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1、2019 年高考试题汇编理科数学-数列 1/16 2019 年高考试题汇编理科数学-数列 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019 年高考试题汇编理科数学-数列）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为 2019 年高考试题汇编理科数学-数列的全部内容。2019 年高考试题汇编理科数学-数列 2/16
2、（2019 全国 1 理）9。记nS为等差数列na的前n项和。已知40S，55a，则（）A。25nan B。310nan C。228nSnn D。2122nSnn 答案：A 解析：依题意有415146045Sadaad,可得132ad，25nan,24nSnn.（2019 全国 1 理)14.记nS为等比数列na的前n项和，若113a，246aa，则5S .答案：5S 1213 解答:113a,246aa 设等比数列公比为q 32511()a qa q 3q 5S 1213 2019 全国 2 理）19。已知数列na和nb满足11a，01b，4341nnnbaa，4341nnnabb.（1）证
3、明：nnba 是等比数列，nnba 是等差数列;（2）求na和nb的通项公式。答案：（1）见解析（2）21)21(nann，21)21(nbnn。解析：2019 年高考试题汇编理科数学-数列 3/16(1）将4341nnnbaa，4341nnnabb相加可得nnnnnnbababa334411,整理可得)(2111nnnnbaba，又111 ba，故nnba 是首项为1，公比为21的等比数列.将4341nnnbaa，4341nnnabb作差可得8334411nnnnnnbababa,整理可得211nnnnbaba，又111 ba，故nnba 是首项为1，公差为2的等差数列。（2）由nnba 是
4、首项为1，公比为21的等比数列可得1)21(nnnba；由nnba 是首项为1,公差为2的等差数列可得12 nbann;相加化简得21)21(nann，相减化简得21)21(nbnn。(2019 全国 3 理)5.已知各项均为正数的等比数列na的前4项和为15，且53134aaa,则3a（）A。16 B。8 C.4 D.2 答案:C 解答：设该等比数列的首项1a，公比q,由已知得，4211134a qa qa,因为10a 且0q，则可解得2q，又因为231(1)15aqqq，即可解得11a,则2314aa q。（2019 全国 3 理)14.记nS为等差数列na的前n项和，若10a,213aa
5、，则105SS .答案：4 解析:设该等差数列的公差为d，213aa，113ada，故1120,0daad，2019 年高考试题汇编理科数学-数列 4/16 1101101551102 292 102452452aaadSdaaSadd。(2019 北京理）10。设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3,S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【答案】（1).0.（2）.-10.【解析】【分析】首先确定公差,然后由通项公式可得5a的值，进一步研究数列中正项负项的变化规律，得到和的最小值。【详解】等差数列na中,53510Sa，得322,3aa ，公差321daa，5320aad,由等差数列n
6、a的性质得5n时，0na，6n 时,na大于 0，所以nS的最小值为4S或5S，即为10。【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式等差数列的性质,难度不大，注重重要知识基础知识基本运算能力的考查。(2019 北京理）20.已知数列an,从中选取第i1项、第i2项、第im项(i1i2im），若12miiiaaa,则称新数列12miiiaaa，为an的长度为m的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列（)写出数列 1，8，3，7,5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列an的长度为p的递增子列的末项的最小值为0ma，长度为q的递增子列的末项的最小值为0na.
7、若pq,求证：0ma0na；（)设无穷数列 an的各项均为正整数,且任意两项均不相等。若an的长度为s的递增子列末项的最小值为 2s1，且长度为s末项为 2s1 的递增子列恰有 2s1个（s=1，2，），求2019 年高考试题汇编理科数学-数列 5/16 数列an的通项公式【答案】（)1,3，5,6.(）见解析；()见解析。【解析】【分析】(）由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；（)利用数列的性质和递增子列的定义证明题中的结论即可；（）观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后证明通项公式满足题中所有的条件即可.【详解】（）满足题意的一个长度为 4 的递增子列为：
8、1，3,5,6.（)对于每一个长度为q的递增子列12,qa aa，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列12,pa aa，此时pqaa，设所有长度为q的子列的末项分别为:123,qqqaaa,所有长度为p的子列的末项分别为：123,pppaaa，则0123min,nqqqaaaa，注意到长度为p的子列可能无法进一步找到长度为q的子列,故0123min,mpppaaaa，据此可得：00mnaa（)满足题意的一个数列的通项公式可以是1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nnnann为偶数为奇数，下面说明此数列满足题意。很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等。2019 年高考试题
9、汇编理科数学-数列 6/16 长度为s的递增子列末项的最小值为 2s1，下面用数学归纳法证明长度为s末项为 2s1 的递增子列恰有12s个1,2,s：当1n 时命题显然成立，假设当nk时命题成立，即长度为k末项为 2k1 的递增子列恰有12k个,则当1nk 时,对于nk时得到的每一个子列121,21ksssaaak，可构造：121,21,211ksssaaakk 和 121,2,211ksssaaakk 两个满足题意的递增子列,则长度为k+1 末项为 2k+1 的递增子列恰有 1112 222kkk 个，综上可得,数列1,2,1,4,3,6,5,8,7,1,nnnann为偶数为奇数是一个满足题
10、意的数列的通项公式。注：当3s 时，所有满足题意的数列为:2,3,5,1,3,5,2,4,5,1,4,5，当4s 时，数列2,3,5对应的两个递增子列为:2,3,5,7和2,3,6,7.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。（2019 天津理）19.设na是等差数列,nb是等比数列.已知1122334,622,24abbaba，.()求na和n
11、b的通项公式；（）设数列nc满足111,22,1,2,kknkknccb n 其中*kN.（i）求数列 221nnac的通项公式；（ii）求2*1niiia cnN.2019 年高考试题汇编理科数学-数列 7/16【答 案】（）31nan；3 2nnb （）（i）221941nnnac （ii）2*211*12725 212nnniiia cnnn NN【解析】【分析】（）由题意首先求得公比和公差,然后确定数列的通项公式即可;（）结合(）中的结论可得数列 221nnac的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n项和公式可得21ni iia c的值.【详解】
12、（）设等差数列na的公差为d,等比数列nb的公比为q。依题意得262 426262 424124qddqdd ，解得32dq，故4(1)331nann ，16232nnnb 。所以,na的通项公式为31nan,nb的通项公式为3 2nnb 。()（i)222113 21 3 21941nnnnnnnacab 。所以，数列 221nnac的通项公式为 221941nnnac .（ii）22111nniiiiiiia caac 2222111nniiiiiaac 2212432nnn 19 41nii 2114 1 43 25 291 4nnnn 211*2725 212nnnnN 。【点睛】本题
13、主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识。考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力。2019 年高考试题汇编理科数学-数列 8/16 （2019 上海)18已知数列na，13a,前n项和为nS(1）若na为等差数列，且415a，求nS；（2）若na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围【解答】解:（1）4133315aadd ，4d,2(1)3422nn nSnnn；（2）3(1)1nnqSq,limnnS存在,11q，limnnS存在，11q 且0q，3(1)3limlim11nnnnqSqq，3121q，34q，10q 或304q，公比q的取值
14、范围为(1,0)(0，3)4(2019上海）21已知等差数列na的公差(0d，数列nb满足sin()nnba,集合*|,nSx xb nN（1）若120,3ad，求集合S；（2）若12a，求d使得集合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：n Tnbb，T是不超过 7 的正整数，求T的所有可能的值【解答】解：（1）等差数列na的公差(0d，,数列nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN 当120,3ad,集合32S,0，32(2）12a，数列nb满足sin()nnba，集合*|,nSx xb nN恰好有两个元素，如图：2019 年高考试题汇编理科数学-数列 9/16 根
15、据三角函数线，等差数列na的终边落在y轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时d，1a终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素,可以使2a，3a的终边关于y轴对称,如图OB，OC，此时23d，综上，23d或者d（3）当3T 时，3nnbb，集合1Sb，2b，3b，符合题意 当4T 时，4nnbb,sin(4)sinnnada，42nnadak,或者42nnadka,等差数列na的公差(0d，故42nnadak，2kd,又1k,2 当1k 时满足条件，此时S，1，1 当5T 时，5nnbb，sin(5)sinnnada，52nnadak,或者52nnadka，因为(0d，故1k，2 当1k
16、 时，sin10S,1，sin10满足题意 当6T 时，6nnbb，sin(6)sinnnada,所以62nnadak或者62nnadka，(0d，故1k，2，3 当1k 时，33,0,22S，满足题意 当7T 时,7nnbb，sin(7)sinsinnnnadaa，所以72nnadak，或者72nnadka,(0d，,故1k，2,3 当1k 时，因为17bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mnaa，227dmn，7mn，7m，不符合条件 2019 年高考试题汇编理科数学-数列 10/16 当2k 时,因为17bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3
17、 个点,必然有2mnaa，247dmn，mn不是整数，不符合条件 当3k 时，因为17bb对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mnaa或者4，267dmn,或者467dmn，此时,mn均不是整数，不符合题意 综上，3T,4，5，6 2019 年高考试题汇编理科数学-数列 11/16 （2019 江苏)8.已知数列an*()nN是等差数列，Sn是其前n项和.若25890,27a aaS，则8S的值是_.【答案】16【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前 8 项和即可.【详解】由题意可得：258111914709 89272a aaadadadSad,解得
18、：152ad,则818 7840282162Sad .【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题,从已知出发,构建1a d,的方程组.（2019 江苏）20。定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”。（1）已知等比数列an满足：245132,440a aaaaa，求证：数列an为“M数列”;2019 年高考试题汇编理科数学-数列 12/16（2）已知数列bn满足:111221,nnnbSbb，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列 cn(nN
19、),对任意正整数k，当km时,都有1kkkcbc成立，求m的最大值【答案】（1）见解析;(2)bn=n*nN；5.【解析】【分析】(1）由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论；（2）由题意利用递推关系式讨论可得数列bn是等差数列，据此即可确定其通项公式;由确定kb的值，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得m的最大值【详解】（1）设等比数列an的公比为q，所以a10，q0。由245321440a aaaaa，得244112111440a qa qa qa qa，解得112aq 因此数列na为“M数列。（2）因为1122nnnSbb，所以0nb 由1111,b
20、Sb得212211b,则22b.由1122nnnSbb，得112()nnnnnb bSbb，当2n 时,由1nnnbSS，得 111122nnnnnnnnnb bbbbbbbb,整理得112nnnbbb 2019 年高考试题汇编理科数学-数列 13/16 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n*nN。由知，bk=k，*kN。因为数列cn为“M数列”,设公比为q，所以c1=1,q0.因为ckbkck+1,所以1kkqkq，其中k=1，2,3,，m。当k=1 时，有q1;当k=2，3，m时，有lnlnln1kkqkk 设f（x）=ln(1)xxx，则21
21、ln()xf xx 令()0f x，得x=e.列表如下：x（1，e）e(e,+)()f x+0 f（x)极大值 因为ln2ln8ln9ln32663，所以maxln3()(3)3f kf 取33q，当k=1,2，3，4，5 时，lnlnkqk,即kkq,经检验知1kqk也成立 因此所求m的最大值不小于 5 若m6,分别取k=3,6，得 3q3,且q56，从而q15243，且q15216，所以q不存在。因此所求m的最大值小于 6。综上,所求m的最大值为 5【点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、2019 年高考试题汇编理科数学-数列 14/16 转化与化
22、归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力 10.设,a bR，数列na中，21,nnnaa aab，bN，则（)A.当101,102ba B。当101,104ba C。当102,10ba D。当104,10ba 【答案】A【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查。本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项 B:不动点满足2211042xxx 时，如图，若1110,22naaa，排除 如图，若a为不动点12则12na 选项 C：不动点满足22192024xxx ,不动点为ax12,令2a,则210na ，排除 选项 D:不动点满足2211
23、74024xxx ，不动点为17122x，令17122a，则1711022na ，排除。2019 年高考试题汇编理科数学-数列 15/16 选项 A：证明：当12b 时，2222132431113117,12224216aaaaaa ，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n时,221112nnnaaa，则117117171161616log2loglog2nnnnaaa则 12117(4)16nnan ,则62641021716464 631111 4710161616216a 。故选 A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取
24、值，利用“排除法”求解.20。设等差数列na的前n项和为nS,34a，43aS，数列nb满足：对每12,nnnnnnnSb Sb SbN成等比数列.（1)求数列,nnab的通项公式；（2）记,2nnnaCnbN 证明：12+2,.nCCCn nN【答案】（1）21nan,1nbn n；（2）证明见解析。【解析】【分析】(1）首先求得数列na的首项和公差确定数列na的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列nb的通项公式；(2)结合(1）的结果对数列nc的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.【详解】(1)由题意可得：111243
25、2332adadad，解得：102ad，2019 年高考试题汇编理科数学-数列 16/16 则数列na的通项公式为。其前n项和 02212nnnSn n。则 1,1,12nnnn nb n nbnnb 成等比数列，即：21112nnnn nbn nbnnb ，据此有:2222121112121nnnnnnnn nbbn nnnnnbn nbb ，故 22112121(1)(1)(1)(2)nnnn nnbn nnnnnn nn .(2）结合(1）中的通项公式可得：112221211nnnanCnnbn nnnnnn,则 12210221212nCCCnnn .【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，,裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力。