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1、高中数学 必修第二册 1/4 第四第四章章综合综合测试测试 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分）1.已知函数 lg 4f xx的定义域为M，函数 0.54xg x 的值域为N，则MN等于（）A.M B.N C.0,4 D.0,+2.函数|31xy 的定义域为1,2，则函数的值域为（）A.2,8 B.0,8 C.1,8 D.1,8 3.已知2913log2xfx，则 1f的值为（）A.1 B.2 C.1 D.12 4.21+log 52等于（）A.7 B.10 C.6 D.92 5.若1005a，102b，则2ab等于（）A.0 B.1
2、 C.2 D.3 6.比较13.11.5、3.12、13.12的大小关系是（）A.113.13.13.1221.5 B.113.13.13.11.522 C.113.13.13.11.522 D.113.13.13.121.52 7.4839log 3log 3log 2log 8等于（）A.56 B.2512 C.94 D.以上都不对 8.已知0ab，下面四个等式：lglglgabab；lglglgaabb；21lglg2aabb；1lglog 10abab 其中正确的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3 9.函数xya（0a且1a）与函数2121yaxx在同一个坐标系内的图像可能是（）
3、高中数学 必修第二册 2/4 A B C D 10.抽气机每次可抽出容器内空气的 60%，要使容器内的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽（）（参考数据：1 20.3010g）A.6 次 B.7 次 C.8 次 D.9 次 11.已知113log 2x，1222x，3x满足3331log3xx，则1x，2x，3x的大小关系是（）A.123xxx B.132xxx C.213xxx D.312xxx 12.已知幂函数 22421mmf xmx在0,上单调递增，函数 2xg xk，当1,2x时，记 f x，g x的值域分别为集合A，B，若ABA，则实数k的取值范围是（）A.0,1 B.0,1 C.
4、0,1 D.0,1 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分）13.若函数 f x的反函数为 12fxx（0 x），则 4=f_。14.化简：326536263ababab _。15.已知0a，且1a，函数log232ayx的图像恒过点P。若点P也在幂函数 f x的图像上，则=f x_。16.当,1x 时，不等式2420 xxmm恒成立，则实数m 的取值范围是_。三三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分分）17.（10 分）（1）计算：222 lg2lg2 lg5lg2lg21；（2）已知log 2am，lg 3an
5、，求2m na的值。高中数学 必修第二册 3/4 18.（12 分）已知1x且43x，1log 3xf x ，2log 2xg x，试比较 f x与 g x的大小。19.（12 分）已知函数 1xf xa（0 x）的图像经过点12,2，其中0a且1a。（1）求a 的值；（2）求函数 1yf x（0 x）的值域。20.（12 分）已知函数 log1log1aaf xxx，0a且1a。（1）求 f x的定义域；（2）判断 f x的奇偶性并予以证明；（3）当1a时，求使 0f x 的 x的解集。21.（12 分）芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可以美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深
6、受人们欢迎，在国内占有很大的市场，某人准备进入芦荟市场栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从 4 月 1 日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10 kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：上市时间（t）50 110 250 种植成本（Q）150 108 150 高中数学 必修第二册 4/4（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系并求出函数关系式：Qatb；2Qatbtc；tQa b；logbQat（2）利用你得到的函数关系式，求芦荟种植成本最低时上市天数t及最低种植成本。22.（12 分）已知函数 2logxaf xat，其中0a且1a。（1
7、）当2a 时，若 f xx无解，求t的取值范围；（2）若存在实数m，n（mn），使得,xm n时，函数 f x的值域也为,m n，求t的取值范围。高中数学 必修第二册 1/5 第四第四章综合章综合测试测试 答案答案解析解析 一一、1.【答案】C【解析】由题意，得|4Mxx，|0Nyy，|104MNxx。2.【答案】B【解析】当0 x 时，0min310y，当2x 时，2max318y，故值域为0,8。3.【答案】D【解析】由2313log2xfx，得 231log2xf x，211log22f。4.【答案】B【解析】221+log 5log 522 22 510。5.【答案】B【解析】由100
8、5a，得2lg5a，由102b，得lg2b，2=1g5+1g21ab。6.【答案】D【解析】3.113.13.111.5=1.51.5，3.113.13.112=22，又幂函数3.1yx在0+，上是增函数，11221.5，3.13.13.111221.5。7.【答案】B【解析】4839223311325log 3log 3log 2log 8log 3log 3log 2log 223212 。8.【答案】B【解析】0ab，a，b同号。当a，b同时小于 0 时不成立；当1ab 时不成立，故只有对。9.【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图像过点0,1，故排除 A、D
9、；二次函数图像的对称轴为直线11xa，当01a 时，指数函数的图像单调递减，101a，C 符合题意；当1a时，指数函数的图像单调递增，101a，B 不符合题意，故选 C。高中数学 必修第二册 2/5 10.【答案】C【解析】设至少抽x次可使容器内的空气少于原来的 0.1%，则160%0.1%x，即0.40.001x，lg0.43x，337.5lg0.42lg2 1x，故选 C。11.【答案】A【解析】由题意，可知3x是函数13xy与3logyx的图像交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数13xy与3logyx的图像，如图所示。由图像可知31x，而113log 20 x，122021x，所以3
10、21xxx，故选 A。12.【答案】D【解析】f x是幂函数，211m，解得2m 或0m。若2m，则 2=f xx在0,上单调递减，不满足条件。若0m，则 2=f xx在0,上单调递增，满足条件，即 2=f xx。当1,2x时，1,4f x，即1,4A；当1,2x时，2,4g xkk，即2,4Bkk。ABA，BA，21k 且44k，解得01k。二二、13.【答案】2【解析】设 4fb，则 124fbb且0b，所以2b。即 42f。14.【答案】4a【解析】21151132651036336622263=26344abababababababa 。15.【答案】12x【解析】设幂函数为 f xx
11、。因为函数log232yx的图像恒过点2,2P，则22，所以1=2，故幂函数为 12f xx。16.【答案】1,2 高中数学 必修第二册 3/5【解析】原不等式变形为212xmm。因为函数12xy在,1 上是减函数，所以111222x，当,1x 时，212xmm恒成立等价于22mm，解得12m 。三三、17.【答案】（1）1（2）12【解析】（1）原式2=lg2 2lg2lg5lg22lg21=lg 2 lg2lg5|lg 21|lg 21 lg 21。（2）（方法一）log 2am，2ma。log 3an，3na。故224 312m nmnaaa。（方法二）log 2am，log 3an，2
12、log 2 log 3log 12212aaam naaa。18.【答案】解：331log 32log 21loglog44xxxxf xg xx ，当413x 时，314x，3log04xx；当43x时，314x，3log04xx。综上当413x 时，f xg x；当43x时，f xg x。19.【答案】（1）12（2）1,3【解析】（1）因为函数 1xf xa（0 x）的图像经过点12,2，所以2 112aa。（2）由（1）得 112xf x（0 x），函数为减函数。当0 x 时，函数取最大值 2，故 0,2f x，所以函数 111101,32xyf xx，故函数 1yf x（0 x）的值
13、域为1,3。20.【答案】（1）1,1（2）见解析。（3）0,1 高中数学 必修第二册 4/5【解析】（1）要使函数 f x有意义，则需1 0,10,xx解得11x 。故所求函数 f x的定义域为1,1。（2）f x为奇函数。证明如下：由（1）知 f x的定义域为1,1，且 log1log1log1log1aaaafxxxxxf x ，故 f x为奇函数。（3）因为当1a时，f x在定义域1,1内是增函数，所以 1011xf xx，解得01x。所以使 0f x 的x的解集是0,1。21.【答案】（1）21342520022Qtt（2）当芦荟上市时间为 150 天时，种植成本最低为 100 元/
14、10 kg【解析】（1）由题表提供的数据知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系不可能是常数函数，故用所给四个函数中任意一个来反映时都应有0a，而函数Qatb，tQa b，logbQat均为单调函数，这与题表所给数据不符合，所以应选择二次函数2Qatbtc。将上述表格中的数据代入2Qatbtc，可得1502 50050,10812 10011015062 500250.abcabcabc，解得1,2003,2425,3abc 所以，芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系为21342520022Qtt。（2）当3215012200t（天）时，2min1342515015010020022Q，即
15、当芦荟上市时间为 150 天时，种植成本最低为 100 元/10 kg。22.【答案】（1）1,4（2）10,4【解析】（1）222log2log 2xxtx无解，222xxt 无解，等价于222xxt 恒成立，高中数学 必修第二册 5/5 即 222xxtg x恒成立，即 maxtg x。221122224xxxg x ，当122x，即1x 时，g x取得最大值14，14t，故t的取值范围为1,4。（2）由题意知 2logxaf xat在,m n上是单调增函数，,f mmf nn即22,mmmmataata 问题等价于关于k的方程20kkaat 有两个不相等的实根，令0kau，则问题等价于关于u的二次方程20uut 在0,u上有两个不相等的实根，即12120,0,0uuu u，即0,1,4tt得104t。t的取值范围为10,4。