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1、高中数学 第二册 1/4 第八章综合测试第八章综合测试 一一、选择题选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若m，n，则mn B.若，则 C.若m，m，则 D.若m，则m 2.如图，O A B 是水平放置的OAB的直观图，6AO ，2BO ，则OAB的面积是（）A.6 B.3 2 C.6 2 D.12 3.BC是RtABC的斜边，PAABC平面，PDBCD于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（）A.8 B.7 C.6 D.5 4.如图，在正方体1111
2、ABCDABC D中，点M，N分别是线段1DB和1AC上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（）A.1BCMN B.1B NCM C.11ABNC MD平面平面 D.1111CDMABC D平面平面 5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（）A.18 B.12 C.6 D.12 6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，13ABAC，16BBBC，E，F为侧棱1AA上的两点，且3EF，则多面体11BBC CEF的体积为（）A.30 B.18 C.15 D.12 7.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 2，BC的中点为M，一只
3、蚂蚁从盒外的B点沿正方形的表面爬到盒内的M点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）高中数学 第二册 2/4 A.13 B.1 C.17 D.25 8.如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为1，线段11B D上有两个动点E，F，且12EF，则下列结论中错误的是（）A.ACBE B.EFABCD平面 C.三棱锥ABEF的体积为定值 D.AEF的面积与BEF的面积相等 9.如图8-7-42，在长方体1111ABCDABC D中，1ADAA，则下列结论中不正确的是（）A.111ABCDBC D平面平面 B.1111ABCDPD PBC D在平面上存在一点 使得平面 C.111ACQDQBC D在直线上存
4、在一点，使得平面 D.111ACRD RBC D在直线上存在一点，使得平面 10.如图，在长方体1111ABCDABC D中，12ABAAAD，E是1DD的中点，114BFC KAB，设过点E，F，K的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线11A D所成角的正切值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 二二、填空题填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上）11.如图所示，正方形ABCD的边长为a，沿对角线AC将ADC折起，若60DAB，则二面角DACB的平面角的大小为_.12.在正三棱锥SABC中，2 3AB，2 5SA，E，F分别为AC，SB的中点.平面
5、过点A，高中数学 第二册 3/4 SBC平面，ABCl平面，则异面直线l和EF所成角的余弦值为_.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为_.14.如图 8-7-46，直角梯形ABCD中，90DAB，ABCD，CEAB于点E.已知22BEAE，30BCE.若将直角梯形绕直线AD旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为_.三三、解答题解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.12分如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm的半球形冰淇淋，
6、请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.12分在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且12CFCGBFDG.求证：（1）四边形EFGH是梯形；（2）AC，EF，GH三条直线相交于同一点.高中数学 第二册 4/4 17.13分在如图所示的多面体中，EFAEB平面，AEEB，ADEF，EFBC，24BCAD，3EF，2AEBE，G是BC的中点。求证：（1）ABDEG平面；（2）BDEG.18.13分如图，已知直角梯形ACD
7、E所在的平面垂直于平面ABC，90BACACD，60EAC，ABACAE.（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DPEAB平面？请证明你的结论.（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.高中数学 第二册 1/5 第八章第八章综合测试综合测试 答案答案解析解析 一一、选择题选择题 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】C【解析】连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了多个高为1的棱锥.这些棱锥的底面积之和为1218nSSSS，所以该多面体的体积为12121111111(1=63333nnVSSSSSS ）.6.【答案】A【解析】111 1 11
8、 11BB C CEFABCA B CFA B CEABCVVVV 111633ABCABCABCSSAFSAE 11653ABCABCSAFAES.13ACAB，6BC，221=6133=62ABCS.15 630BB C CEFV.7.【答案】C 8.【答案】D【解析】A.由题意及图形知，11ACDD B B平面，故可得出ACBE，不符合题意；B.由正方体1111ABCDABC D 的两个底面平行，EF在其底面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EFABCD平面，不符合题意；C.由几何体的性质及图形知，BEF的面积是定值，A点到平面11DD B B的距离是定值，故可得三棱锥ABEF的体积
9、为定值，不符合题意；D.由图形可以看出，点B到EF的距离与点A到EF的距离不相等，故AEF的面积与BEF的面积不相等.9.【答案】D 高中数学 第二册 2/5【解析】如图 D-8-103，在 A 中，由题意得111BCA BCD平面，又11BCBC D 平面，111A BCDBC D平面平面，故 A 正确.在 B 中，设11ADADP，则P为平面11A BCD上的一点，满足11D PBC D平面，故 B 正确.在 C 中，设11BCBCO，连接DO，过点P作PQDO，连接1DQ，由题意推导出11PQDBC D平面平面，在直线1AC上存在一点Q，使得11DQBC D平面，故 C 正确.在 D 中
10、，过1A作1ASOD于点S，111ABCDBC D平面平面，11ASBC D平面，设R为直线1AC上任意一点，连接PR，1D R，则11ASD R一定为异面直线，在直线1AC上不存在一点R，使得11D RBC D平面，故 D 错误.10.【答案】D【解析】延长KE，交CD延长线于点M，延长KF，交CB延长线于点N，连接MN（图略），则MN是过点E，F，K的平面与平面ABCD 的交线l.11ADCN，MNC 是直线l与直线11A D所成角（或所成角的补角）.设122ABAAAD，E是1DD的中点，114BFC KAB，1DE，11142BFC KAB，32CK.MDDEMCCK，NBBFNCCK
11、，1322MDMD，12312NBNB，解得4MD，12NB，426MC，32CN，6tan432MCMNCNC.直线l与直线11A D所成角的正切值 4.二二、填空题填空题 11.【答案】90【解析】如图 D-8-104，取AC的中点E，连接BE，DE，则DEAC，BEAC，所以DEB为二面角DACB的平面角.因为DAAB，60DAB，所以DAB为等边三角形.又ABa，所以BDa，22DEBEa，因此222DEBEBD，所以90DEB.高中数学 第二册 3/5 12.【答案】64【解析】SBC 平面，ABCl平面，SBCABCBC平面平面，lBC.取AB中点D，连接DE，DF（如图 D-8-
12、105），则DEBC，lDE，异面直线l和EF所成角即为DEF或其补角.取BC中点O，则SOBC，AOBC.又SOAOO，.BCSOA平面.又SASOA 平面，BCSA，DEDF.在RtDEF中，3DE，5DF，2 2EF，36cos42 2DEF，异面直线l和EF所成角的余弦值为64.13.【答案】3 14.【答案】20 33 【解析】直角梯形旋转后为圆台，其体积为22126 3=131 32 3=33V 圆台（），矩形ADCE旋转后为圆柱，其体积为2=1 2 3=2 3V 圆柱.所以所求旋转体的体积为26 320 32 333V.三三、解答题解答题 15.【答 案】要 使 冰 淇 淋 融
13、化 后 不 会 溢 出 杯 子，必 须 有VV杯子冰淇淋，而33142=4233Vr冰淇淋，2211=433Vr hh杯子，则有23124433h，解得8h，即当圆锥形杯子的高大于或等于8cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.因为圆锥的侧面积为22212444162Shh，所以当高为8cm时，杯子所用材料面积最小，面积的最小值是16 5cm2.16.【答案】（1）如图D-8-106，连接BD，EHABAD，分别是边，的中点，1=2EHBDEHBD，且.又12CFCGBFDG，13CFCGCBCD.FGBD，且13FGBD，EHFG且EHFG，故四边形EFGH是梯形.（2）由（1）知EF，HG相交，
14、设EFHGK，KEF，EFABC 平面，KABC平面.同理KACD平面，又=ABCACD AC平面平面，高中数学 第二册 4/5 KAC，故EF和GH的交点在直线AC上，AC，EF，GH三条直线相交于同一点.17.【答案】（1）因为ADEF，EFBC，所以ADBC.又因为=2BCAD，G是BC的中点，所以AD BG，所以四边形ADGB是平行四边形，所以ABDG.因为ABDEG 平面，DGDEG 平面，所以ABDEG平面.（2）因为EFAEB平面，AEAEB 平面，所以EFAE.又AEEB，EBEFE，EB，EFBCFE 平面，所以AEBCFE平面.如图 D-8-107，过点D作DHAE交EF于
15、点H，则DHBCFE平面，连接BH，HG.因为EGBCFE 平面，所以DHEG.因为ADEF，DHAE，所以四边形AEHD是平行四边形，所以2EHAD，所以2EHBEBG，又EHBG，EHBE，所以平行四边形BGHE为正方形，所以BHEG.又BHDHH，BHBHD 平面，DHBHD 平面，所以EGBHD平面.因为BDBHD 平面，所以BDEG.18.【答案】（1）线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下：如图 D-8-108，取AB的中点F，BC的中点P连接DP，PF，EF，则FPAC，12FPAC.取AC的中点M，连接EM，EC，因为AEAC且60BAC，所以EAC是正三角形，所以EMAC
16、，所以四边形EMCD为矩形，所以12EDMCAC，又因为EDAC，所以EDFP且EDFP，所以四边形EFPD是平行四边形，所以DPEF.又EFEAB 平面，DPEAB 平面，所以DPEAB平面.（2）如图D-8-108，过点C作CGAB，过点B作BGAC，CGBGG，连接GD.因为EDAC，所以EDBG，所以B，E，D，G四点共面，所以平面EBD与平面ABC相交于BG.因为CDAC，平面ACDEABGC平面，所以CDABGC平面.又因为BGABGC 平面，所以BGCD.又BGGC，CDGCC，所以BGCDG平面，所以BGDG，所以DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角.高中数学 第二册 5/5 设ABACAEa，则GCABa，32DCEMa，所以2237=22GDaaa（），所以2 77GCcoscos DGCGD.