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1、高中数学 必修第二册 1/4 第六第六章章综合综合测试测试 一一、选择题选择题（本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分）1在ABC中，若2 sinbaB，则A等于（）A30或 60 B450 或 60 C120或 60 D30 或 150 2已知向量1,ma，3,2b，且abb，则m（）A8 B6 C6 D8 3已知点1,3A，4,1B，则与向量AB 共线的单位向量为（）A34,55 B43,55 C34,55或3 4,5 5 D43,55或4 3,5 5 4已知非零向量a，b满足|4|ba，且2 aab，则a 与b的夹角为（）A3 B2 C23 D56 5 在
2、ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6sinsinsin5bcBcCaA，则sin A（）A45 B45 C35 D35 6已知在ABC中，0BCABAC ，则ABC一定为（）A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 7向量1,2a，1,1b，且a 与ab的夹角为锐角，则实数满足（）A53 B53 C53且0 D53且5 8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2sinsinsinBAC，ac，且61cos72B，则ca（）A169 B32 C85 D94 9如图 6-5-1，在ABC中，23ANNC，P是BN上一点，若13APtABAC ，则实数t的值为
3、（）高中数学 必修第二册 2/4 A23 B25 C16 D34 10如图 6-5-2，在山脚A处测得该山峰仰角为，对着山峰在平行地面上前进 600 m 后测得仰角为原来的2 倍，继续在平行地面上前进200 3 m后，测得山峰的仰角为原来的 4 倍，则该山峰的高度为（）A200 m B300 m C400 m D100 3 m 11已知O为ABC内一点，若分别满足|OAOBOC ；OA OBOB OCOC OA ；+=0OA OB OC ；+=0aOA bOB cOC （其中a，b，c为ABC中角A，B，C所对的边）则O依次是ABC的（）A内心、重心、垂心、外心 B外心、垂心、重心、内心 C外
4、心、内心、重心、垂心 D内心、垂心、外心、重心 12在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3A，2b，3 3ABCS，则2sinsin2sinabcABC为（）A2 73 B4 213 C4 D6+24 二二、填空题填空题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分）13已知向量a，b的夹角为 60，|2a，|1b，则|2|ab_ 14已知向量a，b满足|5a，|6ab，|4ab，则向量b在向量a 上的投影为_ 15 已知等边ABC的边长为 2，若13APABAC ，12AQAPBC ，则APQ的面积为_ 16 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，
5、b，c，已知13abc，3sin2sinBA，22+32ac c，高中数学 必修第二册 3/4 设ABC的面积为S，2 2Sta，则t的最小值为_ 三三、解答题解答题（本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分）17（10 分）设向量a，b满足|1ab，且|2|5ab（1）求|23|ab的值；（2）求3 ab与2ab的夹角 18（12 分）在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设4a，3c，1cos=8B（1）求b的值；（2）求ABC的面积 19（12 分）已知向量a，b不共线，kcab，dab（1）若cd，求k的值，并判断c，d是否同向；（2）若|ab，a 与b夹角为 60
6、，当k为何值时，cd 20（12 分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin3 cosbAaB（1）求角B的大小；（2）若3b，sin=2sinCA，求ABC的周长 高中数学 必修第二册 4/4 21（12 分）已知a，b是两个单位向量（1）若|3|3ab，求|3|ab的值；（2）若向量a，b的夹角为3，求向量2m ab与23n ba的夹角 22（12 分）如图 6-5-3，为拓展某湿地旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120的公路（长度均超过 2 千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光
7、线路PM，PN，测得2AM 千米，2AN 千米（1）求MN的长度；（2）若60MPN，求两条观光线路PM与PN之和的最大值 高中数学 必修第二册 1/8 第六第六章综合章综合测试测试 答案答案解析解析 一一、1.【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB，化简2 sinbaB得sin2sin sinBAB。sin0B，等式两边同时除以sinB得1sin2A。又A为三角形的内角，30A 或 150。2.【答案】D【解析】向量1,ma，3,2b，4,2mab。又abb，1222=0m，解得8m。3.【答案】C【解析】由题意知，点1,3A，4,1B，则向量3,4AB ，且22|3-4=5AB
8、 ，所以与AB 共线的单位向量为34,55或3 4,5 5。4.【答案】C【解析】由已知非零向量a，b满足|4|ba，且2 aab，可得22=+2=0aabaa b，设a与b的夹角为，则有22|4|cos0aa|a，即1cos2。又因为0,，所以2=3。5.【答案】B【解析】已知等式6sinsinsin5bcBcCaA，利用正弦定理化简得2265bc bca，22265bcabc，3cos5A。又0,A，4sin5A。高中数学 必修第二册 2/8 6.【答案】C【解析】0BCABAC ，0ACABABAC ，220ACAB，可得22=ACAB，2|=|ACAB，可得ABC一定为等腰三角形。7.
9、【答案】C【解析】1,2a，1,1b，1,2ab。a与ab的夹角为锐角，12 20 a ab。解得53，但当0时，a与ab的夹角为 0，不是锐角，应含去。故实数满足53且0。8.【答案】D【解析】在ABC中，2sinsinsinBAC，2bac，22222161cos122272acbacacacBacacca，9736acca，解得9=4ca或4=9ca，ac，9=4ca。9.【答案】C【解析】设BPmBN，由题意及题图知，APABBPABmBN +1ABm ANABmANm AB ，23ANNC，23ANAC，215APmACm AB 。高中数学 必修第二册 3/8 13APtABAC ，
10、1,21,53mtm 解得56m，16t。10.【答案】B【解析】依题意可知600ABBP，200 3BCCP，2223cos222BCBPPCBC BP，230，则15，3sin 60200 3=300 m2PDPC。11.【答案】B【解析】对于，因为|OAOBOC ，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为ABC的外心；对于，因为OA OBOB OC ，所以0OB OAOC ，所以0OB CA ，即OBCA ，同理OABC ，OCAB，即点O为ABC的垂心；对于，因为0OAOBOC ，所以OAOBOC ，设D为BC的中点，则2OAOD ，即点O为ABC的重心；对于，因为0aOAbOBcO
11、C ，易得点O为ABC的内心。12.【答案】B【解析】由三角形面积公式可得1sin3 32bcA，即12sin3 323c ，解得6c。结合余弦定理可得 高中数学 必修第二册 4/8 222222cos2622 6 cos283abcbcA ，则2 7a，由正弦定理有 2 74 212sinsinsin332abcRABC，因为2 sinaRA，2 sinbRB，22 2sincRC，所以2sinsin2sin24 212sinsin2sinsinsin2sin3RABCabcRABCABC。13.【答案】2 3【解析】向量a，b的夹角为 60，且|2a，|1b，222244abaa bb 2
12、2242 1 cos604 112 ，+22 3|ab。14.【答案】1【解析】向量a，b满足|5a，|6ab，|+|4a b，22|25|+2=36abba b，22+|25|+2=16a bba b。5 a b，|1b，向量b在向量a上的投影为5|cos,|1|5 a ba bba bbaba。15.【答案】33【解析】由题意可知，若13APABAC ，则点P为ABC的重心，且ABC为正三角形，则点P为三角形中心。1122AQAPBCPQBC ，则123131233APQS 。16.【答案】4 23【解析】3sin2sinBA，32ba，即23ba。13abc，211333aaca，即ca
13、，即三角形为等腰三角形，则AC边上的高2212 233haaa，高中数学 必修第二册 5/8 则ABC的面积2122 22 22339Saaa。2232acc，22232aa，即22232a，2116a，即14a，则22 22 22 22 22 22 22 24 292993aSataaaaa，当且仅当2 22 2=9aa，即29a，3a 时取等号，故答案为4 23。17.【答案】（1）13（2）4【解析】（1）向量a，b满足|1ab，且|2|5ab。222225=|2|444 114ababa ba b，0a b。2222|23|49124 19 1013 ababa b。（2）22|3|9
14、691010 ababa b，22|2|441+405ababa b，22323275abababa b，3252cos=|3|2|2105ababab ab。0,，=4。18.【答案】（1）22（2）9 74【解析】（1）4a，3c，1cos8B，由余弦定理可得222212cos4324 3228bacacB 。高中数学 必修第二册 6/8 故b的值为22。（2）1cos8B，B为三角形的内角，2213 7sin1cos188BB。又4a，3c，113 79 7sin4 32284ABCSacB 。19.【答案】（1）1k ，c、d反向（2）1【解析】（1）kcab，dab，cd，cd，即=
15、kabab。又向量a，b不共线，,1,k 解得1，1k ，即 cd，故c与d反向。（2）|ab，a与d夹角为60，kc dabab 22221|1|cos60kkkkaa ba bbaa。又cd，故2211|02kkaa，即1102kk，解得1k。故1k 时，cd。20.【答案】（1）3（2）3+3 3【解析】（1）sin3 cosbAaB，由正弦定理得sin sin3sin cosBAAB。在ABC中，sin0A，0B，tan3B，即3B。（2）sin2sinCA，由正弦定理得2ca。又2222cosbacacB，3b，3B，高中数学 必修第二册 7/8 229422 cos3acaa，解得
16、3a（负根舍去），22 3ca，ABC的周长33 3abc。21.【答案】（1）2 3（2）2=3【解析】a，b是两个单位向量，|1ab。又|32|3ab，22232=9|124|9abaa bb，即13a b。221|3+|9|+6+|=9 1+6+1=2 33a baa b b。（2）227223=2|6|2 m nabbaba ba，2221|24|4|4 14172 mabaa bb，2221|234|129|4 1 12972 nbaba ba，则712cos|277 m nm n。又0，2=3。22.【答案】（1）2 3千米（2）4 3千米【解析】（1）在AMN中，由余弦定理得 2222cos120MNAMANAM AN 22122222122 ，高中数学 必修第二册 8/8 所以2 3MN 千米。（2）设PMN，因为60MPN，所以120PNM。在PMN中，由正弦定理得 sinsin 120sinMNPMPNMPN。因为2 34sinsin60MNMPN，所以4sin 120PM，4sinPN，因此314sin 1204sin=4cossin4sin22PMPN 6sin2 3cos4 3sin30。因为0120，所以30+30150。所以当3090，即=60时，PMPN取得最大值4 3。答：两条观光线路距离之和的最大值为4 3千米。