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1、高考真题分类汇编：数列高考真题分类汇编：数列一、选择题一、选择题1.（2012 重庆理 1）在等差数列an中，a21，a4 5则an的前 5 项和S5=()A.7B.15C.20D.252.（2012 浙江理 7）设是公差为dd 0的无穷等差数列aSn的前n项和，则下列命题错误的是()A.若d 0，则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项，则d 0C.若数列Sn是递增数列，则对任意n N，均有Sn 0*D.若对任意nN，均有Sn 0，则数列Sn是递增数列*3.（2012 新课标理 5）已知an为等比数列，a4a7 2，a5a6 8，则a1a10（）A.7B.5C.D.4.（2012 上海理 1
2、8）设an1nsin，Sn a1 a2 an，在S1,S2,S100中，正n25数的个数是（）A25B50C75D1005.（2012 辽宁理 6）在等差数列an中，已知a8a416，则该数列前 11 项和S11（）A.58B.88C.143D.1766.（2012 四 川 理）设 函 数f(x)2xcos x，an是 公 差 为2f(a1)f(a2)f(a5)5，则 f(a3)a1a5（）的 等 差 数 列，8A.0B.12113C.2D.216816(0,)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列(0,)7.（2012 湖北理 7）定义在(,0)an，f(an)仍是等比数列，则称f(x
3、)为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)|x|；f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为A B C D 8.（2012 福建理 2）等差数列an中，a1a510,a4 7,则数列an的公差为A.1B.2C.3D.49.（2012 安徽理 4）公比为3 2等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a16=（）A.4B.5C.6D.710.（2012 全国卷理 5）已知等差数列an的前 n 项和为Sn，a55，S515，则数列1a ann1的前 100 项和为A.二、填空题二、填空题11.（2012 浙江理
4、13）设公比为qq 0的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，9910110099(B)(C)(D)100100101101S43a42，则q _.2 2，12.（2012四川理16）记x为不超过实数x的最大整数，例如，1.51，0.3 1.a x nxn(nN)，现有下列命题：设a为正整数，数列xn满足x1 a，xn12当a 5时，数列xn的前 3 项依次为 5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当n k时总有xn xk；当n 1时，xna 1；对某个正整数k，若xk1 xk，则xn a.其中的真命题有_.（写出所有真命题的编号）13.（2012 新课标理 16）数列an满足an1(
5、1)nan 2n1，则an的前60项和为214.（2012 辽宁理 14）已知等比数列an为递增数列，且a5 a10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an=_.15.（2012 江西理 12）设数列an,bn都是等差数列，若a1b1 7，a3b3 21，则a5b5_.16.（2012 北京理 10）已知an等差数列Sn为其前n项和.若a11，则a2=_.S2 a3，2217.（2012 广东理 11）已知递增的等差数列an满足a11，a3 a24，则an=_18.（2012 重庆理 12）limn1n 5n n2.1为公比的等比数列，体积分219.（2012 上海理 6）有一列正
6、方体，棱长组成以 1 为首项、n别记为V1，V2，Vn，则lim(V1V2Vn).20.（2012 福建理 14）数列an的通项公式，an ncosn1前 n 项和为Sn，则2S2012=_.三、解答题三、解答题21（2012 江苏 20）已知各项均为正数的两个数列an和bn满足：an1anbnanbn22，n N*，（1）设bn1bn b 1，n N*，求证：数列naann2是等差数列；（2）设bn12 bn，n N*，且an是等比数列，求a1和b1的值an22.（2012 湖北理 18）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.（）求等差数列an的通项公式；（）若a2，a3，a1成等
7、比数列，求数列|an|的前n项和.23.（2012 广东理 19）设数列an的前 n 项和为Sn，满足2Sn an12n11，nN,且a1，a25a3成等差数列（1）求a1的值；（2）求数列an的通项公式（3）证明：对一切正整数 n，有1113.a1a2an224.（2012 陕西理 17）设an的公比不为 1 的等比数列，其前n项和为Sn，且a5,a3,a4成等差数列.（1）求数列an的公比；（2）证明：对任意kN，Sk2,25.（2012 江西理 17）已知数列an的前 n 项和Sn 为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列Sk,Sk1成等差数列.12n kn，k N*,且Sn的最大值
8、29 2an的前 n 项和Tn.2n26.（2012 安徽理 21）2数列xn满足：x1 0,xn1 xn xnc(nN*)（I）证明：数列xn是单调递减数列的充分必要条件是c 0；（II）求c的取值范围，使数列xn是单调递增数列.27（2012 天津理 18）已知an是等差数列，其前 n 项和为Sn，a1 b1 2,a4b4 27，bn是等比数列，S4b410.（）求数列an与bn的通项公式；（）记Tn anb1 an1b2 a1bn，n N，证 明Tn12 2an10bn（n N）.28.（2012 湖南 理 19）已知数列an各项均为正数，记An a1a2an，*Bn a2an1，Cn
9、a3a4an2，（1）若a11a25，且对任意nN，三个数An，Bn，Cn组成等差数列，求数列an的通项公式.（2）证明：数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数An，Bn，Cn组成公比为q的等比数列.29.（2012 山东理 20）在等差数列an中，a3a4a584,a9 73.（）求数列an的通项公式；（）对任意m N*，将数列an中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列bm的前m项和Sm.30.（2012 全国卷理 22）函 数f(x)x22x3，定 义 数 列xn如 下：x1 2，xn1是 过 两 点P4,5、Qnxn,f(xn)的直线PQn与x轴
10、交点的横坐标.（）证明：2 xn xn1 3；（）求数列xn的通项公式.一、选择题一、选择题1.（2012 重庆理 1）（答案）B【解析】因为a21，a4 5，所以和所以数列的前 5 项a1 a5 a2 a4 6，S55(a1 a5)5(a2 a4)56 15,选 B.2222.（2012 浙江理 7）（答案）C【解析】选项 C 显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列Sn是递增数列，但是Sn 0不成立故选 C3.（2012 新课标理 5）（答案）D【解析】因为an为等比数列，所以a5a6 a4a7 8，又a4 a7 2，所以a4 4，a7 2或a4 2，a7 4.若a4 4，a7
11、2，解 得a1 8，a101，a1 a10 7；若a4 2，a7 4，解得a10 8，a11，仍有a1 a10 7，综上选 D.4.（2012 上海理 18）（答案）D5.（2012 辽宁理 6）（答案）B【解析】在等差数列中，a1 a11 a4 a816,s1111(a1 a11)88，答案为B26.（2012 四川理 12）（答案）D【解析】f(a1)f(a2)f(a5)(2a1cosa1)(2a2cosa2)(2a5cosa5)5，即的等差数列，8代入2(a1a2 a5)(cosa1cosa2 cosa5)5，即10a3cos(a3)4cos(a3)cosa3cos(a3)cos(a3)
12、5，(2cos2cos1)cos a38844810a3 5,a3.f(a3)2a1a5(20)2()()不是的倍数，22242413，故选D.162(a1a2 a5)(cosa1cosa2 cosa5)5，而an是公差为7.（2012 湖北理 7）（答案）C22 22【解析】等比数列性质，anan2 an1，f anf an2 anan2 an12 f2an1；fanfan2 2n2aan2 2anan2 22an1 f2an1；an1 f2an1；2fanfan2anan2fanfan2 lnanlnan2 lnan18.（2012 福建理 2）（答案）B.【解析】由等差中项的性质知a39
13、.（2012 安徽理 4）（答案）B2 f2an1.选Ca1a5 5，又a4 7,d a4a3 2.故选B.22【解析】a3a1116 a716 a7 4 a16 a7q932 log2a16510.（2012 全国卷理 5）（答案）A【解 析】由a5 5,S515,得a11,d 1，所 以an1(n1)n，所 以1111，anan1n(n1)nn 1111111111100，选A.1a1a2a100a1011223100101101101又二、填空题二、填空题311.（2012 浙江理 13）（答案）2【解析】将S2 3a22，S4 3a42两个式子全部转化成用a1，q表示的式子即a1a1q
14、 3a1q2232两 式 作 差 得：a q a q 3a q(q 1)即：111233a1a1qa1q a1q 3a1q 23或 q 1(舍去)22q2 q 3 0，解之得：q 12.（2012 四川理 16）（答案）5【解析】当a 5时，x1 a 5x2同样验证可得正确，错误.13.（2012 新课标理 16）（答案）1830【解析】由an1(1)nan 2n 1得，553 53，x 3 2，故正确；322an2(1)nan1 2n 1(1)n(1)n1an 2n 1 2n 1 an(1)n(2n 1)2n 1，nn即an2 an(1)（2n 1）2n1，也有an3 an1(1)（2n 1
15、）2n3，两式相加得an an1 an2 an3 2(1)n 4n 4，设k为整数，则a4k1 a4k2 a4k3 a4k4 2(1)4k1 4(4k 1)4 16k 10，于是S60K0(a144k1 a4k2 a4k3 a4k4)(16k 10)1830K0n1414.（2012 辽宁理 14）（答案）2【解析】2a5 a10,(a1q4)2 a1q9,a1 q,an qn,2(an an2)5an1,2an(1 q2)5anq,2(1 q2)5q,解得q 2或q 15.（2012 江西理 12）（答案）351(舍去），an 2n2【解析】设数列an,bn的公差分别为d,b，则由a3b3
16、21，得a1b1 2(b d)21，即2(b d)21 7 14，所以b d 7，所以a5b5 a1b1 4(b d)7 47 35.16.（2012 北京理 10）（答案）a21，Sn121n n441，2【解析】因为S2 a3 a1 a2 a3 a1 a1 d a1 2d d a1所以a2 a1d 1，Sn na1 n(n 1)d 17.（2012 广东理 11）（答案）2n 1121n n.442【解析】由a3 a24得到1 2d (1 d)4，即d 4，应为an是递增的等差数列，22所以d 2，故an 2n1.18.（2012 重庆理 12）（答案）【解析】limn251n 5n n2
17、 limnn25n n(n 5n n)(n 5n n)22n25n n lim limnn5n151112n55519.（2012 上海理 6）（答案）87【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1 为首项，1为公比的等比数列，81n8188V1+V2+Vn=(1n)，lim(V1V2Vn)n177818120.（2012 上海理 6）（答案）3018【解析】因为函数y cos所以S201221.（2012 江苏 20）【解析】：（1）bn112x的周期是 4，所以数列an的每相邻四项之和是一个常数6，20126 3018.4三、解答题三、解答题bn，an22an1anbnanbn=bn1
18、b 1nan2.b bn1 1n.an1an22 bn1 bn bn bn11nN*.an1anan an222bn数列 是以 1 为公差的等差数列an 22（2）an0，bn0，anbn22 an2bn2anbn210知q0，下面用反证法证明q=1若q1,则a1=a22logq时，an1 a1qn2，与（）矛盾.qa1a21a21，当nlogq时，an1 a1qn1，与（）矛盾.a1q若0q1,则a1=综上所述，q=1.an a1nN*，11，于是b1b2b3.a1即a1又由an1anbnanbn22a1bna12bn2，得bn=a1 a122a12a121.b1，b2，b3中至少有两项相同
19、，与b1b2b3矛盾.a1=2.bn=2 22222 22=2.1a1=b2=2.22.（2012 湖北理 18）（答案）（）设等差数列an的公差为d，则a2 a1 d，a3 a1 2d，3a 3d 3,a 4,a 2,由题意得1解得1或1a(a d)(a 2d)8.d 3.d 3,111所以由等差数列通项公式可得an 23(n 1)3n 5，或an 43(n 1)3n 7.故an 3n 5，或an 3n 7.（）当an 3n 5时，a2，a3，a1分别为1，4，2，不成等比数列；当an 3n 7时，a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，满足条件.3n 7,n 1,2,故|an|3n
20、7|3n 7,n 3.记数列|an|的前n项和为Sn.当n1时，S1|a1|4；当n 2时，S2|a1|a2|5；当n3时，Sn S2|a3|a4|an|5(33 7)(34 7)(3n 7)(n2)2(3n7)3211n n10.当n 2时，满足此式.222n 1,4,综上，Sn3211n n10,n 1.22（答案）本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.23.（2012 广东理 19）5（1）在2Sn an12n11中令n 1得：2S1 a22 1令n 2得：2S2 a3231解得：a2 2a13，a3 6a113又2a25
21、a1a3解得a11（2）2Sn an12n12112Sn1 an22an23an12a11，a25a23a121n2n1an13an2n对nN成立an12n13 an2nan2n3nan3n2n（3）an13n12n1 23n2n1 2an11 1.an12 an当n 2时11 1.a32 a211 1.a42 a311 1.a52 a4111.an2 an1n211累乘得an2.1a2n211111111a1a2an525224.（2012 陕西理 17）173552（1）由题意可设数列an的公比为qq 0,q 1,由a5,a3,a4成等差数列，得2a3 a5a4，即2a1q2 a1q4a1
22、q3由a1 0,q 0得q2q2 0解得q1 2,q21(舍去）所以q 2（2）对任意的k NSk1Sk22SkSk2SkSk1Sk=ak1ak2ak1=2ak12ak1吧=0所以对任意k N，Sk2,Sk,Sk1成等差数列25.（2012 江西理 17）解：（1）当n k N时，12n kn取最大值，2121k k2k2即8 Sk 22Sn 故k 16因此k 4从而an SnSn1又a1 S1所以an29nn 22729n292ann（2）bn2n2n1Tnb1b2bn123n1n2n2n122221123n1nTn23n1n2222221111n得Tn12n1n2222211122n1n1
23、2122n Tn 4n1n122n 2 4n12（命题意图）本题考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用.利用ann1S1(n 1),来实现an与Sn的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一，要注意SnSn1首项a1一般通过a1 S1来求解.运用错位相减法求数列an SnSn1不能用来求解首项a1，的前 n 项和适用的情况：当数列通项由两项的乘积组成，其中一项是等差数列、另一项是等比数列.26.（2012 安徽理 21）【解析】（I）必要条件2当c 0时，xn1 xn xnc xn数列xn是单调递减数列.充分条件2数列xn是单调递减数列 x1 x2 x1 x1c c x1
24、2 0，得：数列xn是单调递减数列的充分必要条件是c 0.（II）由（I）得：c 0，当c 0时，an a1 0，不合题意；当c 0时，x2 c x1,x3 c 2c x2 c 0 c 1，22xn1 xn c xn 0 xn c 1 0 x1 xnc，22xn2 xn1(xn1 xn)(xn1 xn)(xn1 xn)(xn1 xn1).2当c 11时，xnc xn xn11 0 xn2 xn1与xn1 xn同号，42由x2 x1 c 0 xn2 xn 0 xn1 xn，2limxn1 lim(xn xnc)limxnc.nnn11时，存在N，使xN xN xN11 xN2 xN1与xN1 x
25、N异号，与421得：当0 c 时，数列xn是单调递增数列.4当c（命题意图）本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力.27.（2012 天津理 18）【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1 b1 2，得a4 23d，b4 2q，S486d323d 2q3 27d 3由题意得方程组解得3q 286d 2q 10an3n1nNbn 2nnN（2）证明：由（1）得Tn 2an22an123an22na12Tn 22an23an12na22n1a1-得Tn 23n132
26、232332n2n21212n12n26n212102 6n10n2an10bn12 23n1102n12102n6n10Tn12 2an10bnnN28.（2012 湖南理 19）【解析】（I）对任意nN,三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以B(n)A(n)C(n)B(n),即an1a1 an2,亦即an2an1 a2a1 4.故数列an是首项为，公差为的等差数列.于是an1(n1)4 4n3.（）（）必要性：若数列an是公比为的等比数列，则对任意nN，有an1 anq.由an 0知，A(n),B(n),C(n)均大于，于是B(n)a2a3.an1q(a1a2.an)q,A(n
27、)a1a2.ana1a2.anC(n)a3a4.an2q(a2a3.an1)q,B(n)a2a3.an1a2a3.an1即B(n)C(n)q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.A(n)B(n)（）充分性：若对于任意nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列，则B(n)qA(n),C(n)qB(n)，于是C(n)B(n)qB(n)A(n),得an2a2 q(an1a1),即an2qan1 a2a1.由n 1有B(1)qA(1),即a2 qa1，从而an2qan1 0.因为an 0，所以an2a2 q，故数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，an
28、1a1综上所述，数列an是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列.（命题意图）本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证29.（2012 山东理 20）【解析】（1）an是一个等差数列a3a4a53,a484设an的公差为d5d a9a4 7328 45d 9a4 a13d28 a139a11an a1n1d 19n19n8 nN1（2）对mN若9m an92m则9 8 9n 99m1m2m81 n 92n1故得bn92
29、m19m1于是Smb1b2bm99 932m1199m19181m 19m1811992m1109m18030.（2012 全国卷理 22）证明（1）用数学归纳法证明：2 xn xn13（i）当n 1时，x1 2，直线PQ1的方程为y 5 令y 0，解得x2f25x42411所以2 x1 x2 34（ii）假设n k时，结论也成立，即2 xn xn13直线PQk1的方程为y5 fxk15x4xk14令y 0，解得xk2由假设知xk234k12 xk134k155 4 4 32 xk12 xk123xk2 xk1即3 xk11 xk1 02 xk1xk1 xk2所以2 xk1 xk23即当n k 1时，结论也成立由（i）（ii）知对任意正整数n，2 xn xn13（II）由（I）及题意得xn1设bn xn3，则34xn2 xn151bn1bn11 115bn14bn4113数列是首项为，公比为5的等比数列4bn4因此113 5n1bn44435n11即bn 所以数列xn的通项公式为xn3435n11