2009届全国名校高三模拟试题汇编——033数列解答题doc--高中数学 .doc-淘文阁

资源描述

《2009届全国名校高三模拟试题汇编——033数列解答题doc--高中数学 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009届全国名校高三模拟试题汇编——033数列解答题doc--高中数学 .doc（52页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网本资料来源于七彩教育网本资料来源于七彩教育网http:/2009 届全国名校高三数学模拟试题分类汇届全国名校高三数学模拟试题分类汇编编(上上)03 数列三、解答题1、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知数列的首项为12a，前n项和为nS，且对任意的*nN，当 n2 时，an总是 3Sn4 与 252Sn的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设(1)nnbna，nT是数列 nb的前项和，*nN求nT；（）设134 23nnnnnaca，nP是数列 nc的前项和，*nN，试证明：32nP 解：（）当 n2 时，2an3

2、Sn4252Sn，即 2(SnSn1)3Sn4252Sn，所以 Sn12Sn12an1anSn1SnSnSn1(12Sn2)(12Sn12)SnSn112(n2)又 2a212223a21a2a112数列an是首项为 2，公比为12的等比数列an22n(nN*)（）由（）知 an22n(nN*)则 Tnb1b2bn2231412(n1)22n12Tn21312n23n(n1)22n,作差得：12Tn221121423n(n1)22n6n32n1http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网Tn12n32n2(nN*)（）证明：11339994 23433 432 4432 4

3、nnnnnnnnnnnnnaca122311(1)9 1111931344()(1).12 4444224214nnnnnPccc2、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)在数列 na中，nSa,11表示该数列的前 n 项和.若已知2,21nNnSann（1）求证：数列 nS是等比数列；（2）求数列 na的通项公式.解（1）)2n,(,21且NnSann3SS,2SSS1nn1n1nn为首项，是以数列1aSS11n以 3 为公比的等比数列6 分（2）由（1）知，1n3Sn21322,2nnnSan时当111an时，当不适合上式，)2(32)1(12nnaannn的通项公式为

4、数列3、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)已知奇函数).(,1222)(Rxaaxfxx（）试确定实数 a 的值，并证明 f（x）为 R 上的增函数；（）记,1)12(log212nnnnaaaSfa求nS；（）若方程)(xf在（，0）上有解，试证0)(31f解：（I）1222)(1222)(xxxxaaxfaaxf得0)1(2)1(aax1221)(,1xxfa（2 分）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网设21xx)12)(12()22(2)()(212121xxxxxfxf012,012,222121

5、xxxx)()(21xfxf)(xf在 R 上单调递增（4 分）（）1211122nnna（5 分）)212()212121211(1132nnnS（7 分）（III）11221)(xxf又 f（x）为奇函数，且在 R 上为单调增函数)1,1()(xf（9 分）当)0,1()()0,(xfx时欲使)0,()(在xf上有解01（10 分）f(1)f()f(0)即0)(31f4、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)数列 na：满足2112,66().nnnaaaanN()设5log(3)nnCa，求证nC是等比数列；()求数列 na的通项公式;

6、（）设21166nnnnbaaa,数列 nb的前n项和为nT,求证:51.164nT 解：()由2166,nnnaaa得213(3).nnaa515log(3)2log(3)nnaa，即12nnCC，nC是以为公比的等比数列分()又15log 51C 12nnC即15log(3)2nna，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1235.nna故1253.nna8 分（）211111,6666nnnnnnbaaaaa=2111111.66459nnnTaa 又221110,591659n51.164nT 5、(湖北省武汉市教科院 2009 届高三第

7、一次调考)已知二次函数0)(),0()(2xfRxaaaxxxf不等式的解集有且只有一个元素，设数列na的前 n 项和*)(NnnfSn（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnab3，求数列nb的前 n 项和 Tn;（3）（理科）设各项均不为 0 的数列nc中，所有满足01mmcc的正整数 m 的个数，称为这个数列nc的变号数，若*)(1Nnaacnn，求数列nc的变号数。解：（1）()0f x 的解集有且只有一个元素24004aaaa 或又由204,()44aaf xxx得244nSnn当1111 441;naS 时，当12,25nnnnaSSn时125ann(1)(2)

8、nnnN且（文 6 分，理 5分）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）nnnT35233313131432154323523723331313131nnnnnT由得1432352)313131(2323132nnnTnnnT3131（文 13 分，理 10 分）（3）（理科）由题设),2(5241)1(3Nnnnncn.2.0,0,3,5,330)5(0505241,031,30)32)(52(8324524,332213215441个此处变号数有即又数时，有且只有一个变号即且可知由递增数列时时cccccccnccnannccnnnnnccnnnnn综上，得数

9、列nc共有 3 个变号数，即变号数为 3.（理 13 分）6、(湖南省长郡中学 2009 届高三第二次月考)已知数列an满足 a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列1nnaa是等比数列.（）求数列an的通项公式；（）求证：当 k 为奇数时，113411kkkaa；（）求证：*).(2111121Nnaaanhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网得=2 或=32 分当=2 时，可得21nnaa为首项是15212 aa，公比为 3 的等比数列，则113152nnnaa当=3 时，31nnaa为首项是10312 aa，公比为2 的等比数列，11

10、)2(103nnnaa得，.)2(3nnna4 分（注：也可由利用待定系数或同除 2n+1得通项公式）（）当 k 为奇数时，11111342312313411kkkkkkkkaa0)23)(23(3)23(784)23)(23(34867111111kkkkkkkkkkkkkk113411kkkaa8 分（）由（）知 k 为奇数时，11131313411kkkkkaa10 分当 n 为偶数时，21)311(21313131111221nnnaaa当 n 为奇数时，121211111111nnnaaaaaaa=21)311(21313131112nn13 分7、(2008 年重庆一中高

11、 2009 级第一次月考)设数列 na前n项和为nS，且*(3)23()nnm SmamnN。其中m为实常数，3m 且0m。（1）求证：na是等比数列；（2）若数列 na的公比满足()qf m且*1113,()(,2)2nnba bf bnNn，求 nb的通项公式；（3）若1m 时，设*12323()nnTaaana nN，是否存在最大的正整数k，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网使得对任意*nN均有8nkT 成立，若存在求出k的值，若不存在请说明理由。解：（1）由(3)23nnm Smam，得11(3)23nnm Smam，两式相减，得1(3)

12、2(3)nnm ama m，123nnamam，m是常数，且3m ，0m，故23mm为不为 0 的常数，na是等比数列。（2）由*1121,(),3mbaqf mnNm，且2n 时，111233()223nnnnbbf bb，得111111333nnnnnnb bbbbb，1nb是以 1 为首项，13为公差的等差数列，112133nnnb，故32nbn。（3）由已知12111112()3()()222nnTn，23111112()3()()22222nnTn相减得：23111()111111121()()()()()1222222212nnnnnTnn，1242nnnT，11321(4)(4)

13、0222nnnnnnnnTT，nT递增，min103()412nTT，8nkT 对nN均成立，min()1,8nkT，又kN，k最大值为 7。8、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)已知数列 na的前 n 项和为 Sn，且),3,2,1(2nnnaSnn，等比数列 nb中11ab，且32,bb的等差中项为1b（1）求证：数列 na为等差数列；（2）请选择一个符合已知条件的且满足21aa 的数列 na，并求数列nnba 的前n 项和 Tn解：（1）nnaSnn21)1(2211nanS时nnnhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网1)1(21nnnann

14、aa01)1()2(1nnanan2 分01)1(1nnnaan-得nnnananan)1(2)1()1(112n，nnnaaa211，即11nnnnaaaa na为等差数列6 分（2）答案不唯一令111 ab，若令naan 则22由1322bbb得22 qq，21 或q若1q则2)1(nnTn10 分若2q则nnnnT)2(39)2(9112 分9、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)如图，把正ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点 A 为第一行，BC 为第 n 行，

15、记点 A 上的数为，11a，第 i 行中第 j 个数为)1(ijaij若41,21,1222111aaa（1）求333231aaa、；（2）试求第 n 行中第 m 个数nma的表达式（用 n、m 表示）；（3）记)(*21NnaaaSnmnnn，求证：)(314111*21NnSSSnnnhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：解：（1）161,81,41333231aaa3 分（2）221mnnma7 分（3）2222121nnnS当2n时，12121212222nnnnS，所以当2n时，11nS，则nSSSn11121又112224124212111nnnnnn

16、S所以31411121nnSSS12 分10、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)已知定义在0,上的函数()f x满足：(0)0,(1,fxnn 且且时，()(1)(1)f xn xnf x ,其中*nN。(1)求111lim(1)(2)()nfff n的值；(2)由函数()yf x 的图象，x轴及直线(0)xa a 所围成的平面图形的面积记为()S a，试比较()(2)S nS n 与1()(2)4f nn的大小。解：(1)由已知，()(1),()(1).(0)0f nnf nf nf nnf 即即又又(2 分)()(0)(1)(0)(2)(1)()(1)(1)1232f nfff

17、fff nf nn nn 12112()()(1)1f nn nnn(4 分)11111111limlim2(1)()()(1)(2)()22311lim212.(6)1xxxfff nnnn 分分(2)()yf x 的图象由原点出发，在第一象限内首尾相接的折线，()(2)S nS n 是两个直角梯形的面积之和.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2211()(2)(2)(1)1(1)()1221(2)(1)(1)1(1)(1)442.(8)22222241(1,4113(1)2()()(1)(1).(10)44424S nS nf nf nf nf nnnnnnn

18、n nnnnnnnnnnnf nn nnf n 分分又又分分于是，当2n 时，2111()(2)()(252)(21)(2)0444S nS nf nnnnn 故1()(2)()4S nS nf n ，当且仅当 n2 时取等号.(12 分)11、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)设数列 na的前n项和为nS，d为常数，已知对Nmn,，当mn 时，总有dmnmSSSmnmn)(求证：数列na是等差数列；若正整数 n,m,k 成等差数列，比较knSS 与mS2的大小，并说明理由！探究：:p“对Nmn,，当mn 时，总有dmnmSSSmnmn)(”是:q“数列na是等差数列”

19、的充要条件吗？并给出证明！由此类比，你能给出数列nb是等比数列（公比为q，且0q）的充要条件吗？证明：当 nm 时，总有dmnmSSSmnmn)(当 n2 时，dnSSSnn)1(11即,)1(1dnaan2 分且 n1 也成立3 分当 n2 时，ddnadnaaann)2()1(111数列na是等差数列5 分解：正整数 n,m,k 成等差数列，,2mkn)2)1(22)1(2)1(2111dmmmadkkkadnnnaSSSmkn)2(2(2)2(2222222knkndmkndhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网2)(4knd9 分当 d0 时，knSS m

20、S2 当 d0 时，knSS mS2 当 d0 时，knSS mS210 分由充分性已经得证，下面证必要性数列an是等差数列当 nm 时，nmmmnmnaaaSSS21mnSdmnmnamnm2)1)()(12)1)()(1dmnmnamn)(11aamnmdmnm)(dmnmSSSmnmn)(:p“对Nmn,，当mn 时，总有dmnmSSSmnmn)(”是:q“数列na是等差数列”的充要条件15 分“数列nb是等比数列（公比为q，且0q）”的充要条件是“对Nmn,，当mn 时，总有mnmmnSqSS”18 分12、(北京五中12月考)已知函数.),1(,1,332)(*11Nnafaaax

21、xxfnnn满足数列（1）求为数列na的通项公式；（2）令.,)1(1221254433221nnnnnTaaaaaaaaaaT求（3）令22008,3),2(12111mSbbbSbnaabnnnnnn若对一切*Nn成立，求最小正整数.mhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解：（1）32332332)1(1nnnnnnaaaaafa32是以na为公差的等差数列又3132,11naan（4 分）（2）1221254433221)1(nnnnaaaaaaaaaaT)()()(12122534312nnnaaaaaaaaa)(34242naaa)32(942)31343

22、5(342nnnn（12 分）（3）当2n时，)121121(29)3132)(3132(211nnnnaabnnn又)311(2931b，nnbbbS21)1211(29)1211215131311(29nnn=129nn（9 分）22008mSn对*Nn成立。即.22008129mnn)1211(29129nnn递增，当b时，29129nn且.29129nn20089,2017.22mm最小正整数2017m（12 分）13、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)已知数列.1,2,2211aakSSSnannnn又满足项和的前（1）求 k 的值及通项公式

23、an.（2）求nS.解（1）2212112kaaakSS又212212,1,221kkaa（4 分）http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（2）由（1）2211nnSS当221,21nnSSn时)2(211naann*12111(0,),()22nnnaaaanNnNa又1,.2na是等比数列公比为12112()22nnna121()124(1)1212nnnS（12 分）14、(北京市东城区 2009 届高三部分学校月考)已知等差数列0,11daan公差的首项，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四

24、项.（1）求数列na的通项公式；（2）设,),()3(121*tbbbSNnanbnnnn是否存在最大的整数使得对任意的ttSnn求出若存在总成立均有,?36；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得2111)4()13)(dadada，2 分整理得.221dda.2),0(,11dda舍解得4 分).(12*Nnnan6 分（2）),111(21)1(21)3(1nnnnanbnn)111()3121()211(2121nnbbbSnn.)1(2)111(21nnn10 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网假设存在整数36tStn满足总成立。又0)1)(2(21

25、)1(2)2(211nnnnnnSSnn，nS数列是单调递增的。12 分.9,4136,411ttSSn即故的最小值为又,*Ntt适合条件的的最大值为 8。14 分15、(甘肃省兰州一中 20082009 高三上学期第三次月考)已知定义域为 R 的二次函数),1()1(,0)(xfxfxf且有的最小值为直线174)(44)(的图像截得的弦长为被xfxxg，数列,21aan满足).(0)()()(*1Nnafagaannnn（I）求函数)(xf；（II）求数列na的通项公式；（III）设.),(4)(21nnnnnTnbanfagb项和的前求数列解：（I）设)()1(4)(),0()1()(2x

26、fyxxgaxaxf与则直线图象的两个交点)16,14(),0,1(aa2 分222)1()(,1)0(174)16()4(xxfaaaa4 分（II）)1(4)(,)1()(2nnnnaagaaf0)1()1(4)(21nnnnaaaa0)134)(1(1nnnaaa6 分的等比数列公比为是首项为数列43,1111),1(4310134,1,21111nnnnnnaaaaaaaahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网)(1)43(,)43(111Nnaannnn8 分（III）)(4)(21nnnanfagb)()43)(65(48)43)(1(431)43(1 4

27、316)43)(1()43()43()43(441)43)(1()43)(2()43)(12()43)(11(443)43)(1()43)(2()43)(12()43)(11(4)43)(1(4)43)(44()43(4)43(4)1(4)1(4112121212111111212NnnnTnTnnTnnTnnnanannnnnnnnnnnnnnnnnnn12 分16、(广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)数列 nb Nn是递增的等比数列，且4,53131bbbb.()求数列 nb的通项公式;()若3log2nnba,求证数列 na是等差数列;()若3221aa

28、a46aam,求m的最大值.解:()由543131bbbb知31,bb是方程0452 xx的两根,注意到nnbb1得4,131bb.2 分43122bbb得22b.4,2,1321bbb等比数列.nb的公比为212bb,1112nnnqbb4 分().23132log3log122nnbannn5 分 12211nnaann7 分数列 na是首项为 3,公差为 1 的等差数列.8 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网()由()知数列 na是首项为 3,公差为 1 的等差数列,有3221aaama=32121aaaa1aam=23631213322mmm

29、mmm10 分4646248a482362mmm,整理得08452 mm,解得712m.11 分m的最大值是 7.12 分17、(河北省衡水中学 20082009 学年度第一学期期中考试)已知数列na中，nnnpaaa2,111且.设数列na的前n和为nS（1）若2p，求数列na的通项公式na；（2）(理)当3p时，求nnnaSlim的值.（文）当3p时，求nS.解：（解：（1）2P时，时，nnnaa221212211nnnnaa0,112aat所以所以2nna是首项为是首项为21，公差为，公差为21的等差数列的等差数列-4 分分（2）3P时，时，nnnaa231)2(3211nnnnaa所以

30、所以2nna 是首项为是首项为3，公比为，公比为3的等比数列的等比数列所以所以nnna32 即即nnna23-8 分分212321)222()3333(1132nnnnnnS所以所以23limnnnaS-12 分分18、(大庆铁人中学 2009 届高三上学期期中考试)已知数列 na的前n项和为nS，且http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网*)(24,111NnaSann。（1）设nnnaab21，求证：数列 nb是等比数列;（2）设nnnac2，求证：nc是等差数列;（3）求nS。解：解：（1）是等比数列即得由nnnnnnnnnnnnnnnnnbnbbaaaanaaa

31、anaaanaSaS,22222)2(2224422424111111111（2）1212,baa且1221242,5,aaSaa13,b于是113 22,nnnnbaa 即有2*11133 2,()224nnnnnnaaccnN nc为等差数列，公差3,4d 又11122ac，1331(1),244nncn从而312.4nnna（3）*142(31)22,()nnnSannN，1(34)22,(2)nnSnn，又111Sa，符合1(34)22,nnSn于是1*(34)22,()nnSnnN19、(大庆铁人中学2009届高三上学期期中考试)已知,)(33221nn

32、xaxaxaxaxf且naaaa,321组成等差数列（n为偶数），又http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网nfnf)1(,)1(2.（1）求数列的通项na;（2）试比较)21(f与 3 的大小，并说明理由.(1)由条件易得12 nannnaaaaf)21()21()21()21()21(332211433221)21()21()21()21()21(21nnaaaaf11132)21)(32(23)21)(12()21()21()21(2121)21(21nnnnnf3)21)(32(3)21(nnf20、(哈尔滨市第九中学 20082009 学年度高三第三次月考)设

33、 na是一个公差为)0(dd的等差数列，它的前 10 项和11010S，且421,aaa成等比数列。（1）证明：da 1；（2）求公差d的值和数列 na的通项公式。答案：nadn2.221、(哈尔滨市第九中学 20082009 学年度高三第三次月考)已知数列 na满足*),2(122,8114Nnnaaannn（1）求数列的前三项321,aaa的值；（2）是否存在一个实数，使得数列nna2为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）求数列 na的前n项和nS。答案：（1）33,13,5321aaa；（2）1；（3）12nnnnShttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免

34、费组卷搜题网22、(哈尔滨市第九中学 20082009 学年度高三第三次月考)已知数列 na满足*)(12,111Nnaaann（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足*)()1(44411121Nnannbnbbb，证明：nb是等差数列；（3）证明：*)(231213221Nnnaaaaaannn答案：（1）12 nna（2）（3）略23、(四川省成都市高 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测)已知数列an满足 a11，a23，且 an2(12|cosn2|)an|sinn2|，nN*.(1)证明：数列a2n(kN*为等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设 bka2k(

36、1)k1221ka3k(1)k12k，bk1bk3k1(1)k2k13k(1)k12khttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网23k(1)k32k由题意，对任意 kN*都有 bk1bk成立bk1bk23k(1)k32k0 恒成立23k(1)k132k对任意 kN*恒成立9当 k 为奇数时，23k32k23k32k23(32)k对任意 kN*恒成立kN*，且 k 为奇数，23(32)k23321110当 k 为偶数时，23k32k23k32k23(32)k对任意 kN*恒成立kN*，且 k 为偶数，23(32)k23(32)232，3211综上：有32112为非零整数，1

37、.24、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)二次函数2()()0,()2(1)1f xf xf xxf符合且恒成立，（1）求(0)f并求()f x的解析式；（2）若(1)(2)()1,12nnnfff nabna求数列.nnbnS前项和并求lim.nnS（3）若1112(),2,.,nnnncf ccTc cc且记求符合2008nT 最小自然数 n解：（1）(0)0f 又：2(0)2 00(0)0ff22()00()f xaxbxxbf xax对称轴即又2(1)11()faf xx（2）22212(1)12122nnn nann 2112

38、()(1)1nbn nnn12(1);1nSn1limlim 2(1)2.1nnnSn（3）12.C 21()nnCC122nnC1112482(1 242)(21)22222222008nnnnT http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网min4,4nn25、(湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)设数列na，nb满足111,2(1)2nnan ana，且2*1ln(1),2nnnbaan N.（）求数列 na的通项公式；（）对一切*nN,证明22nnnaab成立；（）记数列2,nnab的前 n 项和分别为,nnAB，证明24.nnBA解：（）由12(1)

39、nnnana，得1112nnaann，即数列nan是以1112a为首项，以12为比的等比数列，1111()().222nnnann（）因为2*10,ln(1)0,2nnnnabaanN，所以要证明22nnnaab，只要证明222.nnnbaa即要证明2102nnnbaa，也即证明ln(1)0nnaa成立.构造函数()ln(1)(0)f xxx x.1()111xfxxx，当 x0 时，()0fx，即 f(x)在(0,)内为减函数，故()(0)0f xf，ln(1)0 xx，即ln(1)0nnaa，此式对一切*nN都成立.故22nnnaab成立.（）222ln(1)nnnbaa，由（）可知，22

40、2ln(1)2,nnnnbaaa1222()nnnBAaaa2312322222nn利用错位相减法求得21122222 122222nnnnnn因为*nN，所以110121112(1 1)112nnnnnCCCnn ，于是12012nn，故1224(1)4.2nnnnBAhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网26、(江苏省盐城市田家炳中学 09 届高三数学综合练习)已知数列na中，22a，前n项和为.2)1(,nnnanSS且（I）证明数列1nnaa是等差数列，并求出数列na的通项公式；（II）设)12)(12(1nnnaab，数列nb的前n项和为nT，求使不等式57

41、kTn对一切*Nn都成立的最大正整数k的值。解：（I）由题意，当.1,21,11111aaSan则时.1,2122aaa则当,1)1(212)1)(1(2)1(,2111nnnnnnnannaananSSan时,1)1(2111nnnnaana则,)1(2)1(21111nnnnnannaanaa则,0)1()1(2)1(11nnnananan即.,021111nnnnnnnaaaaaaa即则数列1nnaa是首项为 1，公差为 0 的等差数列。从而11nnaa，则数列na是首项为 1，公差为 1 的等差数列。所以，)(*Nnnan（II）)121121(21)12)(12(1)12)(12(1

42、nnnnaabnnn所以，)121121()5131()311(2121nnbbbTnn.12)1211(21nnn由于.0)12)(32(1123211nnnnnnTTnnhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网因此nT单调递增，故nT的最小值为311T令19,5731kk得，所以k的最大值为 18。27、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知二次函数()yf x的图像经过坐标原点，其导函数为()62fxx，数列na的前 n 项和为nS，点(,)()nn SnN均在函数()yf x的图像上。（）、求数列na的通项公式；（）、设13nnnba a，nT是

43、数列 nb的前 n 项和，求使得20nmT 对所有nN都成立的最小正整数 m。解：（）设这二次函数 f(x)ax2+bx(a0),则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x2,得a=3,b=2,所以f(x)3x22x.又因为点(,)()nn SnN均在函数()yf x的图像上，所以nS3n22n.当 n2 时，anSnSn1（3n22n）)1(2)132nn（6n5.当 n1 时，a1S13122615，所以，an6n5（nN）（）由（）得知13nnnaab3(65)6(1)5nn)161561(21nn，故 Tnniib121)161561(.)13171()711(nn21（1161n

44、）因此，要使21（1161n）20m（nN）成立的 m,必须且仅须满足2120m，即 m10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10.28、(揭阳市云路中学 2009 届高三数学第六次测试)已知数列 na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN（I）证明：数列1nnaa是等比数列；（II）求数列 na的通项公式；http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（II）若数列 nb满足12111*44.4(1)(),nnbbbbnanN证明 nb是等差数列。解：（I）证明：2132,nnnaaa21112*2112(),1,3,

45、2().nnnnnnnnaaaaaaaanNaa1nnaa是以21aa2为首项，2 为公比的等比数列。（II）解：由（I）得*12(),nnnaanN112211()().()nnnnnaaaaaaaa12*22.2 121().nnnnN（III）证明：1211144.4(1),nnbbbbna12(.)42,nnbbbnb 122(.),nnbbbnnb12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb，得112(1)(1),nnnbnbnb10 分即1(1)20.nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得2120,nnnnbnbnb即2120,nnnbbb*211(),nnnnbbbb

46、 nN nb是等差数列.29、(辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟)已知数列 an 中，),2(12*1Nnnaann（1）531a若，数列bn满足)(11*Nnabnn，求证：数列bn是等差数列；并求数列an的通项公式；（2）若 1a12，求证：1an+1an2.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网（1）证明：11,111211111111nnnnnnnabaaaab而，),2(1111*1111Nnnaaabbnnnnn故数列bn是首项为251111ab，公差为 1 的等差数列；3 分依题意有,2711,2

47、71)1(25,11nannbbannnn而故7252nnan6 分（2）证明：先证 1an2当 n=1 时，1a12 成立；假设当 n=k 时命题成立，即 1ak2，当21)23,1(121121,111kkkkaaaakn时故当 n=k+1 时命题成立，综合命题对任意*Nn时都成立，即 1an29 分下面证nnaa1nnnnnnnnaaaaaaaa110122)1(2所以 1nnaa12 成立.12 分30、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)数列 221221,2,(1 cos)sin,1,2,3,.22nnnnnaaaaan满足()求34,

48、a a并求数列 na的通项公式；()设21122,.nnnnnabSbbba证明：当162.nnSn时，解:()因为121,2,aa所以22311(1 cos)sin12,22aaa 22422(1 cos)sin24.aaahttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网一般地，当*21(N)nkk时，222121(21)211 cossin22kkkkaa211ka，即21211.kkaa所以数列21ka是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此21.kak当*2(N)nk k时，22222222(1 cos)sin2.22kkkkkaaa所以数列2ka是首项为 2、公比为

49、 2 的等比数列，因此22.kka故数列 na的通项公式为*21,21(N),22,2(N).nnnnkkank k()由()知，2122,2nnnanba23123,2222nnnS 2241112322222nnnS-得，23111111.222222nnnnS211111()1221.122212nnnnn 所以11222.222nnnnnnS要证明当6n 时，12nSn成立，只需证明当6n 时，(2)12nn n成立.证法一(1)当 n=6 时，66(62)48312644成立.(2)假设当(6)nk k时不等式成立，即(2)1.2kk k 则当 n=k+1 时，1(1)(3)(2)(

50、1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2kkkkk kkkkkk kkk由(1)、(2)所述，当 n6 时，2(1)12n n.即当 n6 时，12.nSn证法二令2(2)(6)2nn ncn，则21121(1)(3)(2)30.222nnnnnnn nncchttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网所以当6n 时，1nncc.因此当6n 时，66 831.644ncc于是当6n 时，2(2)1.2n n综上所述，当6n 时，12.nSn31、(山东省临沂高新区实验中学 2008-2009 学年高三 12 月月考)已知数列.122

展开阅读全文