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1、2015高 考 理 科 数 学 试 题 分 类 汇 编 一-数 列 1.12015高 考 重 庆，理 2】在 等 差 数 列&“中，若%=4,%=2,则 以=（）A、-1 B、0 C、1 D、62.12015高 考 福 建，理 8 若 4/是 函 数/（x）=x2-px+q（p 0,q 0）的 两 个 不 同 的 零 点,且。，仇-2 这 三 个 数 可 适 当 排 序 后 成 等 差 数 列，也 可 适 当 排 序 后 成 等 比 数 列，则+4的 值 等 于（）A.6 B.7 C.8 D.93.【2015高 考 北 京，理 6 设“是 等 差 数 列.下 列 结 论 中 正 确 的 是（）
2、A.若+生。，贝|。2+。3 0 B.若 4+30，则 q+20C.若 0q D.若 1 04.【2015高 考 浙 江，理 3 已 知%是 等 差 数 列，公 差 d 不 为 零,前 项 和 是 S，若,%，小 成 等 比 数 列，则（）/.a d 0,dS4 0 B.a d 0,dS4 0,6?S4 0 D.axd 0512015高 考 安 徽，理 14】已 知 数 列 4 是 递 增 的 等 比 数 列，q+%=9,4%=8,则 数 列 4 的 前 项 和 等 于.6.2015高 考 新 课 标 2,理 16 设 S“是 数 列%的 前 n 项 和，且 q=T,an+i=SSn+,则 S
3、,=.7.12015高 考 广 东，理 10】在 等 差 数 列 4 中，若%+&+%+%=2 5,则 a2+as=.8.【2015高 考 陕 西，理 13】中 位 数 1010的 一 组 数 构 成 等 差 数 列，其 末 项 为 2015,则 该 数 列 的 首 项 为.9.12015江 苏 高 考，11 数 列“满 足 4=1,且。，川 4,=+1（e N*）,则 数 歹 i j 的前 10项 和 为 10.2015江 苏 高 考，20（本 小 题 满 分 16分）设 是 各 项 为 正 数 且 公 差 为 d（d H 0）的 等 差 数 列（1）证 明：2。,22,2%,2，依 次 成
4、 等 比 数 列；（2）是 否 存 在 4 9，使 得 卬,生 2,。；，出 4依 次 成 等 比 数 列，并 说 明 理 由：（3）是 否 存 在 q,d 及 正 整 数 次，使 得 a：,a,a，2k/，3人 依 次 成 等 比 数 列，并 说 明 理 由.11.【2015高 考 浙 江，理 20 已 知 数 列%满 足 且 区 14殳 42（N*）；（2）设 数 列 a；的 前 项 和 为 5“，证 明 4出%+1=4-a：(1)证 明:!-i(n G N*).2(/?+2)n 2(n+1)12.12015高 考 山 东，理 18 设 数 列%的 前 n 项 和 为 已 知 2s“=3+
5、3.（I）求 4 的 通 项 公 式；（II）若 数 列 也 满 足 anbn=log3an,求 也 的 前 n 项 和 7；.13.【2015高 考 安 徽，理 18 设 eN*,x,是 曲 线 y=+在 点（,2）处 的 切 线 与 x轴 交 点 的 横 坐 标.（I）求 数 列%的 通 项 公 式；（II）记 7；=X：后 刍 厂 证 明 4 14.【2015高 考 天 津，理 18（本 小 题 满 分 13分）已 知 数 列 4 满 足 a+2=qaq为 实 数,且 4 工 1),n e N*,at=,a2-2,且 g+a3M3+4,4+%成 等 差 数列(I)求 q 的 值 和 4
6、的 通 项 公 式；(II)设 匕=lg2%，uN，求 数 列 也 的 前 项 和.*15.【2015高 考 重 庆，理 22 在 数 列 4 中，q=3,。“+%+加 什+区：=0(e%)(1)若 4=0,=-2,求 数 列%的 通 项 公 式;(2)若=,左。22),=一 1,证 明：2+一 2+一 k 3匈+1 K 2 e+116.12015高 考 四 川，理 16 设 数 列%的 前 项 和$,=2厂 q,且 q,%+Lq成 等 差 数 列.(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)记 数 列 的 前 n 项 和 Tn,求 得 匿-1|1时,记.=,求 数 列 c“的 前 n 项 和
7、 T.18.12015高 考 陕 西，理 21(本 小 题 满 分 12分)设 力(X)是 等 比 数 列 1,龙,短，,，的 各 项 和，其 中 x 0,H G N,.证 明：函 数 耳,(力=力(力 一 2 在 内 有 且 仅 有 一 个 零 点(记 为),且 Z+(II)设 有 一 个 与 上 述 等 比 数 列 的 首 项、末 项、项 数 分 别 相 同 的 等 差 数 列,其 各 项 和 为 gn(%),比 较 X(x)与 gn(x)的 大 小，并 加 以 证 明.19.【2015高 考 新 课 标 1,理 1 7 1S”为 数 列%的 前 项 和.已 知%0,错 误！未 找 到 引
8、 用 源。.（I）求 4,的 通 项 公 式；（II）设=一 错 误！未 找 到 引 用 源。，求 数 列 的 前 项 和.44+120.12015高 考 广 东，理 21 数 列/满 足 4+2%+=4(1)求 生 的 值；(2)求 数 列 4 前 n 项 和 Tn；(3)令 4=6,Z,/i=Z-L+fi+l+l+.+l L jn2).证 明：数 列 2 的 前 项 和 S 满 足 2+21n.n 2 3 n)n【2015高 考 上 海,理 22】已 知 数 列 4 与 也 满 足。“+|-%=2（%，neN,.若 a=3+5,且 q=l,求 数 列 4 的 通 项 公 式;设“的 第 项
9、 是 最 大 项，即 4/（w N*）,求 证：数 列 4 的 第 项 是 最 大 项;设 q=4 0,5=元,e N D,求 力 的 取 值 范 围，使 得 有 最 大 值 M 与 最 小 值 a,且 M e（-2,2）.m2015高 考 理 科 数 学 试 题 分 类 汇 编 一-数 列 1 20BDCB 5.2-1 6.7.10.8.5 9,n 1110.【解 析】试 题 分 析(1)根 据 等 比 数 列 定 义 只 需 验 证 每 一 项 与 前 一 项 的 比 值 都 为 同 一 个 不 为 零 的 常 数 即 可(2)本 题 列 式 简 单，变 形 较 难，首 先 令 f=幺 将
10、 二 元 问 题 转 化 为 一 元，再 分 别 求 解 两 个 高%次 方 程，利 用 消 最 高 次 的 方 法 得 到 方 程：7/+小+3=0,无 解，所 以 不 存 在(3)同(2)先 令/=包 将 二 元 问 题 转 化 为 一 元，为 降 次，所 以 两 边 取 对 数，消 去 n,k得 到 关 于 t 的 一 元 方 程 4 ln(l+3/)ln(l+f)-ln(l+3。ln(l+2f)3 ln(l+2t)ln(l+r)=0,从 而 将 方 程 的 解 转 化 为 研 究 函 数 g(r)=4 ln(l+3/)ln(l+/)-ln(l+3。ln(l+27)-3ln(l+2r)l
11、n(l+r)零 点 情 况,这 个 函 数 需 要 利 用 二 次 求 导 才 可 确 定 其 在(0,+oo)上 无 零 点 试 题 解 析：(1)证 明:因 为 匕=2 册+=2”(=12”2,3)是 同 一 个 常 数,所 以 2%，2%，2%，2%依 次 构 成 等 比 数 列.(2)令 q+d=。，则 q,a2,%分 别 为 d,，a+d,ci+2d(a cl,2d,d w 0).假 设 存 在 q,d,使 得 q,ai,a；,a：依 次 构 成 等 比 数 列,则 a=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a?(a+2 d.令 t=；,贝 ijl=(l f)(l+f)3,且(l+
12、f)6=(l+2r)4(-1r 从 而 得 证；(2)山-=2和 14 匚 W 2 得,an-a：1一%+1 a a“+i an+l1-2,从 而 可 得 一-Wa“+|V 一(e N*),即 可 得 证.4用/2(“+1)+2试 题 解 析：(1)由 题 意 得，all+l-a=-a2 0,即 4+44,“(1。1)4。，由 0。“得，=a=el,2,即 1 4%4 2；(2)山 题 意 得 a：=/一“山，4+1%-a,-an an+i；S“=q a“+，由-=-2和 1K 2 得，1K-2,a“+i a a,l+l all+i an+l an：.n-2,因 此 一?4。向 4 一(eN*
13、)，由 得 an+x a 2(+1)n+22(+2)n 2(+1)12.【解 析】(I)因 为 迄=3:+3所 以，2=3+3,故 q=3：当 a 1 时，2 5=3+3;此 时,2=25.2 s z=3-3 L a_=所 以，a,.=3.n=1.3。1:d i）因 为 q 瓦=lo g；a：,所 以 句=13当 1 时，5,.=3*-:log：3=(?7-1)-31-,所 以=;当 1 时，7；=乙+仇+&+=；+(l x 3 i+2x3-2+(-1)3)所 以 37；=1+(1乂 3。+2*3-1+3+(-1)32一)两 式 相 减，得 2 7；+(3。+3-、3 2-)-(-1).3+3
14、 J 1 313 6/1+36 2x3b,、，T 13 6+3所 以 7；=+-12 4x3经 检 验，n-1 时 也 适 合，,.小 13 6n+3综 上 可 得：T,=+-12 4x31 3.解 析】试 题 分 析：（I）对 题 中 所 给 曲 线 的 解 析 式 进 行 求 导，得 出 曲 线 y=f 2+i在 点（1,2）处 的 切 线 斜 率 为 2+2.从 而 可 以 写 出 切 线 方 程 为 y-2=（2+2）（x-l）.令 y=0.解 得 切 线 与，轴 交 点 的 横 坐 标 V 商=为(II)要 证 7；2-,需 考 虑 通 项 为 2,，通 过 适 当 放 缩 能 够
15、使 得 每 项 相 消 即 可 证 明.思 路 4/7如 下：先 表 示 出 工 二 上 一 二 己“网 二 勺，求 出 初 始 条 件 当=1 时，7：=-.当 n2 时 1 42,2-/(2-1)2X2-l Y 0)一 八 2In(2/1)T/1、2 1 2 n-1r(J x _ x _ x-x=2 4 2n，单 独 考 虑 x2_,2，并 放 缩 得-(-2/?-I)，2一-1=-4-n-2-厂 4n=n-1，所 cr以 i.(2)2(2/1)2 n,综 上 可 得 对 任 意 的 e N*,均 有 7；21-.2 2 3 n 4n试 题 解 析：(I)解：y,=(x2w+2+l),=(
16、2n+2)x2n+线 斜 率 为 2扭+2.从 而 切 线 方 程 为 丁 一 2=(2+2)(九 一 1).令 y 二 1 X,.=1=.+1+1(II)证：由 题 设 和(I)中 的 计 算 结 果 知 拈*当=1 时，T=.1 4当 2 2 时，因 为(竽)2=筹%)2n(2n)所 以()2 X L X 2 X.X 3=-!-.”2 2 3 n 4n练 上 可 得 对 任 意 的 G N*,均 有 4 14.【解 析】口)由 已 知,有(a?+a4)一(二 十 生)=(田-所 以 生(g_l)=%(q_l),又 因 为 q w l,故 生=a纥-1当 打=2左 一 1(打 e X*)时，
17、an=%之 _=2:-1=2 2,n当=时，4=%：=2：=27,所 以 网 的 通 项 公 式 为 4=.=为 a 数.2 为 偶 数.4/71,曲 线 3=%2+2+1在 点(1,2)处 的 切 二 0,解 得 切 线 与 无 轴 交 点 的 横 坐 标(2/7-I)2-1 4/22-4/2 H-1-=,(2n)2-(2n)2-n-q)一(生-44),BP 4-a:=c5-as2=2?由 a：=q q,得 q=2,（II）由（I）得=鹿 当 a2 n-木，设 数 列 也 的 前 项 和 为 5“，则 S0=,1 x 1+C 2 x-1-+、3 x 1+x-1-,2 21 22 2i1+x
18、2-1S c=llxi-c 1 c l+2 x-+3 x-两 式 相 减 得-S=l+2-1 7 H 7+-I:-2 22 23 2 7 2 2n 2 n=2-2n T T1 1 1 1 n1-I整 理 得 S“=4 一 安+27,7+2所 以 数 列 也 的 前 项 和 为 4-第,e N*.15.【解 析】试 题 分 析：（1）由 于 几=0,=-2,因 此 把 已 知 等 式 具 体 化 得 4,乩=2 4，显 然 由 于 q=3,则 4#0（否 则 会 得 出 q=0）,从 而 见+1=2%，所 以 4 是 等 比 数 列，由 其 通 项 公 式 可 得 结 论；（2）本 小 题 是
19、数 列 与 不 等 式 的 综 合 性 问 题，数 列 的 递 推 关 系 是%,口+-!-%+。“2=0,1、“十 二 可 变 形 为+人。）1 4 2(“G N+),由 于%0,因 此 一,于 是 可 得 a“+a2-a an+-0,.气 又 4 T2 1 4 1U a 2 广 广 n _K0 K0 r4+1 an+k。k。1 1 1_-i-k。自 koan+1于 是 有 a ko 1l+1.-1-+-1左 左。（自 4+1 蝇 2+11+-女 0 岛+1/k0(3ko+1 3kq+1 32o+1,=2+一，这 里 应 用 了 累 加 求 和 的 思 想 方 法，由 这 个 结 论 可 知
20、 2(e N*),因 此 3 左 0 I 1明=/,1 1 1 1 1=a-k0-1-1-1-H-此 除 g q+1 koa2+1)1(1 1 1)12+-+-+-=2+一，这 样 结 论 得 证，本 题 不 等 式 的 证 k。(240+1 2kg+1 2ko+11 2 ko+1明 应 用 了 放 缩 法.由 4=0,=一 2,有。,用。“=2a,2,(n G N J若 存 在 某 个 n 0 N,，使 得&。=0,则 由 上 述 递 推 公 式 易 得 为 小=0,重 复 上 述 过 程 可 得 4=0,此 与 q=3矛 盾，所 以 对 任 意 N+，a“w 0.从 而 凡 M=2%(H
21、G N+),即 4 是 一 个 公 比 q=2的 等 比 数 列.故%=a 0 z=3 E T，由/=,，=一 1,数 列 上，的 递 推 关 系 式 变 为-a；=0：变 形 为 a,1.a+丁=a：a,。计 1 02 1 1:%-产+启 1 1 1因 为 _】=勺/=ar-.，所 以 对=1 J 匕“4 1”4 1 左 左 上 4+1.4*-U“2“k、n k.V求 和 得 4+i=q+(/-q)+-+(%+、,I l l 1 1=a-k()-F-1-+-I-k。%+1 k0a2+自 4+1J13 ko+1 3 ko+1 3 攵 0+1J 3 kq+1另 一 方 面，由 上 已 证 的 不
22、 1 等 2 式 知 K。4KQ 十*1 2得/、,1 1 1 1 1C I.=%kq-卜-卜-卜 H-自 ko o 4+l M+1%0%+lJc 1(1 1 1 1 c l2+-+-+-+-=2+-k。12ko+1 2ko+1 2ko+11 2ko+1综 上：2+-a*+i 1),即 an=2%(心 1).从 而 a2=2 q,=4 q.又 因 为 4,%+1,四 成 等 差 数 列，即 q+4=2（+1）.所 以 q+4 q=2(24+1),解 得 0=2.所 以，数 列 凡 是 首 项 为 2,公 比 为 2的 等 比 数 列.故 4=2.（2）由（1）得-L=-!-.an所 以。小 导
23、 小 由 Z T 焉 得|七 一 平 比，即 2，。.因 为 2。=512 1000 10.于 是，使|北-1|一 成 立 的 n 的 最 小 值 为 10.100017.-u p/r、：10a 45d=100.A n,2a,-9d=20.【解 析】(I)由 题 意 有，汽=9 1 产(II)由 d l,知 4=2 1,么=2丁“故？=三 二 不 曰.1 3 5 7 9 2-1丁 一=1-5-F-至 一 于 于 r1 T l 3 5 7 9 2几 一 1尹 丁 梦+尹+尹+下.G 与 一 T4B J 1 1 2 一 1 r 2+3(X)彳 导-71=2 H-1+,-!-=3-2 2 22 T2
24、 T T故”，=6 等 18.【解 析】试 题 分 析：(I)先 利 用 零 点 定 理 可 证 F(x)在 内 至 少 存 在 个 零 点，再 利 用 函 数 的 单 调 性 可 证 月(x)在(；内 有 且 仅 有 一 个 零 点，进 而 利 用 乙 是，(x)的 零 点 可 证)先 设 M x)=/：(x)g(x)，再 对 X 的 取 值 范 围 进 行 讨 论 来 判 断(x)与 0 的 大 小，进 而 可 得 f(X)和 gn(x)的 大 小.试 题 解 析：(I)Fn(x)=fn(x)-2=l+x+x2+-+xn-2,则 E,(l)=-1O,所 以 4(x)在(g,1 内 至 少
25、存 在 一 个 零 点%.又 工(x)=l+2x+xT 0,故 在(g,l)内 单 调 递 增，所 以 工(x)在(g,1 内 有 且 仅 有 一 个 零 点%.丫 1 1因 为 演 是 工(X)的 零 点,所 以 工(X,)=0,即 2-2=0,一,2 2(ID解 法 一：由 题 设，g.(x)=q J-.,(n+l)(l+x,1设 为(X)=工(刈-=l+x+x，d-Fx”-:X 0.当 1=1 时，fn(x)=g!；(x)当 X H 1 时，Y(x)=1+1X+，T若 0 x 产+2产+加 1 一 1 1-=甲-=0.若-1,；/(.)+】_ 用/=与 6】-3：户=0.所 以 在(01
26、)上 述 增，在(L+工)上 递 减，所 以 心)联 1)=0,即 以(x)g“(x).综 上 所 述，当 X=1 时，力(x)=g,(x);当 XH1 时(x)0.当 X=1 时,(x)=g,(x)当 XH1时，用 数 学 归 纳 法 可 以 证 明 力(x)g.(x).当=2 时，f2(x)-g2(X)=-；(1-x)2 0,所 以 力(X)g2(x)成 立.假 设=MAN 2)时，不 等 式 成 立，即/(x)g*x).那 么，当=2+1时,九(M.W+-0),则 h；(x)=k(k+1)xk-k(k+l)xk-=k(k+1)xk-(x-1)所 以 当 0 xl,4(x)1,h k(x)
27、0,hk(x)在(l,+oo)上 递 增.、，2xk+(k+lxk+k+所 以 为(九)%(1)=0，从 而 gk+i(%)-故 X+G)(x).即=左+1,不 等 式 也 成 立.所 以，对 于 一 切 2 2 的 整 数，都 有 力(x)g.(x).解 法 三：由 已 知，记 等 差 数 列 为%,等 比 数 列 为 包,左=1,2,+1.贝 Uq=4=1,+|=bn+i=x,Xn-1所 以 见=1+(攵-1)-(2Jtn),bk=xk-2k 0(2 kn).n当 x=l时，4=,所 以 力(x)=g(x).当 x H 时，mi(x)=nx1-(k-l)xk-2=(k-)xk-2(xn-i
28、+l-l)fi2 k 0,n-+1 1.若 0 xl,x-k+,(x)l,x-k+l k m；(x)0,从 而(x)在(0,1)上 递 减，恤(x)在(1,+8)上 递 增.所 以 mk(x)mk(1)=0,所 以 当 x 0且 xwl时,4/(2 4%4),又 q=，a,*=b“T，故(%)g(x)综 上 所 述，当 X=1 时，(x)=g(x)；当 XH1 时 力(x)0 所 以 q=3,当 之 2 时,a；+a,.a;_!=4S,+3 4 5,3=4a B P(a.+0)(0-a)=2(,-+-a),因 为 0,所 以 乌 所 以 数 列 a j 是 首 项 为 3,公 差 为 2 的
29、等 差 数 列，所 以 a“=2+l；(I I)由(I)知，b.1(2+1)(2+3)2+3)所 以 数 列 2 前=_ 16 4/1+6项 和 为 乙+么+d=n)+(d)+(-*)20.【解 析】(1)依 题 3a3=(q+2 4+3 4)(q+2a2)=4-34)依 题 当 n 1 时%=(4+2/+-)_ 4+2%+-(1)4 1=4 _詈 _(4 _爵)=日=(；)，又 q=4一 号=1也 适 合 此 式，二 数 列 4 是 首 项 为 1，公 比 为;的 等 比 数 列，故 7；(3)依 题 由 a=土 二 土 笔+(1+!+”知 伉=%,=幺+(1+,n 2 n)2 2J4+。2
30、3仇=记 f lx)=In x-11 x 1)贝 1 J f I x I=-X=0 X X X*X*/.IXI在 I上 是 噌 函 数，又/=0即 x)0,又 左 2 2 且 k e _ V时，1 Jc-1/.f=ln-；1 0即 l n L,1、左 一 1 k-i J c k-1 kk 1.1-2 1 i 3 1.n 日 门 有 1 1 1 i 2 1 3 i 1.-In-In,，ln-,曰|J伺-ln In-In-=ln n,2 1 3 2 n n-2 3 n 1 2“-1/.2 x：1-1-i-；2-2 1 n,IP Sr 2+21n.1 2 3 n)n2 1【解 析】解:(1)由 2+
31、i-2=3,得 a+a”=6.所 以 4 是 首 项 为 1，公 差 为 6 的 等 差 数 列,故%的 通 项 公 式 为 a“=6 5,eN*.证 明：（2）由 风+1-。“=2色 川-2），得 a“+i2b“+i=a 2b”.所 以%,一 2b,为 常 数 列，an-2 2=q-2伉，即 a“=2hn+4 一 24.因 为 毋 2%,N*,所 以 2%+4 2 2 26“+4 2 4，即%2%.故 也 的 第 传 项 是 最 大 项.解：（3）因 为 勿=九，所 以 4用-。“=2（万 山 一 储），当 2 2 时,q=（a“-a“T）+（a,”i 一/_2）+（42-4）+4=2（/1
32、 _元 1）+2（万 一 产 2）+2（储 _/1）+/1=21-/1.当=1时，4=4,符 合 上 式.所 以%=2储-1因 为 彳 0,所 以。2“=2囚 2 a2_1=2|2|2n-1-2-2.当 X 1时，由 指 数 函 数 的 单 调 性 知，q 不 存 在 最 大、最 小 值：当 彳=一 1时，4 的 最 大 值 为 3,最 小 值 为 一 1,而 一 任（一 2,2）；当 一 1 彳 0 时，由 指 数 函 数 的 单 调 性 知，4,的 最 大 值 M=4=2分 一 4,最 小 值 2 j2 2 1m=4=4,由 一 2 二 2及 一 1 几 0,得 一 上 几 0.1 2 2综 上，X 的 取 值 范 围 是（一；,0）2.数 列 作 为 特 殊 的 函 数，其 单 调 性 的 判 断 与 研 究 也 是 特 别 的，只 需 研 究 相 邻 两 项 之 间 关 系 即 可.