1，即1a1时，解不等式(*)得x1；3当a0时，不等式(*)化为(x1)(x1a)0，且1a1，解此不等式得1ax1；综上，当a0时，不等式的解集为x|1ax1；当a0时，不等式的解集为x|x1；当0a1时，不等式为x|x1a；当a1时，不等式的解集为
20、x|x1；当a1时，不等式的解集为x|x1【答案】yx+80t(60+3x+50t)30t602x30(615x+4)602x120450x+42x，x0,20；y120450x+42x1282225x+4+(x+4) x0,20， 4x+424，则(x+4)+225x+42(x+4)225x+4=30，当且仅当x+4=225x+4，即x11时取“”， y1282225x+4+(x+4)12823068即当政府补贴为11万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大利润为68万元【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可；（2）把（1）中求得的函数解
21、析式变形，再由基本不等式求最值【解答】yx+80t(60+3x+50t)30t602x30(615x+4)602x120450x+42x，x0,20；y120450x+42x1282225x+4+(x+4) x0,20， 4x+424，则(x+4)+225x+42(x+4)225x+4=30，当且仅当x+4=225x+4，即x11时取“”， y1282225x+4+(x+4)12823068即当政府补贴为11万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大利润为68万元【答案】当a0时，2xyx+y， 1x+1y=2， x+4y(x+4y)(1x+1y)12=12(5+4yx+xy)12(5+24y
22、xxy)=92，当且仅当4yx=xy且1x+1y=2，即y=34，x=32时取等号，此时x+4y取得最小值92；当a=12时，2xyx+y+12(x2+y2)x+y+12(x+y)2xy， 3xyx+y+12(x+y)23(x+y2)2，解得，x+y4，当且仅当xy即2xyx+y+12(x2+y2)即xy2时取等号，故x+y的最小值4【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）当a0时，由已知可得1x+1y=2，然后利用乘1法，结合基本不等式可求（2）当a=12时，2xyx+y+12(x2+y2)x+y+12(x+y)2xy，然后结合基本不等式可求【解答】当a0时，2xyx+y， 1x+1y=2，
23、 x+4y(x+4y)(1x+1y)12=12(5+4yx+xy)12(5+24yxxy)=92，当且仅当4yx=xy且1x+1y=2，即y=34，x=32时取等号，此时x+4y取得最小值92；当a=12时，2xyx+y+12(x2+y2)x+y+12(x+y)2xy， 3xyx+y+12(x+y)23(x+y2)2，解得，x+y4，当且仅当xy即2xyx+y+12(x2+y2)即xy2时取等号，故x+y的最小值4【答案】令xy0，则f(0+0)f(0)+f(0)+1，所以f(0)1，再令xy1，则f(1+1)f(1)+f(1)+1，则f(1)2，故f(0)1，f(1)2；不等式f(kx2)+
24、f(2x1)1可化为：f(kx2)+f(2x1)+12，即f(kx2+2x1)f(1)在区间13,12上恒成立，又函数在R上单调递增，所以kx2+2x11，即kx2+2x20在13,12上恒成立，即k2(1x21x)恒成立，只需k2(1x21x)min，因为2(1x21x)2(1x12)212，当1x=12时即x2时，2(1x21x)min=12，所以实数k的取值范围为：(,12)【考点】抽象函数及其应用函数单调性的性质与判断【解析】（1）利用赋值法即可求解；（2）利用已知化简不等式，把恒成立问题转化为最值问题，再利用函数性质即可求解【解答】令xy0，则f(0+0)f(0)+f(0)+1，所以
25、f(0)1，再令xy1，则f(1+1)f(1)+f(1)+1，则f(1)2，故f(0)1，f(1)2；不等式f(kx2)+f(2x1)1可化为：f(kx2)+f(2x1)+12，即f(kx2+2x1)f(1)在区间13,12上恒成立，又函数在R上单调递增，所以kx2+2x11，即kx2+2x20在13,12上恒成立，即k2(1x21x)恒成立，只需k0)不是函数yf(u)的一个“等值域变换”，证明：因为yf(u)u2+11，所以f(u)的值域为1,+)，又yfg(x)(x+1x)2+1x2+1x2+3，因为x2+1x22x21x2=2，当且仅当x1时取等号），所以yfg(x)x2+1x2+35
26、，即yfg(x)的值域为5,+)，两函数的值域不同，所以ug(x)x+1x(x0)不是函数yf(u)的一个“等值域变换”因为yf(u)在定义域1,2上为单调函数，所以yf(u)在两端点处取得最值，又因为ug(x)=x2+ax+1x2+x+1是函数yf(u)的一个“等值域变换”，所以yfg(x)与yf(u)值域相同，所以1g(x)2，即g(x)的值域与u的取值范围相同，由u=x2+ax+1x2+x+1，得x2+ax+1u(x2+x+1)，所以(1u)x2+(au)x+1u0有根，所以(au)24(1u)20，即3u2+(2a8)u+4a20，又因为1u2，所以1，2是方程3u2+(2a8)u+4
27、a20的两个根，所以1+2=2a8312=4a23，a=12aa，所以实数a的取值范围是【考点】函数与方程的综合运用函数的值域及其求法【解析】（1）先求出f(u)的值域，以及yfg(x)的值域，根据题中定义即可判断（2）根据题意可得g(x)=x2+ax+1x2+x+1是值域与u的取值范围相同，转化为x2+ax+1u(x2+x+1)，从而可得0，再由1u2，利用韦达定理即可求解【解答】ug(x)x+1x(x0)不是函数yf(u)的一个“等值域变换”，证明：因为yf(u)u2+11，所以f(u)的值域为1,+)，又yfg(x)(x+1x)2+1x2+1x2+3，因为x2+1x22x21x2=2，当
28、且仅当x1时取等号），所以yfg(x)x2+1x2+35，即yfg(x)的值域为5,+)，两函数的值域不同，所以ug(x)x+1x(x0)不是函数yf(u)的一个“等值域变换”因为yf(u)在定义域1,2上为单调函数，所以yf(u)在两端点处取得最值，又因为ug(x)=x2+ax+1x2+x+1是函数yf(u)的一个“等值域变换”，所以yfg(x)与yf(u)值域相同，所以1g(x)2，即g(x)的值域与u的取值范围相同，由u=x2+ax+1x2+x+1，得x2+ax+1u(x2+x+1)，所以(1u)x2+(au)x+1u0有根，所以(au)24(1u)20，即3u2+(2a8)u+4a20，又因为1u2，所以1，2是方程3u2+(2a8)u+4a20的两个根，所以1+2=2a8312=4a23，a=12aa，所以实数a的取值范围是第17页 共18页 第18页 共18页