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1、 永久免费组卷搜题网本资料来源于七彩教育网2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编(上)03 数列三、解答题1、(四川省成都市2009届高三入学摸底测试)已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当n2时，an总是3Sn4与2Sn的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设，是数列的前项和，求；（）设，是数列的前项和，试证明：解：（）当n2时，2an3Sn42Sn，即2(SnSn1)3Sn42Sn，所以Sn Sn12(n2)又2a2223 a21 数列an是首项为2，公比为的等比数列an22n(nN*)（）由（）知an22n(nN*)则Tnb1b2bn 22314(n1)22n Tn 213n2
2、3n(n1)22n,作差得： Tn22123n(n1)22n 6Tn12(nN*)（）证明：2、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)在数列中，表示该数列的前n项和.若已知（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.解（1） 以3为公比的等比数列6分 （2）由（1）知， 不适合上式， 3、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)已知奇函数（）试确定实数a的值，并证明f（x）为R上的增函数；（）记求；（）若方程在（，0）上有解，试证 解：（I）得 （2分） 设 在R上单调递增 （4分）（） （5分） （7分） （III） 又f（x）为奇函数，且在R上为单调增
3、函数 （9分） 当 欲使上有解 （10分）f(1)f()f(0)即4、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)数列：满足() 设，求证是等比数列；() 求数列的通项公式; （）设,数列的前项和为,求证: 解：()由得，即， 是以为公比的等比数列分 () 又即 ，故8分（）=又5、(湖北省武汉市教科院2009届高三第一次调考)已知二次函数的解集有且只有一个元素，设数列的前n项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和Tn; （3）（理科）设各项均不为0的数列中，所有满足的正整数m的个数，称为这个数列的变号数，若，求数列的变号数。解：（1）的解集有且只有一个元素又由当当
4、（文6分，理5分） （2） 由得（文13分，理10分） （3）（理科）由题设 综上，得数列共有3个变号数，即变号数为3.（理13分）6、(湖南省长郡中学2009届高三第二次月考)已知数列an满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列是等比数列. （）求数列an的通项公式； （）求证：当k为奇数时，； （）求证：得=2或=3 2分当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，则 当=3时，为首项是，公比为2的等比数列， 得， 4分（注：也可由利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（）当k为奇数时， 8分（）由（）知k为奇数时， 10分当n为偶数时， 当n为奇数时，=
5、 13分7、(2008年重庆一中高2009级第一次月考)设数列前项和为，且。其中为实常数，且。（1）求证：是等比数列；（2）若数列的公比满足且，求的通项公式；（3）若时，设，是否存在最大的正整数，使得对任意均有成立，若存在求出的值，若不存在请说明理由。解：（1）由，得，两式相减，得，是常数，且，故为不为0的常数，是等比数列。（2）由，且时，得，是以1为首项，为公差的等差数列，故。（3）由已知，相减得：，递增，对均成立，又，最大值为7。8、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)已知数列的前n项和为Sn，且，等比数列中，且的等差中项为（1）求证：数列为等差数列；（2）请选择一个符合已知条件的
6、且满足的数列，并求数列的前n项和Tn解：（1） 2分 -得 ，即为等差数列6分（2）答案不唯一令，若令由得，若 则 10分若 则 12分9、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)如图，把正分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等设点A为第一行，BC为第n行，记点A上的数为，第i行中第j个数为若（1）求；（2）试求第n行中第m个数的表达式（用n、m表示）；（3）记，求证：解：（1）3分（2） 7分（3）当时，所以当时，则又所以12分10、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)已知定义在
7、上的函数满足：时，,其中。 (1)求的值； (2)由函数的图象，轴及直线所围成的平面图形的面积记为，试比较与的大小。解：(1)由已知，(2分)(4分) (2)的图象由原点出发，在第一象限内首尾相接的折线，是两个直角梯形的面积之和.于是，当时，故，当且仅当n2时取等号.(12分)11、(江苏运河中学2009年高三第一次质量检测)设数列的前项和为，为常数，已知对，当时，总有 求证：数列是等差数列； 若正整数n, m, k成等差数列，比较与的大小，并说明理由！ 探究 ： “对，当时，总有”是“数列是等差数列”的充要条件吗？并给出证明！由此类比，你能给出数列是等比数列（公比为，且）的充要条件吗？证明：
8、当nm时，总有 当n2时，即 2分且n1也成立 3分 当n2时， 数列是等差数列 5分解： 正整数n, m, k成等差数列， 9分 当d0时， 当d0时， 当d0时， 10分 由充分性已经得证，下面证必要性 数列an是等差数列 当nm时， “对，当时，总有”是“数列是等差数列”的充要条件 15分“数列是等比数列（公比为，且）”的充要条件是“对，当时，总有” 18分12、(北京五中12月考)已知函数（1）求为数列的通项公式；（2）令（3）令对一切成立，求最小正整数解：（1）为公差的等差数列又（4分） （2） （12分） （3）当时，又， =（9分） 对成立。即递增，当时，且 最小正整数（12分）
9、13、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)已知数列（1）求k的值及通项公式an.（2）求.解（1）又 （4分）（2）由（1） 当 （12分）14、(北京市东城区2009届高三部分学校月考)已知等差数列，且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.（1）求数列的通项公式；（2）设使得对任意的；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得，2分整理得 4分 6分（2）10分假设存在整数总成立。又，是单调递增的。 12分又的最大值为8。14分15、(甘肃省兰州一中20082009高三上学期第三次月考)已知定义域为R的二次函数直线 ，数列 （I）求函数； （II）求数列的
10、通项公式； （III）设解：（I）设图象的两个交点2分4分 （II）6分8分 （III）12分16、(广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测)数列是递增的等比数列，且.()求数列的通项公式;()若,求证数列是等差数列;()若,求的最大值.解:()由 知是方程的两根,注意到得 .2分得.等比数列.的公比为,4分()5分7分数列是首项为3,公差为1的等差数列. 8分() 由()知数列是首项为3,公差为1的等差数列,有=10分,整理得,解得.11分的最大值是7. 12分17、(河北省衡水中学20082009学年度第一学期期中考试)已知数列中，.设数列的前和为（1） 若，求数列
11、的通项公式；（2） (理)当时，求 的值.（文）当时，求.解：（1）时， 所以是首项为，公差为的等差数列 -4 分（2）时， 所以是首项为，公比为的等比数列 所以 即 -8分 所以 -12分18、(大庆铁人中学2009届高三上学期期中考试)已知数列的前项和为，且。（1）设，求证：数列是等比数列;（2）设，求证：是等差数列;（3）求。解：（1）（2）且于是即有为等差数列，公差又，从而（3），又，符合于是19、(大庆铁人中学2009届高三上学期期中考试)已知且组成等差数列（为偶数），又.（1）求数列的通项;（2）试比较与3的大小，并说明理由.(1) 由条件易得20、(哈尔滨市第九中学2008200
12、9学年度高三第三次月考)设是一个公差为的等差数列，它的前10项和，且成等比数列。 （1） 证明：； （2） 求公差的值和数列的通项公式。答案：21、(哈尔滨市第九中学20082009学年度高三第三次月考)已知数列满足 （1） 求数列的前三项的值； （2） 是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3） 求数列的前项和。答案：（1）；（2）；（3）22、(哈尔滨市第九中学20082009学年度高三第三次月考)已知数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，证明：是等差数列； （3）证明：答案：（1） （2）（3）略23、(四川省成都市高2009届高
13、中毕业班第一次诊断性检测)已知数列an满足a11，a23，且an2(12|cos|)an|sin|，nN*.(1)证明：数列a2n(kN*为等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设bka2k(1)k12(为非零整数)，试确定的值，使得对任意kN*都有bk1bk成立.解：(1)设n2k(kN*)a2n2(12|cosk|)a2k|sink|3a2k，又a23，当kN*时，数列a2k为首项为3，公比为3的等比数列；3(2)设n2k1(kN*)由a2k1(12|cos(k)|)a2k1|sin(k)|a2k11当kN*时，a2k1是等差数列a2k1a1(k1)1k5又由(1)当kN*时，数列a
14、2k为首项为3，公比为3的等比数列a2ka23k13k6综上，数列an的通项公式为an7(3)bka2k(1)k123k(1)k12k，bk1bk3k1(1)k2k13k(1)k12k 23k(1)k32k由题意，对任意kN*都有bk1bk成立bk1bk23k(1)k32k0恒成立 23k(1)k132k对任意kN*恒成立9当k为奇数时，23k32k 对任意kN*恒成立kN*，且k为奇数，1110当k为偶数时，23k32k 对任意kN*恒成立kN*，且k为偶数，11综上：有112为非零整数，1.24、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)二次函数 （1）求并求的解析式； （2）若求数
15、列并求 （3）若求符合最小自然数n解：（1） 又（2）（3） 25、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)设数列，满足，且.（）求数列的通项公式；（）对一切,证明成立；（）记数列的前n项和分别为，证明解：（）由，得，即数列是以为首项，以为比的等比数列，（）因为，所以要证明，只要证明即要证明，也即证明成立. 构造函数.，当x0时，即f(x)在内为减函数，故，即，此式对一切都成立. 故成立. （），由（）可知，利用错位相减法求得因为，所以，于是，故26、(江苏省盐城市田家炳中学09届高三数学综合练习)已知数列中，前项和为 （I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （II）设，数列
16、的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。解：（I）由题意，当 当 则 则 即 则数列是首项为1，公差为0的等差数列。 从而，则数列是首项为1，公差为1的等差数列。 所以， （II） 所以， 由于 因此单调递增，故的最小值为 令，所以的最大值为18。27、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式； （）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b
17、=2, 所以 f(x)3x22x. 又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5. 当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10. 28、(揭阳市云路中学2009届高三数学第六次测试)已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数列。解：（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得（III）证明：，得10分即，得 即是等差数列.29、(辽宁省大连市第二十四
18、中学2009届高三高考模拟)已知数列an中， （1），数列bn满足，求证：数列bn是等差数列；并求数列an的通项公式； （2）若1a12，求证：1an+1an2.（1）证明：，故数列bn是首项为，公差为1的等差数列；3分 依题意有故6分 （2）证明：先证1an2当n=1时，1a12成立；假设当n=k时命题成立，即1ak2，当故当n=k+1时命题成立，综合命题对任意时都成立，即1an29分下面证所以12成立.12分30、(山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题)数列 ()求并求数列的通项公式；()设证明：当解:()因为所以 一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，
19、所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n = 6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，.即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，31、(山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考)已知数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列解：（1）当；1分 当3分 ，4分（2）令5分 当； 当 综上，12分32、(陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)已知各项都不相等的等差数列的前六项
20、和为60，且的等比中项. （I）求数列的通项公式； （II）若数列的前n项和Tn . 解：（I）设等差数列的公差为，则2分解得4分.5分7分 （II）由10分12分 14分33、(上海市张堰中学高2009届第一学期期中考试)已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的都满足.（1）求、的值.（2）判断的奇偶性，并证明你的结论.（3）若，求数列的前项和.解：（1） （2）是奇函数证明： 是奇函数（3）当时，令，又，34、(天津市汉沽一中20082009学年度高三第四次月考试题)如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .() 写出；()求出点的横坐标关于的表达式；()设，
21、若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解：() . 2分()依题意，则yxOA0P1P2P3A1A2A3， 3分在正三角形中，有 . 4分， ， 同理可得 . -并变形得， ， 6分 . 数列是以为首项，公差为的等差数列. ， 7分，. 8分()解法1 ：， .当时，上式恒为负值，当时，数列是递减数列. 的最大值为. 11分若对任意正整数，当时，不等式恒成立，则不等式在时恒成立，即不等式在时恒成立. 设，则且，解之，得 或，即的取值范围是. 14分解法2：，设，则.当时，在是增函数.数列是递减数列. 的最大值为. 11分(以下解答过程与解法1相同)35、(厦门市第二外国语学校2
22、0082009学年高三数学第四次月考)已知是一个等差数列，且，（）求的通项； （）求前n项和Sn的最大值解：（）设的公差为，由已知条件，解出，所以（）所以时，取到最大值36、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知数列的前n项和为Sn，且Sn2(13n)(1)求证：an为等比数列。（6分）(2)的公比为q，若数列满足，求的前项和。（8分）37、(西南师大附中高2009级第三次月考)数列an中，a1 = 1，当时，其前n项和满足（1）求Sn的表达式；（2）设， 数列bn的前n项和为Tn，求Tn解：(1) 当时，代入已知得2分化简得：3分两边同除以4分 6分 7分(2) 10分 12分38
23、、(西南师大附中高2009级第三次月考)数轴上有一列点P1，P2，P3，Pn，已知当时，点Pn是把线段Pn 1 Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，Pn Pn + 1的长度分别为a1，a2，a3，an，其中a1 = 1（1）写出a2，a3和an（，）的表达式；（2）证明a1 + a2 + a3 +an 2，），在这些点中是否存在两个点同时在函数的图像上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1) 由已知，令n = 2，P1P2 = P2P3，所以a2 = 1，1分令n = 3，P2P3 = 2P3P4，所以，2分同理，所以5分(2) 因为所以而
24、n = 1时，易知a1 = 1 2时，n2 3n + 1 0，所以对于函数bn有b2 b3 b4 bn 所以式不能成立，所以，不可能有两个点同时在函数图像上14分39、(重庆一中2008学年高三年级上期半期考试)在数列an中，a1=1，an=成公比不为1的等比数列. （）求证为等差数列，并求c的值； （）设解（）显见an0.否则，若存在an=0（n1）.由递增式必有an-1=0从而导致a1=0这与a1=1矛盾.故从而c=2或c=0当c=0时，a1= a2= a5,舍去.故c=2 （）an=故40、(重庆一中2008学年高三年级上期半期考试)数列an中，a1=1，an+1=. （）求c的值； （
25、）比较的大小，并加以证明.解：（）由已知由 （）由因为从而下面证明由又再用数学归纳法证明an2. 注意到而函数所以这就是说，当n=k+1时结论也正确由1,2可知an2对nN*恒成立，从而得证.由已知易求当当当41、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)已知数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，() 求第n个集合中最小数an的表达式； （）求第n个集合中各数之和Sn的表达式； （）令f(n)= ，求证：2 . 解析: () 设第n个集
26、合中最小数an , 则第个集合中最小数 , 又第个集合中共有个数, 且依次增加2 , ,即 , -2分 , 相加得 ,即得 .又 , . -4分 （）由()得 , 从而得 . - -8分 （）由（）得 , , , - -10分 又当2 时, . - -12分 . 2 . - -14分42、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)已知数列 （1）求k的值及通项公式an. （2）求.解（1）又 （4分） （2）由（1） 当 43、(北京市东城区2008-2009学年度高三年级部分学校月考)已知等差数列，且第二项、第五项、第十 四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. （
27、1）求数列的通项公式； （2）设使得对任意的；若不存在，请说明理由.解：（I）由题意得，2分整理得 4分 6分 （II）10分假设存在整数总成立。又，是单调递增的。 12分又的最大值为8。14分44、(四川省成都市高中数学2009级九校联考)已知等差数列的前三项为a,4,3a,前n项和为Sn ,若前k项和为Sk=2550(1)求k的值；(2)求的值解：（）由3a+a=4*2,得a=2，公差2分又得整理得 2分解得（舍去）。2分（）故 2分2分因此，2分45、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)已知等差数列an中，.（1）求an的通项公式；（2）调整数列an的前三项a1、a2、a
28、3的顺序，使它成为等比数列bn的前三项，求bn的前n项和.解：（1）由，得求得，2分an的公差d33分ana1+(n1)d2+3(n1) 3n6分 （2）由（1），得a12，a21，a34. 依题意可得：数列bn的前三项为b11，b22，b34或b14，b22，b31 （i）当数列bn的前三项为b11，b22，b34时，则q28分 10分 （ii）当数列bn的前三项为b14，b22，b31时，则 .12分13分46、(福建省德化一中2009届高三上学期第三次综合测试)已知函数f（x）x24，设曲线yf（x）在点（xn，f（xn）处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（nN +），其中x1为正实
29、数.（1）用xn表示xn+1；（2）若x14，记anlg，证明数列an成等比数列，并求数列xn的通项公式；（3）若x14，bnxn2，Tn是数列bn的前n项和，证明Tn3.解:（1）由题可得所以曲线在点处的切线方程是：即2分令，得即显然，4分（2）由，知，同理故6分从而，即所以，数列成等比数列7分故即从而 所以9分（3）由（2）知， 11分当时，显然12分当时，综上， 14分47、(福建省南安一中、安溪一中、养正中学2009届高三期中联考)已知等差数列，（1）求数列的通项公式；（2）设，试确定的值，使数列的递增数列48、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列
30、的首项，前项和为，且、（n 2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，设， 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 设，证明：解：由题意得 4（n2），又，数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 8则（）由及得， 11则 13 1649、(江苏省常州市2008-2009高三第一学期期中统一测试数学试题)已知数列满足，且（）（1）求的值；（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明解：（1）由得，求得 3（2）猜想 5证明：当n=1时，猜想成立。 6设当n=k时时，猜想成立，即， 7则当n=k+1时，有，所以当n=k+1时猜想也成立 9综合，猜想对任何都成立。 10 1050、(江苏省南京师大附中2
31、0082009学年度第一学期高三期中考试)把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）试用表示（不要求证明）；若，求的值；记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求解：（1）三角形数表中前行共有个，即第行的最后一个数是 =（2）由题意，先求使得是不等式的最小正整数解由，得，（另解： ）于是，第63行的第一个数是， 故（3）前行的所有自然数的和为则，所以，当时，当时，也适合，51、(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)已知数列,（）求数列的通项公式（）当时,求证:（）若函数满足： 求证： 解: (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.-由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数列.-得: 所以,所求通项为-5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, -10分（3）证明：又-12分-