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1、 永久免费组卷搜题网本资料来源于七彩教育网2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上)12 导数与极限三、解答题1、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)设函数（）求f(x)的单调区间和极值；（）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力满分14分解：（）2分故当时，时，所以在单调递增，在单调递减4分由此知在的极大值为，没有极小值6分（）（）当时，由于，故关于的不等式的解集为10分（）当时，由知，其中为正整数，且有12
2、分又时，且取整数满足，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是综合（）（）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为14分2、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)已知常数、都是实数，函数的导函数为 （）设，求函数的解析式； （）如果方程的两个实数根分别为、，并且问：是否存在正整数，使得？请说明理由（）解：，解得：6分 （）的两根为， 10分，或存在或使成立14分3、(江西省南昌二中20082009学年度第一轮第二次段考)已知函数，（）求的值域；（）设，函数。若对任意，总存在，使, 求实数的取值范围.解：方法一：对函数求导，令=0，得或，当时，0，在上单调递增；当时, 0
3、, 在(1,2)上单调递减。又当时的值域是；方法二：当时=0；当时当且仅当时的值域是；（2）设函数在的值域是，对任意，总存在，使。对函数求导，当时，函数在上单调递减，当时，不满足；当时，令得（舍去），（i）当，时，列表0200又，解得(ii）当时, ,函数在上单调递减，,当时，不满足.综上,实数的取值范围是.4、(江西省南昌二中20082009学年度第一轮第二次段考)已知函数的导数为实数，.（）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；（）在（）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（）设函数，试判断函数的极值点个数解：（）由已知得，, 由，得， 当时，递增；当时， 递减 在区间上
4、的最大值为，又， 由题意得，即，得 故，为所求 （）解：由（1）得，点在曲线上 当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即 当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率， 的方程为 又点在上， ， ， ， ，即， 切线的方程为故所求切线的方程为或 （）解： 二次函数的判别式为，令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点 5、(江西省南昌二中20082009学年度第一轮第二次段考)已知函数， （）若函数在为增函数，求的取值范围； （）讨论方程解的个数，并说明理由.解：（1）若函数在上恒成立。则在上恒成立， 即：在上恒成
5、立。所以有 （2）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。，所以方程有惟一解。当时，因为当时，在内为减函数；当时，在内为增函数。所以当时，有极小值即为最小值。当时，此方程无解；当时，此方程有惟一解。当时，因为且，所以方程在区间上有惟一解，因为当时，所以所以，因为，所以，所以方程在区间上有惟一解。所以方程在区间上有惟两解。综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；当时方程有两解6、(2008年重庆一中高2009级第一次月考)已知函数，若图象上的点处的切线斜率为，求的极大、极小值。解: 又在图象上, 即 由解得， 解得或3.3+0-0+极大值极小值 。7
6、、(2008年重庆一中高2009级第一次月考)已知函数（为自然对数的底数），（为常数），是实数集上的奇函数。（1）求证：；（2）讨论关于的方程：的根的个数；（提示：）（3）设，证明：（为自然对数的底数）。(1)证:令,令时 时,. 即. (2)是R上的奇函数 故. 故讨论方程在的根的个数. 即在的根的个数. 令.注意,方程根的个数即交点个数. 对, , 令, 得， 当时,; 当时,. ， 当时,； 当时,， 但此时，此时以轴为渐近线。 当即时,方程无根;当即时,方程只有一个根.当即时,方程有两个根. (3)由(1)知, 令, ,于是, .8、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)若函数为
7、奇函数，且过点，函数（1）求函数的解析式并求其定义域；（2）求函数的单调区间；（3）若当时不等式恒成立，求实数a的取值范围解：（1）2分，定义域为4分（2）的单调增区间为，的单调减区间为，8分（3）由（2）知在时单调递减，所以所以12分9、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)已知函数. (1)试判断函数在上单调性并证明你的结论； (2)若恒成立，求整数的最大值； (3)求证：。解：(1)(2分)上是减函数.(4分)(2)即h(x)的最小值大于k.(6分)则上单调递增，又存在唯一实根a，且满足当故正整数k的最大值是3 9分(3)由()知 11分令，则ln(112)ln(123)ln1n
8、(n1)(112)(123)1n(n1)e2n3 14分10、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)已知函数f(x)=x2xalnx (1)当x1时，f(x)x2恒成立，求a的取值范围； (2)讨论f(x)在定义域上的单调性； 解：由 f(x)x2恒成立,得:alnxx在x1时恒成立 当x1时aR -2分 当x1时即，令 , -4分 xe时g(x)0 ,g(x)在xe时为增函数， g(x)在xe时为减函数 gmin(x)e ae -7分(2)解：f(x)=x2xalnx，f(x)=2x1=，x0（1）当=18a0，a时，f(x)0恒成立，f(x)在（0，+）上为增函数-9分（2）当a时当
9、0a时， f(x)在上为减函数，f(x)在上为增函数 -11分当a=0时，f(x)在（0，1上为减函数，f(x)在1，）上为增函数 -13分当a0时，故f(x)在（0，上为减函数， f(x)在，）上为增函数 - 15分11、(安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考)已知为实数，函数 () 若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围； () 若， 求函数的单调区间；解：() ， 函数的图象上有与轴平行的切线， 有实数解， 所求的取值范围是() ，即.由，得或； 由，得因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为12、(北京五中12月考)已知 （1）若存在单调递减区间，求的取值范围； （
10、2）若时，求证成立； （3）利用（2）的结论证明：若解：（1），有单调减区间，有解，有解 时合题意时，即，的范围是（2）设， 0+0-最大值 当x0时,(x)有最大值0，恒成立 即成立（8分）（3） 求证成立 （12分）13、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)设函数的单调区间.解：由已知得函数（1）当上单调递减。（2）当、的变化情况如下表：0+极小值从上表可知14、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)设函数（1）若的取值范围；（2）求上的最大值.解（1）当2分即上恒立 3分而 6分 7分（2）由（1）知当上是增函数 10分当 13分当 14分15、(甘肃省兰州一中20082009
11、高三上学期第三次月考)已知函数单调递减， （I）求a的值； （II）是否存在实数b，使得函数的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由。解：（I）由函数单调递减。知2分3分4分 （II）函数的图象恰好有3个交点，等价于方程6分是其中一个根，8分故存在实数：12分16、(广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测)已知()求函数的单调区间;()求函数在 上的最小值;()对一切的,恒成立,求实数的取值范围. 解：() 2分 4分() ()0tt+2，t无解；5分()0tt+2，即0t1函数 的单调增区间为（3）=2x+lnx设过点（2，5）与曲线g (x
12、)的切线的切点坐标为即 令h(x)=0h(x)在（0，2）上单调递减，在（2，）上单调递增又，h(2)=ln2-10，h(x)与x轴有两个交点过点（2，5）可作2条曲线y=g(x)的切线. 21、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)若函数f(x)ax3bx2cxd是奇函数，且f(x)极小值f()（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)在1，m(m1)上的最大值；（3）设函数g(x)，若不等式g(x)g(2kx)(k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围解：（1）函数f(x)ax3bx2cxd是奇函数，则bd0，f /(x)3ax2c，则故f(x)x3x；4分Oxy11（
13、2）f /(x)3x213(x)(x)f(x)在(，)，(，)上是增函数，在，上是减函数，由f(x)0解得x1，x0，如图所示，当1m0时，f(x)maxf(1)0；当0m时，f(x)maxf(m)m3m，当m时，f(x)maxf()故f(x)max9分（3）g(x)(x)，令y2kx，则x、yR，且2kxy2，又令txy，则0tk2，故函数F(x)g(x)g(2kx)(x)(y)xy xyt2，t(0，k2当14k20时，F(x)无最小值，不合当14k20时，F(x)在(0，上递减，在，)上递增，且F(k2)(k)2，要F(k2)(k)2恒成立，必须，故实数k的取值范围是(0，)14分22、
14、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）解：设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得则，令，即，解得当时，；当时，因此，当时，取得最小值，元.答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。23、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)设定义在R上的函数f (x)a
15、0x4+a1x3+a2x2a3x (a iR，i0，1，2，3 )，当时，f (x)取得极大值，并且函数yf (x)的图象关于y轴对称。（1）求f (x)的表达式；（2）试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1，1上；（3）求证：|f (sin x)f (cos x) | (xR)解：f (x)4a0x33a1x22a2x+a3为偶函数， f (-x) = f (x),-4a0x3 +3a1x2 -2a2x + a3 = 4a0x3+3a1x2 +2a2x + a3,4a0x3 + 2a2x =0对一切x R恒成立， a0a20，f (x)a1
16、x3a3x 又当x时，f (x)取得极大值 解得f (x)x3x，f (x)2x214分解：设所求两点的横坐标为x1、x2 (x1 x2)，则(2x121)(2x221)1又x1，x21，1，2x1211，1，2x2211，12x121，2x221中有一个为1，一个为1，或 ，所求的两点为(0，0)与(1，)或(0，0)与(1，)。证明：易知sin x1，1，cos x1，1。当0 x 时，f (x) 0；当 x 0。f (x)在0，为减函数，在，1上为增函数，又f (0)0，f () ，f (1)，而f (x)在1，1上为奇函数，f (x)在1，1上最大值为，最小值为，即 | f (x) |
17、 ,| f (sin x) | ，| f (cos x)| ， | f (sin x)f (cos x)| | f (sin x)| f (cos x) | 24、(辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟)已知 （1）当a=1时，试求函数的单调区间，并证明此时方程=0只有一个实数根，并求出此实数根； （2）证明：解：（1）当a=1时，则，所以单调增区间为（0，+），令，所以单调减区间为（1，0）.2分又4分 （2）令 （i）当2a=0即a=2时，无极值，舍去. （ii）当2a0即a2时，的变化情况如下表（一）：x（，0）0（0，2a）2a（2a，+）0+0极小值极大值由题意应有满足题意
18、8分(3)略25、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)设函数() 证明: 当0 a 1;() 点P (x0, y0 ) (0 x0 1 )在曲线yf(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达).证明：（I）故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+）上是增函数，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和故（II）0x0即 （4分）（2）3-1+b=0，得b=-2， （5分）令，得， （6分）可以计算得到， （7分）所以，得到或 （8分）（3）可以计算得到， ， （10分）对1，2内的任意两个值都有（12分）27、(山东省德州市宁津高中200
19、8-2009学年高三第一次月考)函数的定义域为（0，1（为实数）（1）当a1时，求函数yf(x)的值域；（2）若函数yf(x)在定义域上是减函数，求的取值范围；（3）求函数yf(x)在x(0，1上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值解：（1），（0，1当且仅当，所以函数的值域为； （4分）（2）因为函数在定义域上是减函数，所以对（0，1恒成立，即，（0，1，所以，所以，故的取值范围是； （8分）（3）当时，函数在（0，1上单调增，无最小值，当时取得最大值；由（2）得当时，函数在（0，1上单调减，无最大值，当1时取得最小值2a；当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当 时取得最小值 （
20、14分）28、(山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考)已知函数，有极值，曲线处的切线不过第四象限且斜率为3。（1）求，的值；（2）求在4，1上的最大值和最小值。解：（1）1分由题意，得4分设切线的方程为由原点到切线的距离为，则，解得切线不过第四象限，切线的方程为由于切点的横坐标为1，切点坐标为（1，4），6分 （2）由（1）知，6分列表如下：4（-4，-2）21+00+极大值极小值函数值11134在4，1上的最大值为13，最小值为11。12分29、(天津市汉沽一中20082009学年度高三第四次月考试题)已知，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.(
21、)求直线的方程及的值；()若(其中是的导函数)，求函数的最大值；()当时，求证：.解：()，.直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为.直线的方程为. 2分又直线与函数的图象相切,方程组有一解.由上述方程消去，并整理得 依题意，方程有两个相等的实数根，解之，得或 . 5分()由()可知， . 6分 . 7分当时，当时，.当时，取最大值，其最大值为2. 10分() . 12分， ， .由()知当时，当时，. . 14分30、(厦门市第二外国语学校20082009学年高三数学第四次月考)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房
22、建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则 , 令 得 当 时， ；当 时，因此 当时，f（x）取最小值；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。31、(厦门市第二外国语学校20082009学年高三数学第四次月考)设函数，已知和为的极值点（）求和的值；（）讨论的单调性；解：（）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，（）因为，所以，令，解得，因为当时，；当时，所以在和上是单调
23、递增的；在和上是单调递减的32、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知函数是偶函数，当时.（a为实数）.（1）若在处有极值，求a的值。（6分）（2）若在上是减函数，求a的取值范围。（8分）33、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知函数在处取得极值。(1)求的极值。（5分）(2)当时，求的最大值。（7分）34、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知数列中，当时，函数取得极值。（1）求数列的通项公式。（6分）（2）若点。过函数图象上的点的切线始终与平行（O是坐标原点）。求证：当时，不等式对任意都成立。（8分）35、(重庆一中2008学年高三年级上期半期考试)设f(x
24、)= （）讨论f(x)的奇偶性，并说明理由； （）当a=2，求f(x)的极值.解：（）当 当当f(x)不是奇函数f(x)不是奇函数故此时f(x)非奇非偶 （）列表如下：x(,0)(0,1)1(1,+)0极小值f(1)=3故=有极小值3.36、(重庆一中2008学年高三年级上期半期考试)已知函数f(x)= （）证明函数y=f(x)的图象关于点（0，）对称； （）设使得任给若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由.解：（）在y=f(x)的图象上任取一点P（x，y），它关于点（0，）对称的点为Q(-x，1-y)由立知点Q在y=f(x)图象上.从而由P的任意性可知y=f(x)的图象关于点（0，）对称
25、. （）构造函数又x0，a,若.若故当x0时,记 注意到故要使故37、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知函数（1）若在1，上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x3是的极值点，求在1，a上的最小值和最大值解析：（1）x1，-3分 （当x=1时，取最小值）a3（a3时也符合题意）a3-6分（2），即27-6a+30，a5，.令得 ，或 (舍去) -8分当时,; 当时, 即当时,有极小值又 -10分 f（x）在，上的最小值是，最大值是. -12分38、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)设函数的单调区间.解：由已知得函数 （1）当上单调递减。 （
26、2）当、的变化情况如下表：0+极小值从上表可知39、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)设函数 （1）若的取值范围； （2）求上的最大值.解（1）当2分即上恒立 3分而 6分 7分 （2）由（1）知当上是增函数 10分当 13分当 14分40、(福建省福州三中高三年级第二次月考)某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，则销量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系：Q=8300170pp2，问该商品售价定为多少时利润最大，并求出利润的最大值。解：设商场销售该商品所获利润为y元则4分令（舍去）7分则变化关系如下表p(20,30)30(30,+
27、)y+0y极大值当p=30时，y取极大值为2300010分又因为上只有一个极值，故也是最值。答：该商品售价定为每件30元时，所获利润最大为23000元。12分41、(福建省福州三中高三年级第二次月考)已知是函数的一个极值点。 （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。（1）解：2分4分 （2）当令6分（1，1）1（1，3）3+00+极大值极小值由上表可知，的单调递增区间为，其单调减区间为（1，3）9分 （3）由（2）知10分若直线的图象有3个交点则12分42、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)某养殖厂规定：饲料用完的第二天方可购买
28、饲料，并且每批饲料可供n(nZ*)天使用已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管费为平均每公斤每天0.03元（当天用掉的饲料不计保管费用），购买饲料每次支付运费300元 （1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的85%）问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由解：（1）设该厂应隔天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为元1分饲料的保管费用每天比前一天少2000.036（元），天饲料的保管费用共是4分从而有5分7分当且仅当，即时，有最小值4178分即每隔10天购买一
29、次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔天()购买一次饲料，平均每天支付的总费用为元，则10分当时，即函数在上是增函数11分当时，取得最小值390390417，故该厂应该利用此优惠条件 13分43、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“上夹线”.(1) 类比“上夹线”的定义，给出“下夹线”的定义；(2) 已知函数取得极小值，求a，b的值；(3) 证明：直线是（）中曲线的“上夹线”。
30、解：(1) 设直线. 若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意xR都有. 则称直线l为曲线S的“下夹线”. -3分（2）因为，所以 -4分， -5分解得， -6分（3）由（2）得且由得，当时，此时，所以是直线与曲线的一个切点； 8分当时，此时，所以是直线与曲线的一个切点； -10分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点；对任意xR，所以 -12分因此直线是曲线的“上夹线”. -13分44、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知，（1）若的取值范围；（2）若的图象与的图象恰有3个交点？若存在求出的取值范围；若不存在，试说明理由45、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知函数，（1）求；（2）令，求证：46、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。（1）试求函数的单调区间； （2）点从左到右依次是函数图象上三点，其中求证：是钝角三角形解：（1）设 由 又 6 于是由得或； 由得或