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1、1(本小题总分值12分)(2019辽宁辽阳二模)设椭圆C：1(ab0)的左、右核心分不为F1，F2，下极点为A，O为坐标原点，点O到直线AF2的距离为，AF1F2为等腰直角三角形(1)求椭圆C的规范方程(2)直线l与椭圆C分不交于M，N两点，假定直线AM与直线AN的歪率之跟为2，证实：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标1(1)解：由题意可知，直线AF2的方程为1，即bxcybc0，那么.AF1F2为等腰直角三角形，bc.又a2b2c2，解得a，b1，c1.椭圆C的规范方程为y21.(2)证实：由(1)知A(0，1)当直线l的歪率存在时，设直线l的方程为ykxt(t1)，代入y21，得(12k2
2、)x24ktx2t220.16k2t24(12k2)(2t22)0，即t22k21.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么x1x2，x1x2.直线AM与直线AN的歪率之跟为2，kAMkAN2k2k2，收拾得t1k，直线l的方程为ykxtkx1kk(x1)1.显然直线yk(x1)1经过定点(1，1)当直线l的歪率不存在时，设直线l的方程为xm.直线AM与直线AN的歪率之跟为2，设M(m，n)，那么N(m，n)，kAMkAN2，解得m1，现在直线l的方程为x1.显然直线x1也经过定点(1，1)综上，直线l恒过点(1，1)2(本小题总分值12分)(2019山东济南3月模仿)曾经清晰函数f(x)x
3、lnxx2(a1)x，其导函数f(x)的最大年夜值为0.(1)务虚数a的值(2)假定f(x1)f(x2)1(x1x2)，求证：x1x22.2(1)解：由题意，函数f(x)的界说域为(0，)，其导函数f(x)lnxa(x1)记h(x)f(x)，那么h(x).当a0时，h(x)0恒成破，h(x)在(0，)上枯燥递增，且h(1)0.x(1，)，h(x)f(x)0，故a0不成破当a0时，假定x(0，)，那么h(x)0，假定x(，)，那么h(x)0.h(x)在(0，)上枯燥递增，在(，)上枯燥递加h(x)maxh()lnaa10.令g(a)lnaa1，那么g(a)1.当0a1时，g(a)0；当a1时，g
4、(a)0，g(a)在(0，1)上枯燥递加，在(1，)上枯燥递增g(a)g(1)0，故a1.(2)证实：当a1时，f(x)xlnxx2，那么f(x)1lnxx.由(1)知f(x)1lnxx0恒成破，f(x)xlnxx2在(0，)上枯燥递加，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1)无妨设0x1x2，那么0x11x2.欲证x1x22，只要证x22x1.f(x)在(0，)上枯燥递加，那么只要证f(x2)f(2x1)又f(x1)f(x2)1，那么只要证1f(x1)f(2x1)，即f(2x1)f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(此中x(0，1)，那么F(1)1.欲证f(2x1)f(x1)1，只
5、要证F(x)F(1)，x(0，1)由F(x)f(x)f(2x)1lnxx1ln(2x)2x，收拾得F(x)lnxln(2x)2(1x)，x(0，1)，F(x)0，x(0，1)，F(x)lnxln(2x)2(1x)在区间(0，1)上枯燥递增，x(0，1)，F(x)lnxln(2x)2(1x)F(1)0，函数F(x)f(x)f(2x)在区间(0，1)上枯燥递加，F(x)F(1)，x(0，1)，故x1x22.3.(本小题总分值12分)(2019浙江余姚中学模仿)如图，直线y2x2与抛物线x22py(p0)交于M1，M2两点，直线y与y轴交于点F，且直线y偏偏中分M1FM2.(1)求p的值；(2)设A
6、是直线y上一点，直线AM2交抛物线于另一点M3，直线M1M3交直线y于点B，求的值3解：(1)由消去y，收拾得x24px4p0.设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，那么直线y中分M1FM2，kM1FkM2F0，0，即0，4(2)0，p4，满意0，p4.(2)由(1)知抛物线方程为x28y，且M1(x1，)，M2(x2，)设M3(x3，)，A(t，2)，B(a，2)，由A，M2，M3三点共线得kM2M3kAM2，即xx2x3t(x2x3)x16，收拾得x2x3t(x2x3)16.由B，M3，M1三点共线，可得x1x3a(x1x3)16.式双方同乘x2，得x1x2x3a(x1x2x2x3)1
7、6x2，即16x3a(16x2x3)16x2.由得x2x3t(x2x3)16，代入得16x316ata(x2x3)16a16x2，即16(x2x3)at(x2x3)x2x30，at16.at416420.4(本小题总分值12分)(2019江西名校外部特供)函数f(x)aexx2(2ab)x.(1)假定a2，f(x)在R上递增，求b的最大年夜值；(2)假定b2ln2，存在x0(0，ln2)，使得对恣意x(0，ln2)，都有f(x)f(x0)恒成破，求a的取值范畴4解：(1)当a2时，f(x)2exx2(4b)x.f(x)在R上递增，f(x)2ex2x(4b)0，xR恒成破f(x)2ex2，当x(
8、，0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(，0)上枯燥递加，在(0，)上枯燥递增，当x0时，f(x)取得极小值，也是最小值，f(0)2b0，即b2，b的最大年夜值为2.(2)当b2ln2时，依题意f(x)aexx2(2a2ln2)x在(0，ln2)上有最大年夜值，f(x)aex2x(2a2ln2)，且f(0)a2ln2，f(ln2)0.当a0时，f(x)aex2x(2a2ln2)在R上枯燥递加，在(0，ln2)上，f(x)f(ln2)0，f(x)在(0，ln2)上枯燥递增，分歧题意当a0时，f(x)aex2在(0，ln2)上枯燥递增，且f(ln)0，f(x)在(，ln)上枯
9、燥递加，在(ln，)上枯燥递增(i)当0a1，lnln2时，f(x)在(0，ln2)上枯燥递加，f(x)f(ln2)0，即f(x)在(0，ln2)上枯燥递增，分歧题意(ii)当1a2ln2时，f(x)在(0，ln)上枯燥递加，在(ln，ln2)上枯燥递增，且f(0)a2ln20，f(ln2)0，存在t(0，ln2)，使得f(t)0，且在(0，t)上f(x)0，f(x)枯燥递增；在(t，ln2)上f(x)0，f(x)枯燥递加，契合题意(iii)当2ln2a2时，f(x)在(0，ln)上枯燥递加，在(ln，ln2)上枯燥递增，且f(0)a2ln20，f(ln2)0，在(0，ln2)上f(x)0，f(x)枯燥递加，分歧题意()当a2时，ln0，f(x)在(0，ln2)上枯燥递加又f(ln2)0，在(0，ln2)上f(x)0，f(x)枯燥递加，分歧题意综上所述，当且仅当1a2ln2时，存在满意题意的x0.