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1、函数的单调性与曲线的凹凸性教案第1页，本讲稿共34页一、一、函数单调性的判定法函数单调性的判定法定理定理 1.推论推论:例例1.1.解：解：第2页，本讲稿共34页又如又如,内可导内可导,且且等号只在等号只在处成立处成立,故故内单调增加内单调增加.第3页，本讲稿共34页例例2.确定函数的单调区间.解解:令得故的单调增单调增区间为的单调减单调减区间为第4页，本讲稿共34页说明说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,第5页，本讲稿共34页把函数的定义域区间分成若干个区间，把函数的定义域区间分成若干个区间，1写出函数
2、的定义域，并求出函数的导数写出函数的定义域，并求出函数的导数2求出导函数的零点、和导数不存在的点求出导函数的零点、和导数不存在的点(不可导点不可导点)3以导数等于零的点、不可导点为分点，以导数等于零的点、不可导点为分点，并确定导函数在各个区间内的符号，并确定导函数在各个区间内的符号，从而确定函数在每个区间内的单调性。从而确定函数在每个区间内的单调性。总结求函数的单调区间的步骤总结求函数的单调区间的步骤:第6页，本讲稿共34页解解:练习练习1：P153 3(3)第7页，本讲稿共34页第8页，本讲稿共34页例例3.证明时,成立不等式证证:令从而因此且证证证明 第9页，本讲稿共34页例例3.证明时,
3、成立不等式证证:令且从而因此第11页，本讲稿共34页利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使将要证的不等式作恒等变形（通常是移项）使 一端为一端为0,另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(x).求求,验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性.与区间端点处的函数值作比较即得证与区间端点处的函数值作比较即得证.第12页，本讲稿共34页练习练习2：P153 5(3)证明证明:当当 时时 证明证明：sin x tan x 2x.设设 f(x)sin x tan x 2x 则则f(x)在在 内连续内连续 f (x)co
4、s x sec2x 2,从而从而f (x)在在 内单调增加内单调增加 因此当因此当 时时 f(x)f(0)0 sin x tan x 2x 0 也就是也就是 sin x tan x 2x f (0)0,从而从而f(x)在在 内单调增加内单调增加 所以所以f (x)f (0)=0 且第13页，本讲稿共34页定义定义.设函数在区间 I 上连续,(1)若恒有则称图形是凹凹的;(2)若恒有则称图形是凸凸的.二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点拐点.拐点第14页，本讲稿共34页定理定理2.(凹凸判定法)(1)在 I 内则 f(x)在 I 内图形是凹的;(2)在 I
5、 内则 f(x)在 I 内图形是凸的.设函数在区间I 上有二阶导数例例3.判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.第15页，本讲稿共34页说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但在 两侧异号异号,则点是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,第16页，本讲稿共34页例例4.求曲线的拐点.解解:不存在因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸第17页，本讲稿共34页对应例例5.求曲线的凹凸区间及拐点.解解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得3)列表判别故该曲线在及上向上凹,向上凸,点(0,1)及均为拐点.凹凹凸第1
6、8页，本讲稿共34页1写出函数的定义域，并求出函数的导数写出函数的定义域，并求出函数的导数2求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 3判断或列表判断判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点确定出曲线凹凸区间和拐点 确定曲线确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤的凹凸区间和拐点的步骤 第19页，本讲稿共34页解解:练习练习2：P153 9(5)第20页，本讲稿共34页凹凹凸凸拐点拐点是拐点是拐点.曲线在曲线在上是凹的上是凹的,上是凸的上是凸的.故点故点在在第21页，本讲稿共34页内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲
7、线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点第22页，本讲稿共34页作业作业 P152 3(1),(3);5(1),(3);8(1),(3);9(1),(2);预习：第五节，第六节第23页，本讲稿共34页思考与练习思考与练习上则或的大小顺序是()提示提示:利用单调增加,及B1.设在第24页，本讲稿共34页 .2.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及 ;第五节 第25页，本讲稿共34页有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明：备用题备用题第26页，本讲稿共34页令得从而三个拐点为因为所以三个拐点共线.=第27页，本讲稿共34页证明:当时,有证明证明:令,则是凸凸函数即2.
8、(自证)第五节 第28页，本讲稿共34页例例4.4.解：解：第29页，本讲稿共34页第30页，本讲稿共34页第31页，本讲稿共34页第32页，本讲稿共34页 证明证明:例例6.6.当当 时时 证明证明：sin x tan x 2x.设设 f(x)sin x tan x 2x 则则f(x)在在 内连续内连续 f (x)cos x sec2x 2 因为在因为在 内内cos x 1 0 cos2x 1 0 cos x 0 所以所以f (x)0 从而从而f(x)在在 内单调增加内单调增加 因此当因此当 时时 f(x)f(0)0 sin x tan x 2x 0 也就是也就是 sin x tan x 2x 第33页，本讲稿共34页 证明证明:例例6.6.当当 时时 证明证明：sin x tan x 2x.设设 f(x)sin x tan x 2x 则则f(x)在在 内连续内连续 f (x)cos x sec2x 2 因为在因为在 内内cos x 1 0 cos2x 1 0 cos x 0 所以所以f (x)0 从而从而f(x)在在 内单调增加内单调增加 因此当因此当 时时 f(x)f(0)0 sin x tan x 2x 0 也就是也就是 sin x tan x 2x 第34页，本讲稿共34页