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1、1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学试题一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【2014 年陕西卷（理01） 】已知集合2|0,|1,Mx xNx xxR，则MNI（）.0,1A.0,1)B.(0,1C.(0,1)D【答案】 B 【解析】BNMNM选，).1 ,0),11- (),0=+=【2014 年陕西卷（理02） 】函数( )cos(2)6f xx的最小正周期是（）.2A.B.2C.4D【答案】 B 【解析】BT选,22|2=【2014 年陕西卷（理03） 】定积分10(2)xxe dx的
2、值为（）.2Ae.1B e.C e.1D e【答案】 C 【解析】Ceeeexdxexxx选,-0-1|)()2(1001102=+=+=+【2014 年陕西卷（理 04） 】 根据右边框图， 对大于 2 的整数N， 输出数列的通项公式是 （）.2nA an.2(1)nB an.2nnC a1.2nnD a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2 【答案】 C 【解析】Cqaaaaan选的等比数列是.2,2, 8,4
3、,21321=【2014 年陕西卷（理05） 】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A.4B.2C4.3D【答案】 D 【解析】Drrrr选解得设球的半径为.3434V, 1,4)2(11)2(,32222=+=【2014 年陕西卷（理06） 】从正方形四个顶点及其中心这5 个点中，任取2 个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）1.5A2.5B3.5C4.5D【答案】 C 【解析】Cp选反向解题.53C4C4-1.2525=【2014 年陕西卷（理07） 】下列函数中，满足“fxyfx fy”的单调递增函数是（）（A）12fx
4、x（B）3fxx（C）12xfx（D）3xfx【答案】 D 【解析】DyfxfyxfDCyxyxyx选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.+=?=?=+【2014 年陕西卷（理08） 】原命题为“若12,z z互为共轭复数，则12zz” ，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3 （A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（ D ）假，
5、假，假【答案】 B 【解析】Bzzbazbazbiazbiaz选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,|,| ,-,.2122222111=+=+=+=【2014 年陕西卷（理 09） 】 设样本数据1210,x xxL的均值和方差分别为1和 4， 若iiyxa（a为非零常数，1,2,10iL） ，则12,10,yyyL的均值和方差分别为（）（A）1+ ,4a（B）1,4aa（C ）1,4（D）1,4+a【答案】 A 【解析】A选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.【2014 年陕西卷（理10） 】如图，某飞行器在
6、4 千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离 10 千米处下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则函数的解析式为（）（A）3131255yxx（B）3241255yxx（C）33125yxx（D）3311255yxx【答案】 A 【解析】AAfxffxfAfx选符合只有，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点.053-53)5(53-1253x)(2-3-1)5(x53-x1251)(.0)5(,5,2-5(),0 ,0(23=名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
7、 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4 第二部分（共100 分）二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5 小题， 每小题 5分，共25 分） . 【2014 年陕西卷（理11） 】已知,lg,24axa则x=_. 【答案】10【解析】.1010,21lg12a,lg,224212aa=xaxax所以，【2014 年陕西卷 （理 12） 】若圆C的半径为1，其圆心与点)0 , 1(关于直线xy对称，则圆C的标准方程为 _. 【答案】11-(22=+）yx【解析】.11-(1),1 , 0()1 ,0()0, 1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的
8、对称点关于点yxxy【2014 年陕西卷（理13） 】设20，向量sin2coscos1abrr，若ba /，则tan_. 【答案】21【解析】.21tan,coscossin2cos2sin/).1 ,(cos),cos,2(sin22=解得即，baba【2014 年陕西卷（理14） 】观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V) 棱数（E) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中，EVF，所满足的等式是_. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
9、 - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5 【答案】2+=+EVF【解析】.2+=+EVF经观察规律，可得【2014 年陕西卷（理15） 】 （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）.A( 不等式选做题 ) 设, ,a b m nR，且225,5abmanb，则22mn的最小值为.B（几何证明选做题）如图，ABC中，6BC，以BC为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F，若2ACAE, 则EF.C（坐标系与参 数方程选做题） 在极坐 标系中，点(2,)6到直 线sin()16的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1
10、【解析】A 5.5)sin(5)sin(5os5sin5,os5, sin5, 52222222222的最小值为所以，则设nmnmnmnmcnmnbmacbaba+=+=+=+=+=+B .3,2,6=EFAEACBCCBEFACAEACBAEF，且相似与C 1|1323-3|023-1 ,3(,2-3121os-23sin)6-sin(,1 ,3()6,2(=+=+=?=dyxxyc的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5
11、 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6 小题，共75 分）【2014 年陕西卷（理16） 】 （本小题满分12 分）ABC的内角CBA，所对的边分别为cba，. （I ）若cba，成等差数列，证明：CACAsin2sinsin；（II ）若cba，成等比数列，求Bcos的最小值 . （1） a 、 b、c 成等数列，a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin(A+C) sinA+sinC=2sin（A+C ）. (II) a,b,c成等比
12、例， b2=2c. 由余弦定理得 cosB=acaccaacbca22222222122acacac，当且仅当a=c 时等号成立 . cosB 的最小值为21. 【2014 年陕西卷（理17） 】 （本小题满分12 分）四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱CADCBD，于点HGF，. （I ）证明：四边形EFGH是矩形；（II ）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值 . 解 （I ）由该四面体的三视图可知，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
13、- - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7 BDDC, BDAD , ADDC, BD=DC=2 ，AD = 1. 由题设， BC/平面 EFGH, 平面 EFGH平面 BDC=FG, 平面 EFGH平面 ABC=EH, BC/ FG, BC/EH, FG/EH. 同理 EF/AD,HG/AD, EF/HG, 四边形 EFGH 是平行四边形。又 ADDC , ADBD, AD平面 BDC ，ADBC, EFFG, 四边形 EFGH 是矩形 . （II ）解法一如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D（0,0,0 ）,A(0,0,1), B(2,0,
14、0),C(0,2,0), DA =(0,0,1), BC =(-2,2,0), BA =(-2 , 0, 1). 设平面 EFGH的法向量n=（x , y , z） ， EF/AD,FG/BC, n? DA =0, n? BC =0 ，得. 022, 0yxz取 n=（1,1,0 ）. sin=.510252n,cos?BAnBAnBA解法二如图，以 D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 D （0,0,0 ） ， A （0,0,1 ） ， B （2,0,0 ） ,C (0,2,0). E)21,0, 1(,F(1,0,0),G(0,1,0). ).1 , 0, 2(),0 , 1 , 1(),2
15、1,0 ,0(BAFGFE设平面 EFGH的法向量n=（x，y， z） ，则,0, 0?FGnFEn得, 0,021yxz取 n=（1,1,0 ） ，.510252,cossin?nBAnBAnBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 8 【2014 年陕西卷（理18） 】 （本小题满分12 分）在直角坐标系xOy中，已知点)2,3(),3 ,2(),1 , 1(CBA，点),(yxP在ABC三边围成的区域（含边界）
16、上（ 1）若0PCPBPA，求OP；（ 2）设),(RnmACnABmOP，用yx,表示nm，并求nm的最大值 .【答案】解（ I）解法一,0PCPBPA又)2,3()3,2()y-1x1 (yxyxPCPBPA， =（6-3x ，6-3y ） ，,036,036yx解得 x=2，y=2，即.22),2,2(OPOP故解法二，0PCPBPA则，0OPOCOPOBOPOA，)22(31OCOBOAOP.22OP(II),ACnABmOP (x,y)=(m+2n,2m+n), ,2,2nmynmx两式相减得，m-n=y-x ，令 y-x=t ，由图知，当直线y=x+t 过点 B（2,3 ）时， t
17、 取得最大值1，故 m-n 的最大值为1. 【2014 年陕西卷（理19） 】 （本小题满分12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物市场价格（元/kg）6 10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 9 （1）设X表示在这块地上种植1 季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3 季种植此作物，求这3 季中
18、至少有2 季的利润不少于 2000 元的概率 . 解（ I ）设 A表示事件“作物产量为300kg” ，B表示事件“作物市场价格为6 元/kg ” ，由题设知 P(A)=0.5 ， P(B)=0.4 利润 =产量市场价格 - 成本， X 所有可能地取值为 500 X 10 - 1000 = 4000，500 X 6 - 1000 = 2000. 300 X 10 - 1000 = 2000， 300 X 6 - 1000=800. P(X = 4000) =PBPA = (1 - 0.5) X (1 - 0.4) = 0.3. P(X = 2000) =PBPA + PBPA = (1- 0.
19、5) X 0.4 X 0.5 X (1 - 0.4) = 0.5. P(X = 800) =PBPA = 0.5 X 0.4 = 0.2. 所以 X 的分布列为（II ）设 C1，C2，C3相互独立，由（ I ）知， P （G）= P(X = 4000) + P(X = 2000) = 0.3+0.5 = 0.8 (i= 1,2,3), 3季的利润均不少于2000 元的概率为 P(321CCC)+P(321CCC)+P(321CCC)=3X0.82X0.2=0.384, 所以，这3 季中至少有2 季的利润不少于2000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. 【2014 年陕西卷（理
20、20） 】 （本小题满分13 分）如 图 ， 曲 线C由 上 半 椭 圆22122:1(0,0)yxCabyab和 部 分 抛 物 线22:1(0)Cyxy连接而成，12,C C的公共点为,A B，其中1C的离心率为32. （1）求,a b的值；概率0.4 0.6 作物产量（ kg）300 500 概率0.5 0.5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1 0（2）过点B的直线l与12,C C分别交于,P Q（均异
21、于点,A B） ，若APAQ，求直线l的方程 . 解 （I ）在 C1,C2 的方程中，令y=0，可得 b=1，且 A（- 1 ，0） ，B(1，0) 是上班椭圆C1的左右顶点。设 C1 的半焦距为C，由123222bcaac及得 a=2. a=2 ，b=1. （II ）解法一由（ I ）知，上半椭圆C1方程为).0(1422yxy易知，直线l与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为y=),0)(1(kxk代入 C1的方程，整理得.042)4(2222kxkxk（*）设点 p 的坐标为（ xp，yp） ，直线l过点 B， x=1 是方程（ * ）的一个根 . 由求根公式，得 xp=,48yp,44
22、222kkkk从而点 P的坐标为（48,44222kkkk）. 同理，由)0(1),0)(1(2yxykxky得点Q的的坐标为（- k - 1，- k2 - 2k ）. ).2, 1 (),4,(422kkAQkkkAP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1 1 APAQ, , 0)2(442-,022?kkkkAQAP即38,0)2(4, 0kkkk解得. 经检验，38k符合题意，故直线l的方程为).1(38x
23、y解法二若设直线l的方程为)0(1 mmyx，比照解法一部分。【2014 年陕西卷（理21） 】 （本小题满分14 分）设函数( )ln(1),( )( ),0f xxg xxfxx，其中( )fx是( )f x的导函数 . （1）11( )( ),( )( ),nngxg xgxg gxnN，求( )ngx的表达式；（2）若( )( )f xag x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设nN，比较(1)(2)( )ggg nL与( )nf n的大小，并加以证明. 解由题设得， g(x) = ).0(1xxx（I ）由已知， g1（x）= ,21111)(1()(2,1xxxxxxggxgxx.
24、1)(,.,31)( 3nxxxgnxxxg可得下面用数学归纳证明. 1 当 n= 1 时， g1（x）=，结论成立 . 2 假设 n=k 时结论成立，即gk（ x）=kxx1. 那么，当 n=k+1 时. ,) 1(1111)(1)()()(1xkxkxxkxxxgxgxggxgkkkk即结论成立 . 由12 可知，结论对nN,成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1 2（II ）已知.11m)()(恒
25、成立）（恒成立，即xaxxxagxf设),0(1)1(1)(xxaxxnx则,)1(1)1 (11)( 22xaxxaxx，）（上单调递增，又，在000)(x上恒成立，在 00)(x a1 时，对,0)( 1,0(xax有上单调递减，在（1,0)(ax.0)0()1(a即 a1 时存在 x0, 使不恒成立，）（故知x1axx1n1, 0)(x综上可知， a的取值范围是（1 ,. （III）由题设知g(1)+g(2)+.+g(n)=,1.3221nn),1(1)(nnnnfn比较结果为).1(1)(.)2()1 (nnnnggg证明如下：证法一上述不等式等价于),1(111.3121nnn在（
26、II ）中取 a=1，可得 1n（1+x）.0,1xxx令nnnnnnx111n1,1则. 下面用数学归纳证明. 1 当 n=1 时，2121n，结论成立 . 2 假设当 n=k 时结论成立，即).1(111.3121knk那么，当n=k+1 时，),2(1121) 1(121)1(121.3121knkknknkknk即结论成立 . 由12 可知，结论对nn成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1 3证
27、法二上述不等式等价于),1(111.3121nnn在（ II ）中取 a=1，可得.0,1)1 (1xxxxn令.11n1nn1,1nnnnx则故有 1n2-1n121, 312131nn, . 111)21(1nnnnn, 上述各式相加可得11.3121) 1(1nnn，结论得证 . 证法三如图，dxxon1是由曲线nxxxy,1及 x 轴所围成的曲边梯形的面积，而1.3221nn是图中所示各矩形的面积和，)1(1)111 (011.3221nnndxxndxxxonnn，结论得证 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -