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1、高中数学 必修第二册 1/5 第十第十章章综合综合测试测试 一一、选择题选择题（本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分）1.袋中装有除颜色外完全相同的 3 个红球、2 个白球、l 个黑球，从中随机摸出 2 个球，则与事件“至少有1 个白球”互斥但不对立的事件是（）A.没有白球 B.有 2 个白球 C.红、黑球各 1 个 D.至少有 1 个红球 2.甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A.16 B.15 C.23 D.13 3.若事件A和B是互斥事件，且 0.1P A，则 P B的取值范围是（）A.0,0.9 B.0.1,0.9 C.0,0.9
2、 D.0,1 4.从装有除颜色外完全相同的 2 个红球和 2 个白球的口袋中任取 2 个球，则下列每对事件中，互斥事件的对数是（）“至少有 1 个白球”与“都是白球”；“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个红球”；“至少有 1 个白球”与“恰有 2 个白球”；“至少有 1 个白球”与“都是红球”。A.0 B.1 C.2 D.3 5.抛掷一枚质地均匀的骰子，落地后记事件A为“奇数点向上”，事件B为“偶数点向上”，事件C为“向上的点数是 2 的倍数”，事件D为“2 点或 4 点向上”，则下列每对事件互斥但不对立的是（）A.A与B B.B与C C.C与D D.A与D 6.有 3 个不同的社团，甲、
3、乙两名同学各自参加其中 1 个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（）A.13 B.12 C.23 D.43 7.某幼儿园的一位老师要在六一儿童节这天送给小朋友们（含小朋友甲和乙）每人一本童话书。每个小朋友都可以在小熊维尼历险记 安徒生童话 秘密花园 金银岛这四本书中任选一本，则小朋友甲和乙至少有一位选秘密花园的概率为（）A.14 B.716 C.12 D.916 8.小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面。他想把 4 个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.9 种 9.把一
4、颗骰子抛掷两次，观察向上一面出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组3,22axbyxy只有一个解的概率为（）高中数学 必修第二册 2/5 A.512 B.1112 C.513 D.913 10.遗传学家孟德尔 1856 年用豌豆作实验时，他选择了两种性状不同的豌豆，一种是子叶颜色为黄色，种子性状为圆粒，茎的高度为长茎；另一种是子叶颜色为绿色，种子性状为皱粒，茎的高度为短茎。我们把纯黄色子叶的豌豆种子的两个特征记作YY，把纯绿色子叶的豌豆种子的两个特征记作yy，实验杂交第一代收获的豌豆的两个特征记作Yy，第二代收获的豌豆出现了两个特征分别为YY，Yy，yy这三种，请问
5、，孟德尔豌豆实验第二代收获的有特征Yy的豌豆数量占总收成的（）A.14 B.13 C.12 D.34 11.若一个三位数的各位数字互不相同，且各位数字之和等于 10，则称这个三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）A.1320 B.720 C.12 D.512 12.已知 1fxx，2sinfxx，3cosfxx，24lg1+fxxx，从以上四个函数中任意取两个相乘得到新函数，那么所得新函数为奇函数的概率为（）A.14 B.13 C.12 D.23 二二、填空题填空题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分）13.
6、某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是 90%。”你认为下面两个解释中能代表教练观点的是_（填序号）。该射击运动员射击了 100 次，恰有 90 次击中目标；该射击运动员射击一次，中靶的可能性是 90%。14.在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A表示“出现不大于 4 的偶数点数”，事件B表示“出现小于 6的点数”，则事件（AB）发生的概率为_。15.小明与小华两人做游戏，下列游戏中不公平的是_（填序号）。抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若向上的点数为奇数则小明获胜，若向上的点数为偶数则小华获胜；同时抛掷两枚质地均匀的硬币，若恰有一枚正面向上则小明获胜，若两枚都正面向上则小华获胜；从一副
7、不含大小王的扑克牌中抽一张，若扑克牌是红色的则小明获胜，若扑克牌是黑色的则小华获胜；小明、小华两人各写一个数字 6 或 8，若两人写的数字相同则小明获胜，若两人写的数字不同则小华获胜。16.若从 2，3，6 三个数中任取一个数记为a，再从剩余的两个数中任取一个数记为b，则“ab是整数”的概率为_。三三、解答题解答题（本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分）17.（10 分）一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球。从中随机取出 l 球，求：（1）取出 1 球是红球或黑球的概率；（2）取出 1 球是红球或黑球或白球的概率。高中数学 必修第二册 3/5 1
8、8.（12 分）有 7 位歌手（1 至 7 号）参加一场歌唱比赛，由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次。根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50（1）为了调查大众评委对 7 位歌手的支持情况，现用分层抽样的方法从各组中抽取若干大众评委，其中从B 组抽取了 6 人，请将其余各组抽取的人数填入下表。组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 （2）在（1）中，若 A，B 两组被抽到的大众评委各有 2 人支持 1 号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选 1 人，求这 2 人都支持
9、l 号歌手的概率。19.（12 分）汽车厂生产 A，B，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有 A 类轿车 10 辆。（1）求z的值。（2）用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本，在该样本中任取 2 辆，求其中至少有 1 辆舒适型轿车的概率。（3）用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2。
10、把这 8 辆轿车的得分看成一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率。高中数学 必修第二册 4/5 20.（12 分）某班级 50 名学生的考试分数x分布在区间50,100内，设分数x所属区间的分布频率是 f x，且 0.4,10101,5,6,7,10=,10101,8,9.5nnxnnf xnbnxnn （1）求实数b的值。（2）估算 50 名学生的平均分。（3）考试成绩采用“5 分制”，规定：若考试分数在50,60内则成绩记为 1 分，若考试分数在60,70内则成绩记为 2 分，若考试分数在70,80内则成绩记为 3 分，若考试分数在80,90内则成绩
11、记为 4 分，若考试分数在90,100内则成绩记为 5 分.用分层抽样的方法，从班级中成绩为 1 分、2 分、3 分的学生中随机抽取6 人，再从这 6 人中抽出 2 人，试分析这 2 人的成绩之和为 3 分、4 分、6 分的概率哪个最大（将频率视为概率）。21.（12 分）在一次才艺评比中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的损坏，其可见部分如图 10-4-1所示。（1）根据图中信息，将图 10-4-1中的频率分布直方图补充完整；（2）根据频率分布直方图估计选手成绩的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（3）从成绩在区间80,100内的选手中任选 2 人，求至少有 1
12、人成绩在区间90,100内的概率。高中数学 必修第二册 5/5 22.（12 分）某市举办法律知识问答活动，随机从该市 1868 岁的人群中抽取了一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：18,28，28,38，38,48，48,58，58,68，并绘制如图 10-4-2 的频率分布直方图，再将其分别编号为第 1 组，第 2 组，第 5 组。该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表。组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第 1 组 18,28 5 0.5 第 2 组 28,38 18 a 第 3 组 38,48 27 0.9 第 4 组 48,58 x 0.36 第 5
13、组 58,68 3 0.2 （1）分别求出a，x的值。（2）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人，则第 2，3，4 组每组各应抽取多少人？（3）在（2）的前提下，在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率。高中数学 必修第二册 1/7 第十第十章综合章综合测试测试 答案答案解析解析 一一、1.【答案】C【解析】从装有 3 个红球、2 个白球、1 个黑球的袋中随机摸出 2 个球，所有可能的情况为 2 个红球、2 个白球、1 红 1 黑、1 红 1 白、1 黑 1 白，共 5 种。事件“至少有 1 个白球”包括 2 个白球、
14、1 红 1 白、1 黑 1白 3 种情况，与其互斥但不对立的事件是 1 红 1 黑、2 个红球。2.【答案】C【解析】甲、乙、丙三人站成一排，所有站法为（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲），共 6 种，其中甲、丙相邻的站法有 4 种，所以甲、丙相邻的概率为4263P。3.【答案】A【解析】根据互斥事件的特征，若A发生，则B不发生，故有 010.9P BP A，解得 P B的取值范围是0,0.9。4.【答案】B【解析】对于，“至少有 1 个白球”包括“都是白球”和“1 白 1 红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于，“至少有 1 个白球”包括“都是
15、白球”和“1 白 1 红”两种情况，“至少有 1 个红球”包括“都是红球”和“1 白 1 红”两种情况，两事件可以同时发生，不是互斥事件；对于，“至少有 1 个白球”与“恰有 2 个白球”可以同时发生，不是互斥事件；对于，“至少有 1 个白球”与“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件。5.【答案】D【解析】A和B互斥且对立；B和C既不互斥也不对立；A和D互斥但不对立；C和D既不互斥也不对立，选 D。6.【答案】A【解析】由题意得，甲、乙两位同学参加同一个社团，共有 3 种情况，甲、乙两名同学参加 3 个社团，共有3 39（种）情况，所以这两位同学参加同一个社团的概率为31=93P，故选 A。7
16、.【答案】B【解析】因为小朋友甲和乙在四本书中任选一本包含的样本点总数为4416，小朋友甲和乙都不选秘密花园包含的样本点数为3 39，所以甲和乙至少有一位选秘密花园的概率为9711616P 。8.【答案】B【解析】设硬币的正面为A，反面为B，则不同的摆法有ABABABAB，ABABABBA，ABABBABA，ABBABABA，BABABABA这 5 种。高中数学 必修第二册 2/7 9.【答案】B【解析】点数,a b取值的样本空间共有6636（个）样本点。方程组只有一个解等价于直线3axby与22xy相交，即12ab，即2ba，而满足2ba的点数有1,2，2,4，3,6，共 3 个，故方程组3
17、,22axbxy只有一个解的概率为3311=3612。10.【答案】C【解析】由题意可知，第二代的两个特征是从第一代中随机选取，全部可能如下表：Y y Y YY Yy y Yy yy 共有 4 种等可能出现的结果，其中Yy占 2 种，则Yy出现的概率为21=42。所以第二代收获的有特征Yy的豌豆数量占总收成的12。故选 C。11.【答案】C【解析】“十全十美三位数”包含的样本点为 109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，
18、253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共 40 个，其中奇数有 20 个，所以任取一个“十全十美三位数”，这个数为奇数的概率为201=402P。12.【答案】C【解析】1fxx是奇函数，2sinfxx是奇函数，3cosfxx是偶函数，24lg1fxxx是奇函数，从以上四个函数中任意取两个相乘得到新函数，样本点总数6n，所得新函数为奇函数包含的样本点数3m，所以所得新函数为奇函数的概率为3162mPn。二二、13.【答案】14.【答案】12【解析】随机抛掷一颗骰子一次共有 6 种不同的结果，其中事件A“出现不大于 4 的偶数点数”
19、包括点数为 2，4 两种结果，故 26P A，事件B“出现小于 6 的点数”的对立事件B“出现不小于 6 的点数”只有点数为 6 一种结果，故 16P B，且事件A和事件B是互斥事件，故事件AB发生的概率211662P AB，故答案为12。高中数学 必修第二册 3/7 15.【答案】【解析】在中，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为12，故中的游戏公平；在中，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上的概率11111+=22222P，两枚都正面向上的概率111=224P，故中的游戏不公平；在中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色
20、的概率均为12，故中的游戏公平；在中，张明、张华两人各写一个数字 6 或 8，两人写的数字相同的概率11111+=22222P，两人写的数字不同的概率112PP，故中的游戏公平。16.【答案】13【解析】记取出数为,a b，所有可能结果为（2，3），（2，6），（3，2），（3，6），（6，2），（6，3），共 6 种，满足“ab是整数”的结果有（6，2），（6，3），共 2 种，所以所求概率为2163P。三三、17.【答案】（1）34（2）1112【解析】（1）从 12 个球中任取一球共有 12 种结果，满足条件的共有 9 种结果，所以概率为93124P。（2）从 12 个球中任取一球共有
21、12 种结果，满足条件的共有 11 种结果，所以概率为1112P。18.【答案】（1）由题设知，分层抽样的抽取比例为 6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3（2）29【解析】（1）见答案。（2）记从A组抽到的 3 位评委分别为1a，2a，3a，其中1a，2a支持 1 号歌手；从B组抽到的 6 位评委分别为1b，2b，3b，4b，5b，6b，其中1b，2b支持 1 号歌手，从1a，2a，3a和1b，2b，3b，4b，5b，6b中各抽取 1 人的所有结果如图 D-10-5。高中数学 必修第二册 4/7 由树状
22、图知所有结果共 18 种，其中 2 人都支持 1 号歌手的有1 1a b，1 2a b，2 1a b，22a b，共 4 种，故所求概率42=189P。19.【答案】（1）400（2）710（3）34【解析】（1）解：设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得5010100300n，所以2 000n。则 2000100300150450600400z。（2）解：设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得400=10005a，即2a。因此抽取的容量为 5 的样本中，有 2 辆舒适型轿车、3 辆标准型轿车。用1A，2A表示 2 辆舒适型轿车，用1B，2B，3B表示 3 辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中
23、任取 2辆，其中至少有 1 辆舒适型轿车”，则从样本中任取 2 辆，所有的样本点有（1A，2A）（1A，1B），（1A，2B），（1A，3B），（2A，1B），（2A，2B），（2A，3B），（1B，2B），（1B，3B），（2B，3B），共 10 个。事件E包含的样本点有（1A，2A），（1A，1B），（1A，2B），（1A，3B），（2A，1B），（2A，2B），（2A，3B），共 7 个，故 7=10P E，即所求概率为710。（3）样本平均数19.48.69.29.68.79.39.08.298x。设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”，则事件D包
24、括的样本点有 9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共 6 个，所以6384P D，即所求概率为34。20.【答案】（1）1.9（2）76 分（3）成绩之和为 4 分的概率最大 高中数学 必修第二册 5/7【解析】（1）依题意得频率分布表如下：分数 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100 频率 0.1 0.2 0.3 1.6b 1.8b 由 567891fffff，所以1.9b。（2）平均分约为550.1650.2750.3850.3950.176（分）。（3）由题意知，考试成绩为 1 分、2 分、3 分的频率分别是 0.1，0.2，0.3，故采用分层抽样的方法
25、从成绩为1 分、2 分、3 分的学生中抽取 6 人，应分别从成绩为 1 分、2 分、3 分的学生中抽取 1 人（记为A）、2 人（记为B，C）、3 人（记为D，E，F），再从这些人中抽出 2 人包含的样本点为（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F），共 15 个。成绩之和为 4 分包含的样本点为（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），共 4 个，所以抽取 2 人的成绩之和为 4 分的概率1415P。成绩之和为 3 分包含的样本点为（A，B），（A，C
26、），共 2 个，所以抽取 2 人的成绩之和为 3 分的概率2215P。成绩之和为 6 分包含的样本点为（D，E），（D，F），（E，F），共 3 个，所以抽取 2 人的成绩之和为 6 分的概率331=155P。综上，抽取 2 人的成绩之和为 4 分的概率最大。21.【答案】（1）由茎叶图知，成绩在区间40,50内的人数为 1。由频率分布直方图知，成绩在区间40,50内的频率为0.004 100.04。设参赛的总人数为n，则10.04n，得25n。由频率分布直方图知，成绩在区间90,100内的人数为0.008 10252。结合茎叶图可得频率分布表如下。分数 40,50 50,60 60,70 7
27、0,80 80,90 90,100 频数 1 3 7 8 4 2 频率 0.04 0.12 0.28 0.32 0.16 0.08 所以补全后的频率分布直方图如图 D-10-6 所示。（2）71.8（3）35 高中数学 必修第二册 6/7【解析】（1）见答案。（2）平均值约为450.04550.12650.28750.32850.16950.0871.8。（3）成绩在区间80,100内的选手共有 6 人，记成绩在区间80,90内的 4 位选手为1a，2a，3a，4a，成绩在区间90,100内的 2 位选手为1b，2b，则从 6 人中任选 2 人包含的所有样本点为（1a，2a），（1a，3a），
28、（1a，4a），（1a，1b），（1a，2b），（2a，3a），（2a，4a），（2a，1b），（2a，2b），（3a，4a），（3a，1b），（3a，2b），（4a，1b），（4a，2b），（1b，2b），共 15 种。其中至少有 1 人成绩在区间90,100内包含的样本点为（1a，2a），（1a，2b），（2a，1b），（2a，2b），（3a，1b），（3a，2b），（4a，1b），（4a，2b），（1b，2b），共 9 种。故所求概率为93=155P。22.【答案】（1）0.9a，9x （2）2 人、3 人、1 人（3）35【解析】（1）第 1 组的人数为50.510，第 1 组的频率为
29、0.010 100.1，所以100.1100n。第 2 组的频率为0.020 100.2，人数为1000.220，所以18200.9a。第 4 组的频率为0.025 100.25，人数为1000.2525，所以250.369x。（2）第 2，3，4 组回答正确的人数的比为 18：27：9=2：3：1，所以第 2，3，4 组每组各应抽取 2 人、3 人、1 人。（3）记“第 2 组至少有 1 人获得幸运奖”为事件A，设抽取的 6 人中，第 2 组的 2 人为1a，2a，第 3 组的3 人为1b，2b，3b，第 4 组的 1 人为c，则从 6 人中任意抽取 2 人所有可能的结果为（1a，2a），（1a，1b），（1a，2b），（1a，3b），（1a，c），（2a，1b），（2a，2b），（2a，3b），（2a，c），（1b，2b），（1b，3b），（1b，c），（2b，3b），（2b，c），（3b，c），共 15 种。其中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的结果为（1a，2a），（1a，1b），（1a，2b），（1a，3b），（1a，c），（2a，高中数学 必修第二册 7/7 1b），（2a，2b），（2a，3b），（2a，c），共 9 种。故 93=155P A。所以抽取的 6 人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率35。