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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷3 到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R
2、 表示球的半径)()()(B P A P B A P 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P，那么 334R V n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 一选择题：(1)复数211iii的值是（A）0(B)1(C)-1(D)1(2)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是(3)2211lim2 1xxx x（A）0(B)1(C)21(D)32(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（A）BD 平面 CB1D1（B）AC1 BD（C）AC1平面 CB1D1（D）异面直线 AD 与 CB
3、1角为 60（5）如果双曲线12 42 2 y x上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是（A）36 4（B）36 2（C）6 2（D）3 2（6）设球 O的半径是 1，A、B、C 是球面上三点，已知 A到 B、C两点的球面距离都是2，且 三面角 B-OA-C的大小为 3，则从 A点沿球面经 B、C两点再回到 A点的最短距离是（A）67（B）45（C）34（D）23（7）设 A a,1，B 2，b，C 4,5，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 方向 在 与 OC OB OA上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为(A)3 5 4 b a(B)3 4 5 b
4、a(C)14 5 4 b a(D)14 4 5 b a（8）已知抛物线32 x y上存在关于直线0 y x对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（A）3（B）4（C）2 3（D）2 4（9）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（A）36 万元（B）31.2 万元（C）30.4 万元（D）24 万元（10）用数字 0，1，2，3，4，5 可以
5、组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（A）288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与 l2间的距离是 1，l2与 l3间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3上，则 ABC 的边长是（A）3 2（B）36 4（C）417 3（D）321 2（12）已知一组抛物线1212 bx ax y，其中 a 为 2,4,6,8 中任取的一个数，b 为 1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是（A）121（B）607（
6、C）256（D）255 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在横线上.（13）若函数 f(x)=e-(m-u)2(c 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数，则m+u=.(14)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱长为 2，底面三角形的边长为 1，则 BC1与侧面 ACC1A1所成的角是.(15)已知 O的方程是 x2+y2-2=0,O 的方程是 x2+y2-8x+10=0,由动点 P 向 O和 O 所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是.(16)下面有五个命题：函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是.终边在 y 轴上的
7、角的集合是 a|a=Z kk,2|.在同一坐标系中，函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点.把函数.2 sin 36)32 sin(3 的图象 得到 的图象向右平移 x y x y 函数.0)2sin(上是减函数，在 x y 其中真命题的序号是（写出所言）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 12 分）已知0,1413)cos(,71cos 且 2,()求 2 tan 的值.（）求.（18）（本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一
8、定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.（）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 件进行检验.求至少有1 件是合格品的概率;（）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，都进行检验，只有 2 件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及期望 E，并求该商家拒收这批产品的概率.（19）（本小题满分 12 分）如图，PCBM 是直角梯形，PCB 90，PM BC，PM 1，BC 2，又 AC 1，ACB 120，AB PC，直线 AM 与直线 PC 所成的角为60.（）求证：平面 PAC 平面
9、 ABC;（）求二面角 B AC M 的大小;（）求三棱锥 MAC P 的体积.（20）（本小题满分 12 分）设1F、2F 分别是椭圆 1422 yx的左、右焦点.（）若 P 是该椭圆上的一个动点，求1PF 2PF 的最大值和最小值;（）设过定点)2,0(M 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B，且 AOB为锐角（其中 O为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围.已知函数 4 2)(x x f,设曲线)(x f y 在点()处的切线与 x 轴线发点()()其中 xn 为实数（21）（本小题满分 12 分）(22)(本小题满分 14 分)设函数),1,(11)(N x n N nn
10、x fn 且.()当 x=6 时,求 nn 11 的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数 x,证明 2)2()2(f x f);)()()(的导函数 是 x f x f x f()是否存在 N a,使得 annkk111 n a)1(恒成立?若存在,试证明你的结论并求出 a 的值;若不存在,请说明理由.2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学参考答案 一选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分（1）A（2）C（3）D（4）D（5）A（6）C（7）A（8）C（9）B（10）B（11）D（12）B 二填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题 4
11、 分，满分 16 分（13）1（14）6（15）32x（16）三解答题：（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。解：（）由1cos,07 2，得221 4 3sin 1 cos 17 7 sin 4 3 7tan 4 3cos 7 1，于是 2 22 tan 2 4 3 8 3tan 21 tan 471 4 3（）由 02，得 02 又 13cos14，2213 3 3sin 1 cos 114 14 由 得：所以3（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能
12、力。解：（）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A来算，有 41 1 0.2 0.9984 P A P A（）可能的取值为 0,1,2 2172201360190CPC，1 13 17220511190C CPC，2322032190CPC 记“商家 任取 2 件产 品 检 验，都合格”为事 件 B，则商家拒收这 批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为2795（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。解法一：（）,P
13、C AB PC BC AB BC B PC ABC 平面，又 PC PAC 平面 PAC ABC 平面 平面（）取 BC 的中点 N，则 1 CN，连结,AN MN，/PM CN，/MN PC，从而 MN ABC 平面 作 NH AC，交 AC 的延长线于 H，连结 MH，则由三垂线定理知，AC NH，从而 MHN 为二面角 M AC B 的平面角 直线 AM 与直线 PC 所成的角为060 060 AMN 在 ACN 中，由余弦定理得2 2 02 cos120 3 AN AC CN AC CN 在 AMN 中，3cot 3 13MN AN AMN 在 CNH 中，3 3sin 12 2NH
14、CN NCH 在 MNH 中，1 2 3tan332MNMN MHNNH 故二面角 M AC B 的平面角大小为2 3arctan3（）由（）知，PCMN 为正方形 01 1 3sin1203 2 12P MAC A PCM A MNC M ACNV V V V AC CN MN 解法二：（）同解法一（）在平面 ABC 内，过 C 作 CD CB，建立空间直角坐标系 C xyz（如图）由题意有3 1,02 2A，设 0 00,0,0 P z z，则 0 0 03 10,1,0,0,2 2M z AM z CP z 由直线 AM 与直线 PC 所成的解为060，得 0cos60 AM CP AM
15、 CP，即 2 20 0 032z z z，解得01 z 3 10,0,1,02 2CM CA，设平面 MAC 的一个法向量为 1 1 1,n x y z，则1 11 103 102 2y zy z，取11 x，得 1,3,3 n 平面 ABC 的法向量取为 0,0,1 m 设 m 与 n 所成的角为，则3cos7m nm n 显然，二面角 M AC B 的平面角为锐角，故二面角 M AC B 的平面角大小为21arccos7（）取平面 PCM 的法向量取为 11,0,0 n，则点 A 到平面 PCM 的距离1132CA nhn 1,1 PC PM，1 1 1 3 31 13 2 6 2 12
16、P MAC A PCMV V PC PM h（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解：（）解法一：易知 2,1,3 a b c 所以 1 23,0,3,0 F F，设,P x y，则 因为 2,2 x，故当 0 x，即点 P 为椭圆短轴端点时，1 2PF PF 有最小值 2 当 2 x，即点 P 为椭圆长轴端点时，1 2PF PF 有最大值 1 解法二：易知 2,1,3 a b c，所以 1 23,0,3,0 F F，设,P x y，则 2 22 2 2 213 3 12 32x y x y x y（以下同解法一）（）显然直线
17、0 x 不满足题设条件，可设直线 1 2 2 2:2,l y kx A x y B x y，联立22214y kxxy，消去 y，整理得：2 214 3 04k x kx 1 2 1 22 24 3,1 14 4kx x x xk k 由 2214 4 3 4 3 04k k k 得：32k 或32k 又0 00 0 90 cos 0 0 0 A B A B OA OB 1 2 1 20 OA OB x x y y 又 21 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 y y kx kx k x x k x x 2 22 23 841 14 4k kk k 22114kk 22 23 101 1
18、4 4kk k，即24 k 2 2 k 故由、得322k 或322k（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。解：（）由题可得 2 f x x 所以过曲线上点 0 0,x f x 的切线方程为 n n ny f x f x x x，即 4 2n n ny x x x x 令 0 y，得 214 2n n n nx x x x，即214 2n n nx x x 显然 0nx 122nnnxxx（）证明：（必要性）若对一切正整数1,n nn x x，则2 1x x，即 11122xxx，而10 x，214 x，即有12 x（充分性）若12 0 x，
19、由122nnnxxx 用数学归纳法易得 0nx，从而 12 22 2 12 2n nnn nx xx nx x，即 2 2nx n 又12 x 2 2nx n 于是214 22 2n nn n nn nx xx x xx x 2 202n nnx xx，即1 n nx x 对一切正整数 n成立（）由122nnnxxx，知 21222nnnxxx，同理，21222nnnxxx 故2112 22 2n nn nx xx x 从而 112 2lg 2lg2 2n nn nx xx x，即12n na a 所以，数列 na 成等比数列，故1 1 111122 2 lg 2 lg 32n n nnxa
20、ax，即12lg 2 lg 32nnnxx，从而2 1232nnnxx 所以 2 12 12 3 13 1nnnx（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。（）解：展开式中二项式系数最大的项是第 4 项，这项是 33 5631 201 Cn n（）证法一：因 2 21 12 2 1 1nf x fn n 证法二：因 2 21 12 2 1 1nf x fn n 2 21 12 1 1nn n 1 12 1 1nn n 而 1 12 2 1 ln 1nf xn n 故只需对11n 和1ln 1n 进行比较。
21、令 ln 1 g x x x x，有 1 11xg xx x 由10 xx，得 1 x 因为当 0 1 x 时，0 g x，g x 单调递减；当 1 x 时，0 g x，g x 单调递增，所以在 1 x 处 g x 有极小值 1 故当 1 x 时，1 1 g x g，从而有 ln 1 x x，亦即 ln 1 ln x x x 故有1 11 ln 1n n 恒成立。所以 2 2 2 f x f f x，原不等式成立。（）对 m N，且 1 m 有20 1 21 1 1 1 11m k mk mm m m m mC C C C Cm m m m m 又因 10 2,3,4,kkmC k mm，故1
22、2 1 3mm 12 1 3mm，从而有112 1 3knkn nk 成立，即存在 2 a，使得112 1 3knkn nk 恒成立。2007 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学(含详细解析)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1、复数311iii的值是（）（A）0（B）1（C）1（D）i 解析：选 A 23 3 31(1)201(1)(1)2i i ii i i i ii i i 本题考查复数的代数运算 2、函数2()1 log f x x 与1()2xg x 在同一直角坐标系下的图象大致是（）解析：选 C注意 1(1)()2 2x xg x 的图象
23、是由 2xy 的图象右移 1 而得本题考查函数图象的平移法则 3、2211lim2 1xxx x（）（A）0（B）1（C）12（D）23 解析：选 D 本题考查00型的极限原式1 1(1)(1)1 2lim lim(1)(2 1)2 1 3x xx x xx x x 或原式12 2lim4 1 3xxx 4、如图，1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体，下面结论错误的是（）（A）/BD 平面1 1CB D（B）1AC BD（C）1AC 平面1 1CB D（D）异面直线 AD 与1CB 所成的角为 60 解析：选 D 显然异面直线 AD 与1CB 所成的角为 45 5、如果双曲线2 2
24、14 2x y 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是（）（A）4 63（B）2 63（C）2 6（D）2 3 解析：选 A 由点 P 到双曲线右焦点(6,0)的距离是 2 知 P 在双曲线右支上又由双曲线的第二定义知点 P 到双曲线右准线的距离是2 63，双曲线的右准线方程是2 63x，故点P 到 y 轴的距离是4 63 6、设球 O 的半径是 1，A、B、C 是球面上三点，已知 A到 B、C 两点的球面距离都是2，且二面角 B OA C 的大小是3，则从 A 点沿球面经 B、C两点再回到 A点的最短距离是（）（A）76（B）54（C）43（D）32 解析：选
25、 C42 3 2 3d AB BC CA 本题考查球面距离 7、设(,1)A a，(2,)B b，(4,5)C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为（）（A）4 5 3 a b（B）5 4 3 a b（C）4 5 14 a b（D）5 4 14 a b 解析：选 A 由 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同，可得：OA OC OB OC 即 4 5 8 5 a b，4 5 3 a b 8、已知抛物线23 y x 上存在关于直线 0 x y 对称的相异两点 A、B，则 AB 等于（）（A）3（B）4（C）3 2（D
26、）4 2 解析：选 C 设直线 AB 的方程为 y x b，由221 233 0 1y xx x b x xy x b，进而可求出 AB 的中点1 1(,)2 2M b，又由1 1(,)2 2M b 在直线 0 x y 上可求出 1 b，22 0 x x，由弦长公式可求出2 21 1 1 4(2)3 2 AB 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系自本题起运算量增大 9、某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的
27、利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（）（A）36 万元（B）31.2 万元（C）30.4 万元（D）24 万元 解析：选 B对甲项目投资 24 万元，对乙项目投资 36 万元，可获最大利润 31.2 万元因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的32倍时可获最大利润这是最优解法也可用线性规划的通法求解注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现 10、用数字 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字，并且比 20000 大的五位偶数共有（）（A）288 个
28、（B）240 个（C）144 个（D）126 个 解析：选 B对个位是 0 和个位不是 0 两类情形分类计数；对每一类情形按“个位最高位中间三位”分步计数：个位是 0 并且比 20000 大的五位偶数有341 4 96 A 个；个位不是 0 并且比 20000 大的五位偶数有342 3 144 A 个；故共有 96 144 240 个 本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目 11、如图，1l、2l、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是 1，2l 与3l 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在1l、2l、3l 上，则 ABC 的边长是（）（A）2 3（B）3
29、6 4（C）3 174（D）2 213 解析：选 D 过点作2l 的垂线4l，以2l、4l 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系设(,1)A a、(,0)B b、(0,2)C，由 A B B C A C 知2 2 2 2()1 4 9 a b b a 边长，检 验 A：2 2 2()1 4 9 12 a b b a，无解；检验 B：2 2 232()1 4 93a b b a，无解；检验 D：2 2 228()1 4 93a b b a，正确本题是把关题在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了是一道精彩的好题可惜区分度太小 12、已知一组抛物线2112y ax
30、bx，其中 a 为 2、4、6、8 中任取的一个数，b 为 1、3、5、7 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 1 x 交点处的切线相互平行的概率是（）（A）112（B）760（C）625（D）516 解析：选 B这一组抛物线共 4 4 16 条，从中任意抽取两条，共有216120 C 种不同的方法它们在与直线 1 x 交点处的切线的斜率1|xk y a b 若 5 a b，有两种情形，从中取出两条，有22C 种取法；若 7 a b，有三种情形，从中取出两条，有23C 种取法；若9 a b，有四种情形，从中取出两条，有24C 种取法；若 11 a b，有三种情形，从中取出
31、两条，有23C 种取法；若 13 a b，有两种情形，从中取出两条，有22C 种取法由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有2 2 2 2 22 3 4 3 214 C C C C C 种，故所求概率为760本题是把关题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分；把答案填在题中的横线上 13、若函数2()()xf x e（e 是自然对数的底数）的最大值是 m，且()f x 是偶函数，则m _ 解析：1 m，0 n，1 m 14、在正三棱柱1 1 1ABC A B C 中，侧棱长为 2，底面三角形的边长为 1，则1BC 与侧面1 1ACC A 所成的角是 _ 解析：13 B
32、C，点 B 到平面1 1ACC A 的距离为32，1sin2，30 15、已知 O 的方程是2 22 0 x y，O 的方程是2 28 10 0 x y x，由动点 P 向 O和 O 所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 _ 解析：O：圆心(0,0)O，半径 2 r；O：圆心(4,0)O，半径 6 r 设(,)P x y，由切线长相等得 2 22 x y 2 28 10 x y x，32x 16、下面有 5 个命题：函数4 4sin cos y x x 的最小正周期是 终边在 y 轴上的角的集合是|,2kk Z 在同一坐标系中，函数 sin y x 的图象和函数 y x 的图象有 3 个公共点 把函数 3sin(2)3y x 的图象向右平移6得到 3sin 2 y x 的图象 函数 sin()2y x 在 0,上是减函数 其中，真命题的编号是 _（写出所有真命题的编号）解析：4 4 2 2sin cos sin cos 2 y x x x x cos x，正确；错误；sin y x，tan y x 和 y x 在第一象限无交点，错误；正确；错误故选